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{{Br0}}expliqué (fig. 7), en sorte que <math>\mathrm{ZM}</math> sera zéro. Il y a cependant des |
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exceptions que nous allons expliquer. |
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expliqué (fig. 7), en sorte que <math>\mathrm{ZM}</math> sera zéro. Il y a cependant des exceptions que nous allons expliquer. |
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et soit mené <math>\mathrm{AO}</math> ; si l’on a <math>\mathrm{Ang.BAC+Ang.OAC=90^\circ}</math>, la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché en <math>\mathrm{A}</math> ; de manière |
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que les deux distances <math>\mathrm{ZM}</math> et <math>\mathrm{ZN}</math> s’évanouiront. |
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Soient toujours <math>\mathrm{BAC}</math> (fig. 8) l’angle donné, et <math>\mathrm{O}</math> le point donné, et soit mené <math>\mathrm{AO}</math> ; si l’on a <math>\mathrm{Ang.BAC+Ang.OAC=90^\circ}</math>, la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché en <math>\mathrm{A}</math> ; de manière que les deux distances <math>\mathrm{ZM}</math> et <math>\mathrm{ZN}</math> s’évanouiront. |
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au-delà de <math>\mathrm{A}</math> ; mais, comme alors la distance <math>\mathrm{ZN}</math> deviendra négative, |
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cette solution ne pourra être admise ; il faudra donc, comme dans le |
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cas précédent, laisser le point cherché en <math>\mathrm{A}</math>. |
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Si l’on a (fig. 8) <math>\mathrm{Ang.BAC+Ang.OAC>90^\circ,}</math> la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché sur le prolongement de <math>\mathrm{AG}</math> au-delà de <math>\mathrm{A}</math> ; mais, comme alors la distance <math>\mathrm{ZN}</math> deviendra négative, cette solution ne pourra être admise ; il faudra donc, comme dans le cas précédent, laisser le point cherché en <math>\mathrm{A}</math>. |
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Si cependant, dans ce cas, l’angle <math>\mathrm{OAB}</math> est obtus (fig. 9), le point |
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<math>\mathrm{Z}</math> devra être établi à l’intersection de <math>\mathrm{AC}</math> avec la perpendiculaire <math>\mathrm{ON}</math> |
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abaissée du point <math>\mathrm{O}</math> sur le prolongement de <math>\mathrm{AB}</math> au-delà de <math>\mathrm{A}</math>. Alors, |
Si cependant, dans ce cas, l’angle <math>\mathrm{OAB}</math> est obtus (fig. 9), le point <math>\mathrm{Z}</math> devra être établi à l’intersection de <math>\mathrm{AC}</math> avec la perpendiculaire <math>\mathrm{ON}</math> abaissée du point <math>\mathrm{O}</math> sur le prolongement de <math>\mathrm{AB}</math> au-delà de <math>\mathrm{A}</math>. Alors, <math>\mathrm{ZM}</math> seulement sera nul, et <math>\mathrm{ZN}</math> tombera hors de l’angle <math>\mathrm{BAC}.</math> |
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<math>\mathrm{ZM}</math> seulement sera nul, et <math>\mathrm{ZN}</math> tombera hors de l’angle <math>\mathrm{BAC}.</math> |
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Résumons présentement les différens cas que nous venons d’analiser. |
Résumons présentement les différens cas que nous venons d’analiser. |
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1.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les deux canaux, est moindre que <math>60^\circ</math> |
1.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les deux canaux, est moindre que <math>60^\circ</math> |
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(fig. 5), les deux ponts devront être les pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires <math>\mathrm{OM}</math> et <math>\mathrm{ON}</math> abaissées de la ville sur leurs directions ; ces perpendiculaires elles-mêmes seront les directions des routes qui devront |
(fig. 5), les deux ponts devront être les pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires <math>\mathrm{OM}</math> et <math>\mathrm{ON}</math> abaissées de la ville sur leurs directions ; ces perpendiculaires elles-mêmes seront les directions des routes qui devront unir la ville aux deux ponts, et dont la longueur totale sera |
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unir la ville aux deux ponts, et dont la longueur totale sera |
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2.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les directions des deux canaux, est de <math>60^\circ</math> (fig. 4) ; en faisant passer par la ville une parallèle <math>\mathrm{OK}</math> à la droite <math>\mathrm{AD}</math> qui divise cet angle en deux parties égales, et prenant arbitrairement sur cette droite un point <math>\mathrm{Z}</math> entre <math>\mathrm{O}</math> et <math>\mathrm{K}</math>, les ponts pourront être établis aux pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires abaissées du point <math>\mathrm{Z}</math> sur les directions des canaux, et ces perpendiculaires avec la droite <math>\mathrm{ZO}</math> seront les directions des branches de route qui joindront la ville aux deux ponts. La longueur totale de la route à construire aura encore ici pour expression, comme dans le premier cas, |
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2.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les directions des deux canaux, |
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est de <math>60^\circ</math> (fig. 4) ; en faisant passer par la ville une parallèle <math>\mathrm{OK}</math> |
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à la droite <math>\mathrm{AD}</math> qui divise cet angle en deux parties égales, et prenant |
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arbitrairement sur cette droite un point <math>\mathrm{Z}</math> entre <math>\mathrm{O}</math> et <math>\mathrm{K}</math>, les ponts |
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pourront être établis aux pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires abaissées |
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du point <math>\mathrm{Z}</math> sur les directions des canaux, et ces perpendiculaires avec |
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la droite <math>\mathrm{ZO}</math> seront les directions des branches de route qui joindront |
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la ville aux deux ponts. La longueur totale de la route à construire |
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aura encore ici pour expression, comme dans le premier cas, |
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