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{{Br0}}expliqué (fig. 7), en sorte que <math>\mathrm{ZM}</math> sera zéro. Il y a cependant des
 
exceptions que nous allons expliquer.
 
   
Soient toujours <math>\mathrm{BAC}</math> (fig. 8) l’angle donné, et <math>\mathrm{O}</math> le point donné,
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expliqué (fig. 7), en sorte que <math>\mathrm{ZM}</math> sera zéro. Il y a cependant des exceptions que nous allons expliquer.
et soit mené <math>\mathrm{AO}</math> ; si l’on a <math>\mathrm{Ang.BAC+Ang.OAC=90^\circ}</math>, la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché en <math>\mathrm{A}</math> ; de manière
 
que les deux distances <math>\mathrm{ZM}</math> et <math>\mathrm{ZN}</math> s’évanouiront.
 
   
Si l’on a (fig. 8) <math>\mathrm{Ang.BAC+Ang.OAC>90^\circ,}</math> la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché sur le prolongement de <math>\mathrm{AG}</math>
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Soient toujours <math>\mathrm{BAC}</math> (fig. 8) l’angle donné, et <math>\mathrm{O}</math> le point donné, et soit mené <math>\mathrm{AO}</math> ; si l’on a <math>\mathrm{Ang.BAC+Ang.OAC=90^\circ}</math>, la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché en <math>\mathrm{A}</math> ; de manière que les deux distances <math>\mathrm{ZM}</math> et <math>\mathrm{ZN}</math> s’évanouiront.
au-delà de <math>\mathrm{A}</math> ; mais, comme alors la distance <math>\mathrm{ZN}</math> deviendra négative,
 
cette solution ne pourra être admise ; il faudra donc, comme dans le
 
cas précédent, laisser le point cherché en <math>\mathrm{A}</math>.
 
   
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Si l’on a (fig. 8) <math>\mathrm{Ang.BAC+Ang.OAC>90^\circ,}</math> la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché sur le prolongement de <math>\mathrm{AG}</math> au-delà de <math>\mathrm{A}</math> ; mais, comme alors la distance <math>\mathrm{ZN}</math> deviendra négative, cette solution ne pourra être admise ; il faudra donc, comme dans le cas précédent, laisser le point cherché en <math>\mathrm{A}</math>.
Si cependant, dans ce cas, l’angle <math>\mathrm{OAB}</math> est obtus (fig. 9), le point
 
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<math>\mathrm{Z}</math> devra être établi à l’intersection de <math>\mathrm{AC}</math> avec la perpendiculaire <math>\mathrm{ON}</math>
 
abaissée du point <math>\mathrm{O}</math> sur le prolongement de <math>\mathrm{AB}</math> au-delà de <math>\mathrm{A}</math>. Alors,
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Si cependant, dans ce cas, l’angle <math>\mathrm{OAB}</math> est obtus (fig. 9), le point <math>\mathrm{Z}</math> devra être établi à l’intersection de <math>\mathrm{AC}</math> avec la perpendiculaire <math>\mathrm{ON}</math> abaissée du point <math>\mathrm{O}</math> sur le prolongement de <math>\mathrm{AB}</math> au-delà de <math>\mathrm{A}</math>. Alors, <math>\mathrm{ZM}</math> seulement sera nul, et <math>\mathrm{ZN}</math> tombera hors de l’angle <math>\mathrm{BAC}.</math>
<math>\mathrm{ZM}</math> seulement sera nul, et <math>\mathrm{ZN}</math> tombera hors de l’angle <math>\mathrm{BAC}.</math>
 
   
 
Résumons présentement les différens cas que nous venons d’analiser.
 
Résumons présentement les différens cas que nous venons d’analiser.
   
 
1.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les deux canaux, est moindre que <math>60^\circ</math>
 
1.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les deux canaux, est moindre que <math>60^\circ</math>
(fig. 5), les deux ponts devront être les pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires <math>\mathrm{OM}</math> et <math>\mathrm{ON}</math> abaissées de la ville sur leurs directions ; ces perpendiculaires elles-mêmes seront les directions des routes qui devront
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(fig. 5), les deux ponts devront être les pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires <math>\mathrm{OM}</math> et <math>\mathrm{ON}</math> abaissées de la ville sur leurs directions ; ces perpendiculaires elles-mêmes seront les directions des routes qui devront unir la ville aux deux ponts, et dont la longueur totale sera
 
{{c|<math>2(a\operatorname{Cos}.\tfrac{1}{2}\gamma+b\operatorname{Sin}.\tfrac{1}{2}\gamma)\operatorname{Sin}.\tfrac{1}{2}\gamma.</math>}}
unir la ville aux deux ponts, et dont la longueur totale sera
 
{{c|<math>2(a\operatorname{Cos}.\tfrac{1}{2}\gamma+b\operatorname{Sin}.\tfrac{1}{2}\gamma)\operatorname{Sin}.\tfrac{1}{2}\gamma.</math> }}
 
   
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2.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les directions des deux canaux, est de <math>60^\circ</math> (fig. 4) ; en faisant passer par la ville une parallèle <math>\mathrm{OK}</math> à la droite <math>\mathrm{AD}</math> qui divise cet angle en deux parties égales, et prenant arbitrairement sur cette droite un point <math>\mathrm{Z}</math> entre <math>\mathrm{O}</math> et <math>\mathrm{K}</math>, les ponts pourront être établis aux pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires abaissées du point <math>\mathrm{Z}</math> sur les directions des canaux, et ces perpendiculaires avec la droite <math>\mathrm{ZO}</math> seront les directions des branches de route qui joindront la ville aux deux ponts. La longueur totale de la route à construire aura encore ici pour expression, comme dans le premier cas,
2.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les directions des deux canaux,
 
est de <math>60^\circ</math> (fig. 4) ; en faisant passer par la ville une parallèle <math>\mathrm{OK}</math>
 
à la droite <math>\mathrm{AD}</math> qui divise cet angle en deux parties égales, et prenant
 
arbitrairement sur cette droite un point <math>\mathrm{Z}</math> entre <math>\mathrm{O}</math> et <math>\mathrm{K}</math>, les ponts
 
pourront être établis aux pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires abaissées
 
du point <math>\mathrm{Z}</math> sur les directions des canaux, et ces perpendiculaires avec
 
la droite <math>\mathrm{ZO}</math> seront les directions des branches de route qui joindront
 
la ville aux deux ponts. La longueur totale de la route à construire
 
aura encore ici pour expression, comme dans le premier cas,
 
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