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{{Br0}}mais comme, par l’intermédiaire de <math>x</math> et <math>y,</math> la variable subordonnée |
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<math>z</math> est aussi fonction de <math>u</math> et <math>v,</math> on peut dire également qu’elle deviendra |
mais comme, par l’intermédiaire de <math>x</math> et <math>y,</math> la variable subordonnée <math>z</math> est aussi fonction de <math>u</math> et <math>v,</math> on peut dire également qu’elle deviendra |
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{{c|<math>z+\tfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}\tfrac{g}{1}+\tfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}v}\tfrac{h}{1}+\cdots~;</math>}} |
{{c|<math>z+\tfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}\tfrac{g}{1}+\tfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}v}\tfrac{h}{1}+\cdots~;</math>}} |
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{{SA|on doit donc avoir}} |
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{{c|<math>p\tfrac{\mathrm{G}}{1}+q\tfrac{\mathrm{H}}{1}+\cdots=\tfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}\tfrac{g}{1}+\tfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}v}\tfrac{h}{1}+\cdots</math>}} |
{{c|<math>p\tfrac{\mathrm{G}}{1}+q\tfrac{\mathrm{H}}{1}+\cdots=\tfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}\tfrac{g}{1}+\tfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}v}\tfrac{h}{1}+\cdots</math>}} |
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{{SA|mettant, dans cette dernière équation, pour <math>\mathrm{G}</math> et <math>\mathrm{H}</math> leurs valeurs, et ordonnant l’équation résultante par rapport aux puissances et produits de puissances des accroissemens <math>g</math> et <math>h,</math> tous les termes de cette équation, en vertu de l’indépendance de ces accroissemens, devront séparément se détruire ; et, en exprimant qu’ils se détruisent en effet, on obtiendra une suite indéfinie d’équations, dont les cinq premières seront les mêmes que celles que nous avons obtenues ci-dessus, et donneront conséquemment les mêmes valeurs pour <math>p,q,r,s,t.</math>}} |
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mettant, dans cette dernière équation, pour <math>\mathrm{G}</math> et <math>\mathrm{H}</math> leurs valeurs, et |
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ordonnant l’équation résultante par rapport aux puissances et produits de puissances des accroissemens <math>g</math> et <math>h,</math> tous les termes de |
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cette équation, en vertu de l’indépendance de ces accroissemens, devront séparément se détruire ; et, en exprimant qu’ils se détruisent |
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en effet, on obtiendra une suite indéfinie d’équations, dont les |
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cinq premières seront les mêmes que celles que nous avons obtenues |
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ci-dessus, et donneront conséquemment les mêmes valeurs pour <math>p,q,r,s,t.</math> |
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Voici encore, pour parvenir au même but, une autre méthode qui, je crois, n’a été indiquée nulle part, et qui, sans être aussi laborieuse que la précédente, a, comme elle, l’avantage de ne dépendre aucunement de la considération des infiniment petits ; elle s’applique d’ailleurs, avec une extrême facilité, au changement de la variable indépendante, dans les fonctions d’une seule variable. |
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Voici encore, pour parvenir au même but, une autre méthode qui, |
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je crois, n’a été indiquée nulle part, et qui, sans être aussi laborieuse que la précédente, a, comme elle, l’avantage de ne dépendre |
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aucunement de la considération des infiniment petits ; elle s’applique |
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d’ailleurs, avec une extrême facilité, au changement de la variable |
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indépendante, dans les fonctions d’une seule variable. |
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Soit l’équation <math>\mathrm{M=0,}</math> dans laquelle <math>\mathrm{M}</math> est supposée une fonction quelconque de <math>x,y,z</math> ; si l’on cherche ses dérivées successives, |
Soit l’équation <math>\mathrm{M=0,}</math> dans laquelle <math>\mathrm{M}</math> est supposée une fonction quelconque de <math>x,y,z</math> ; si l’on cherche ses dérivées successives, en considérant <math>z</math> comme une fonction de <math>x</math> et <math>y,</math> celles du premier ordre seront |
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en considérant <math>z</math> comme une fonction de <math>x</math> et <math>y,</math> celles du premier |
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ordre seront |
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{{c|<math>\mathrm{(A)}\quad\tfrac{\mathrm{dM}}{\mathrm{d}z}p+\tfrac{\mathrm{dM}}{\mathrm{d}x}=0,\quad \mathrm{(B)}\quad\tfrac{\mathrm{dM}}{\mathrm{d}z}q+\tfrac{\mathrm{dM}}{\mathrm{d}y}=0~;</math>}} |
{{c|<math>\mathrm{(A)}\quad\tfrac{\mathrm{dM}}{\mathrm{d}z}p+\tfrac{\mathrm{dM}}{\mathrm{d}x}=0,\quad \mathrm{(B)}\quad\tfrac{\mathrm{dM}}{\mathrm{d}z}q+\tfrac{\mathrm{dM}}{\mathrm{d}y}=0~;</math>}} |
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