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« Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/376 » : différence entre les versions

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<math>
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\begin{align}
\begin{align}
&Cos.\alpha=\frac{AB}{\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}}, \quad &&Cos.2\alpha=\frac{\overline{AB}^2-\overline{AC}^2-\overline{AD}^2}{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2},\\
&Cos.\alpha=\mathrm{\tfrac{AB}{\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}}}, \quad &&Cos.2\alpha=\mathrm{\tfrac{\overline{AB}^2-\overline{AC}^2-\overline{AD}^2}{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}},\\


&Cos.\beta=\frac{AC}{\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}}, \quad &&Cos.2\beta=\frac{\overline{AC}^2-\overline{AB}^2-\overline{AD}^2}{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2},\\
&Cos.\beta=\mathrm{\tfrac{AC}{\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}}}, \quad &&Cos.2\beta=\mathrm{\tfrac{\overline{AC}^2-\overline{AB}^2-\overline{AD}^2}{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}},\\


&Cos.\gamma=\frac{AD}{\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}},\quad &&Cos.2\alpha=\frac{\overline{AD}^2-\overline{AB}^2-\overline{AC}^2}{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2},\\
&Cos.\gamma=\mathrm{\tfrac{AD}{\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}}},\quad &&Cos.2\alpha=\mathrm{\tfrac{\overline{AD}^2-\overline{AB}^2-\overline{AC}^2}{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}},\\
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
d’où on conclut
{{Br0}}d’où on conclut

{{c|<math>Cos.2\alpha+Cos.2\beta+Cos.2\gamma=-1</math> ;}}
{{c|<math>Cos.2\alpha+Cos.2\beta+Cos.2\gamma=-1</math> ;}}
⚫
{{Br0}}les trois angles que font deux à deux les axes du tétraèdre rectangulaire

⚫
les trois angles que font deux à deux les axes du tétraèdre rectangulaire
sont donc liés entre eux par la condition que la somme de
sont donc liés entre eux par la condition que la somme de
leurs cosinus est égale au cosinus de la demi-circonférence.
leurs cosinus est égale au cosinus de la demi-circonférence.




24. En nommant <math>S</math> l’aire de la face hypothénusale, on a <math>S^2=\frac{1}{4}(\overline{AB}^2\cdot\overline{AC}^2+\overline{AB}^2\cdot\overline{AD}^2+\overline{AC}^2\cdot\overline{AD}^2)</math> ; équation à laquelle on peut
24. En nommant <math>\mathrm{S}</math> l’aire de la face hypothénusale, on a
<br><math>\mathrm{S^2=\tfrac{1}{4}(\overline{AB}^2\cdot\overline{AC}^2+\overline{AB}^2\cdot\overline{AD}^2+\overline{AC}^2\cdot\overline{AD}^2)}</math> ; équation à laquelle on peut
donner les trois formes suivantes :
donner les trois formes suivantes :
⚫
{{c|<math>\mathrm{S^2-\tfrac{1}{4}\overline{AC}^2\cdot\overline{AD}^2=\tfrac{1}{4}\overline{AB}^2 \cdot \overline{CD}^2}</math>,}}

{{c|<math>S^2-\frac{1}{4}\overline{AC}^2\cdot\overline{AD}^2=\frac{1}{4}\overline{AB}^2 \cdot \overline{CD}^2</math>,}}
{{c|<math>\mathrm{S^2-\tfrac{1}{4}\overline{AB}^2 \cdot \overline{AD}^2=\tfrac{1}{4}\overline{AC}^2 \cdot \overline{BD}^2}</math>,}}
⚫
{{c|<math>\mathrm{S^2-\tfrac{1}{4}\overline{AB}^2 \cdot \overline{AC}^2=\tfrac{1}{4}\overline{AD}^2 \cdot \overline{BC}^2}</math>,}}

⚫
{{Br0}}si l’on ajoute ces trois équations en observant que leurs seconds membres

⚫
{{c|<math>S^2-\frac{1}{4}\overline{AB}^2 \cdot \overline{AD}^2=\frac{1}{4}\overline{AC}^2 \cdot \overline{BD}^2</math>,}}


⚫
{{c|<math>S^2-\frac{1}{4}\overline{AB}^2 \cdot \overline{AC}^2=\frac{1}{4}\overline{AD}^2 \cdot \overline{BC}^2</math>,}}

⚫
si l’on ajoute ces trois équations en observant que leurs seconds membres
sont égaux à quatre fois les quarrés des aires des sections principales,
sont égaux à quatre fois les quarrés des aires des sections principales,
on trouvera, en désignant ces sections par <math>s,\ s',\ s''</math>,
on trouvera, en désignant ces sections par <math>s,\ s',\ s''</math>,
⚫
{{c|<math>\mathrm{S}^2=2(s^2+s'^2+s''^2)</math> ;}}

⚫
{{Br0}}donc, ''dans tout tétraèdre rectangulaire, le quarré de l’aire de la face hypothènusale est double de la somme des quarrés des aires des sections principales''.
⚫
{{c|<math>S^2=2(s^2+s'^2+s''^2)</math> ;}}

⚫
donc, ''dans tout tétraèdre rectangulaire, le quarré de l’aire de la
face hypothènusale est double de la somme des quarrés des aires des
sections principales''.


25. ''Tout plan passant par l’un des axes d’un tétraèdre quelconque, divise ce tétraèdre en deux parties équivalentes''.
25. ''Tout plan passant par l’un des axes d’un tétraèdre quelconque, divise ce tétraèdre en deux parties équivalentes''.


Soit, en effet, <math>aNbQ</math> (fig.4) le plan coupant conduit par l’axe
Soit, en effet, <math>a\mathrm{N}b\mathrm{Q}</math> (fig.4) le plan coupant conduit par l’axe
<math>NQ</math>. Le plan principal <math>RNSQ</math> partage le tétraèdre <math>(11)</math> en deux parties
<math>\mathrm{NQ}</math>. Le plan principal <math>\mathrm{RNSQ}</math> partage le tétraèdre <math>(11)</math> en deux parties
équivalentes ; et le plan <math>aNbQ</math> ôte à l’une de ces parties le {{tiret|té|traèdre}}
équivalentes ; et le plan <math>a\mathrm{N}b\mathrm{Q}</math> ôte à l’une de ces parties le {{tiret|té|traèdre}}
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