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{{Br0}}la simple application des formules du problème précédent nous fera

voir que,

Pour la première rotation autour de <math>\mathrm{A}</math>,

{{c|<math>

\begin{align}

x&=\alpha+(n\gamma-o\beta)\mathrm{A} ;\\

y&=\beta+(o\alpha-m\gamma)\mathrm{A} ;\\

z&=\gamma+(m\beta-n\alpha)\mathrm{A} ;\\

\end{align}

</math>}}

Pour la rotation autour de <math>\mathrm{B}</math>,

{{c|<math>

\begin{align}

x'&=x+(qz-ry)\mathrm{B} ;\\

y'&=y+(rx-pz)\mathrm{B} ;\\

z'&=z+(py-qx)\mathrm{B} ;\\

\end{align}

</math>}}

Pour la rotation autour de <math>\mathrm{C}</math>,

{{c|<math>x''=x'+(tz'-uy')\mathrm{C}</math> ;}}

{{c|<math>y''=y'+(ux'-sz')\mathrm{C}</math> ;}}

{{c|<math>z''=z'+(sy'-tx')\mathrm{C}</math><ref> À la rigueur, il n’y a que la première rotation qui s’exécute réellement de la manière qu’on le suppose ici : attendu que le point <math>\mathrm{B}</math> éprouve un déplacement, et le point <math>\mathrm{C}</math> deux, avant que la rotation ait lien autour de l’un et de l’autre ; mais la petitesse supposée des mouvemens angulaires permet de ne point faire entrer ces déplacemens en considération ; et, en négligeant d’y avoir égard, les calculs se simplifient considérablement, sans que les conclusions auxquelles l’auteur se propose de parvenir soient affectées de la moindre erreur, ainsi qu’il serait aisé de s’en convaincre, en comparant son procédé à un autre plus rigoureux.<br> {{d|''(Note des éditeurs.)''}}</ref> ;}}

{{Br0}}ce qui donne, moyennant deux simples substitutions successives, et

en supprimant les quarrés de <math>\mathrm{A,B,C,}</math> les formules finales qui suivent :

{{c|<math>

\begin{align}

x''&=\alpha+(n\gamma-o\beta)\mathrm{A}+(q\gamma-r\beta)\mathrm{B}+(t\gamma-u\beta)\mathrm{C} ;\\

y''&=\beta+(o\alpha-m\gamma)\mathrm{A}+(r\alpha-p\gamma)\mathrm{B}+(u\alpha-s\gamma)\mathrm{C} ;\\

z''&=\gamma+(m\beta-n\alpha)\mathrm{A}+(p\beta-q\alpha)\mathrm{B}+(s\beta-t\alpha)\mathrm{C} ;\\

\end{align}

</math>}}

{{Br0}}et le problème sera résolu.