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{{Nr|362|{{sc|PROPRIÉTÉS}}.|}} |
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<math> |
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\begin{align} |
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{{c|PROPRIÉTÉS}} |
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&Cos .\ alpha=\frac{ AB}{\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}}, \quad &&Cos .2\alpha=\frac{\overline{ AB}^2-\overline{ AC}^2-\overline{ AD}^2}{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}, \\ |
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<math>Cos \cdot \alpha = \frac{AB}{\sqrt{\overline{AB}^{2} + \overline{AC}^{2} + \overline{AD}^{2}}}, \quad Cos \cdot 2\alpha = \frac{\overline{AB}^{2} - \overline{AC}^{2} - \overline{AD}^{2}}{\overline{AB}^{2} + \overline{AC}^{2} + \overline{AD}^{2}},</math>
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&Cos.\beta=\frac{AC}{\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}}, \quad &&Cos.2\beta=\frac{\overline{AC}^2-\overline{AB}^2-\overline{AD}^2}{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2},\\ |
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&Cos .\ gamma=\frac{ AD}{\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}},\quad &&Cos .2\ alpha=\frac{\overline{ AD}^2-\overline{AB}^2-\overline{ AC}^2}{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2+\overline{AD}^2}, \\ |
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\end{align} |
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</math> |
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{{c|<math>Cos .2\alpha+Cos .2\beta+Cos .2\gamma=-1</math> ;}} |
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<math>Cos \ cdot \beta = \frac{ AC}{\sqrt{\overline{AB}^ {2 } + \overline{AC}^ {2 } + \overline{AD}^ {2 }}}, \quad Cos \cdot 2\ beta = \frac{\overline{ AC}^ {2 } - \overline{AB}^ {2 } - \overline{ AD}^ {2 }}{\overline{AB}^ {2 } + \overline{AC}^ {2 } + \overline{AD}^ {2 }}, </math> |
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les trois angles que font deux à deux les axes du tétraèdre rectangulaire |
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sont donc liés entre eux par la condition que la somme de |
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leurs cosinus est égale au cosinus de la demi-circonférence. |
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<math>Cos \ cdot \gamma = \frac{ AD}{\sqrt{\overline{AB}^ {2 } + \overline{AC}^ {2 } + \overline{AD}^ {2 }}}, \quad Cos \cdot 2\alpha = \frac{\overline{ AD}^ {2 } - \overline{ AB}^ {2 } - \overline{ AC}^ {2 }}{\overline{AB}^ {2 } + \overline{AC}^ {2 } + \overline{AD}^ {2 }}, </math> |
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24. En nommant <math>S</math> l’aire de la face hypothénusale, on a <math>S^2=\frac{1}{4}(\overline{AB}^2\cdot\overline{AC}^2+\overline{AB}^2\cdot\overline{AD}^2+\overline{AC}^2\cdot\overline{AD}^2)</math> ; équation à laquelle on peut |
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donner les trois formes suivantes : |
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{{c|<math>S^2-\frac{1}{4}\overline{ AC}^2\cdot\overline{AD}^2=\frac{1}{4}\overline{ AB}^2 \cdot \overline{ CD}^2</math>,}} |
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{{c|<math>Cos \cdot 2\alpha + Cos \cdot2\beta + Cos \cdot2\gamma = -1</math>;}} |
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les trois angles que font deux à deux les axes du tétraèdre rectangulaire |
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sont donc liés entre eux par la condition que la somme de |
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leurs cosinus est égale au cosinus de la demi-circonférence. |
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{{c|<math>S^2-\frac{1}{4}\overline{AB}^2 \cdot \overline{ AD}^2=\frac{1}{4}\overline{ AC}^2 \cdot \overline{ BD}^2</math>,}} |
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24. En nommant <math>S</math> l'aire de la face hypothènusale, on a <math>S^ {2 } = \frac{1}{4} (\overline{AB}^ {2 } \cdot \overline{AC}^ {2 } + \overline{AB}^ {2 } \cdot \overline{AD}^ {2 } + \overline{AC}^ {2 } \cdot \overline{AD}^ {2 } )</math> ; équation à laquelle on peut |
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donner les trois formes suivantes : |
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{{c|<math>S^{2} - \frac{1}{4} \overline{AC}^{2} \cdot \overline{AD}^{2} = \frac{1}{4} \overline{AB}^{2} \cdot \overline{CD}^{2}</math>,}} |
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{{c|<math>S^2-\frac{1}{4}\overline{AB}^2 \cdot \overline{AC}^2=\frac{1}{4}\overline{AD}^2 \cdot \overline{BC}^2</math>,}} |
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si l’on ajoute ces trois équations en observant que leurs seconds membres |
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{{c|<math>S^ {2 } - \frac{1}{4} \overline{ AB}^ {2 } \cdot \overline{AD}^ {2 } = \frac{1}{4} \overline{ AC}^ {2 } \cdot \overline{ BD}^ {2 }</math>,}} |
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{{c|<math>S^ {2 } - \frac{1}{4} \overline{AB}^ {2 } \cdot \overline{ AC}^ {2 } = \frac{1}{4} \overline{ AD}^ {2 } \cdot \overline{ BC}^ {2 }</math>,}} |
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si l'on ajoute ces trois équations en observant que leurs seconds membres |
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sont égaux à quatre fois les quarrés des aires des sections principales, |
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sont égaux à quatre fois les quarrés des aires des sections principales, |
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on trouvera, en désignant ces sections par <math>s,\ s',\ s''</math>, |
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on trouvera, en désignant ces sections par <math>s,\ s',\ s''</math>, |
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{{c|<math>S^{2} = 2(s^{2} + s'^{2} + s''^{2})</math> ;}} |
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{{c|<math>S^2=2(s^2+s'^2+s''^2)</math> ;}} |
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donc, ''dans tout tétraèdre rectangulaire, le quarré de l'aire de la |
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donc, ''dans tout tétraèdre rectangulaire, le quarré de l’aire de la |
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face hypothènusale est double de la somme des quarrés des aires des |
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face hypothènusale est double de la somme des quarrés des aires des |
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sections principales''. |
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sections principales''. |
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25. ''Tout plan passant par l'un des axes d'un tétraèdre quelconque, divise ce tétraèdre en deux parties équivalentes''. |
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25. ''Tout plan passant par l’un des axes d’un tétraèdre quelconque, divise ce tétraèdre en deux parties équivalentes''. |
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Soit, en effet, <math>aNbQ</math> (fig.4) le plan coupant conduit par l'axe |
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Soit, en effet, <math>aNbQ</math> (fig.4) le plan coupant conduit par l’axe |
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<math>NQ</math>. Le plan principal <math>RNSQ</math> partage le tétraèdre <math>(11)</math> en deux parties |
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<math>NQ</math>. Le plan principal <math>RNSQ</math> partage le tétraèdre <math>(11)</math> en deux parties |
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équivalentes ; et le plan <math>aNbQ</math> ôte à l'une de ces parties le té- |
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équivalentes ; et le plan <math>aNbQ</math> ôte à l’une de ces parties le {{tiret|té|traèdre}} |
