Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre II

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 4-7).

II.

Il ne sera pas inutile de mettre ici sous les yeux quelques propositions qui sont d’un usage fréquent dans les questions de ce genre.

1. L’angle de deux droites qui se coupent a pour mesure l’angle compris entre les points qui, sur la surface de la sphère, répondent à leurs directions.

2. La situation d’un plan quelconque peut être représentée par le grand cercle de la sphère, dont le plan lui est parallèle.

3. L’angle entre deux plans est égal à l’angle sphérique compris entre les deux grands cercles qui les représentent, et, par conséquent, a pour mesure l’arc intercepté entre les pôles de ces grands cercles. Par suite, l’inclinaison d’une droite sur un plan a pour mesure l’arc mené normalement du point qui répond à la direction de la droite, au grand cercle qui représente la situation du plan.

4. Désignant par $x,\,y,\,z,\,x'\,y'\,z',$ les coordonnées de deux points, par $r$ la distance entre ces points, et par $\mathrm {L}$ le point qui, sur la surface de la sphère, représente la direction de la droite menée du premier point au second, on aura

${\begin{alignedat}{5}x'\,&=\,&x\,&+\,&r\cos(1)\mathrm {L} ,\\y'\,&=\,&y\,&+\,&r\cos(2)\mathrm {L} ,\\z'\,&=\,&z\,&+\,&r\cos(3)\mathrm {L} .\end{alignedat}}$

5. De là on déduit facilement qu’on a, en général,

$\cos ^{2}(1)\mathrm {L} +\cos ^{2}(2)\mathrm {L} +\cos ^{2}(3)\mathrm {L} =1,$

et, en désignant par $\mathrm {L} '$ un autre point quelconque de la surface de la sphère,

$\cos(1)\mathrm {L} .\cos(1)\mathrm {L} '+\cos(2)\mathrm {L} .\cos(2)\mathrm {L} '+\cos(3)\mathrm {L} .\cos(3)\mathrm {L} '=\cos \mathrm {LL'} .$

6. Théorème. En désignant par $\mathrm {L} ,\ \mathrm {L} ',\ \mathrm {L} '',\ \mathrm {L} '''$ quatre points sur la surface de la sphère, et par $\mathrm {A}$ l’angle que les arcs $\mathrm {LL} ',\ \mathrm {L} ''\mathrm {L} '''$ forment à leur point de concours, on aura

$\cos \mathrm {LL} ''.\cos \mathrm {L} '\mathrm {L} '''-\cos \mathrm {LL} '''.\cos \mathrm {L} '\mathrm {L} ''=\sin \mathrm {L} \mathrm {L} '.\sin \mathrm {L} ''\mathrm {L} '''.\cos \mathrm {A} .$

Démonstration. Dénotons de plus, par la lettre $\mathrm {A}$, le point même de concours, et posons

$\mathrm {AL} =t,\quad \mathrm {AL} '=t',\quad \mathrm {AL} ''=t'',\quad \mathrm {AL} '''=t'''\,;$

nous avons ainsi :

${\begin{array}{lclcl}\cos \mathrm {LL} ''&=&\cos t.\cos t''&+&\sin t.\sin t''\cos \mathrm {A} ,\\\cos \mathrm {L} '\mathrm {L} '''&=&\cos t'.\cos t'''&+&\sin t'.\sin t'''\cos \mathrm {A} ,\\\cos \mathrm {L} \mathrm {L} '''&=&\cos t.\cos t'''&+&\sin t.\sin t'''\cos \mathrm {A} ,\\\cos \mathrm {L} '\mathrm {L} ''&=&\cos t'.\cos t''&+&\sin t'.\sin t''\cos \mathrm {A} ,\end{array}}$

et, par conséquent,

$\cos \mathrm {LL} ''.\cos \mathrm {L} '\mathrm {L} '''-\cos \mathrm {LL} '''.\cos \mathrm {L} '\mathrm {L} ''$

$=\cos \mathrm {A} \left({\begin{alignedat}{3}&\cos t\cos t''\sin t'\sin t'''\\+\ &\cos t'\cos t'''\sin t\sin t''-\cos t\cos t'''\sin t'\sin t''\\-\ &\cos t'\cos t''\sin t\sin t'''\end{alignedat}}\right)$

$=\cos \mathrm {A} (\cos t\sin t'-\sin t\cos t')(\cos t''\sin t'''-\sin t''\cos t''')$

$=\cos \mathrm {A} .\sin(t'-t).\sin(t'''-t'')$

$=\cos \mathrm {A} .\sin \mathrm {LL} '.\sin \mathrm {L} ''\mathrm {L} '''.$

D’ailleurs, comme il part du point $\mathrm {A}$ deux branches de chaque grand cercle, il se forme en ce point deux angles, dont l’un est le complément de l’autre à 180 degrés : mais notre analyse montre qu’on doit prendre les branches dont les directions concordent avec le sens de la marche du point $\mathrm {L}$ vers $\mathrm {L'}$, et du point $\mathrm {L''}$ vers $\mathrm {L'''}$ : ceci compris, on voit en même temps que, les grands cercles concourant en deux points, on peut prendre arbitrairement celui des deux qu’on voudra. Au lieu de l’angle $\mathrm {A}$, on peut aussi prendre l’arc compris entre les pôles des grands cercles dont font partie les arcs $\mathrm {LL',\,L''L'''}$ mais il est évident qu’on doit prendre les pôles qui sont situés semblablement par rapport à ces arcs, c’est-à-dire que les deux pôles soient situés à droite, quand on marche de $\mathrm {L}$ vers $\mathrm {L'}$, et de $\mathrm {L''}$ vers $\mathrm {L'''}$, ou bien tous les deux à gauche.

7. Soient $\mathrm {L,\,L',\,L''}$ trois points sur la surface de la sphère, et posons, pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}&\cos(1)\mathrm {L} &&=x,\quad &&\cos(2)\mathrm {L} &&=y,\quad &&\cos(3)\mathrm {L} &=z,\\&\cos(1)\mathrm {L'} &&=x',\quad &&\cos(2)\mathrm {L'} &&=y',\quad &&\cos(3)\mathrm {L'} &=z',\\&\cos(1)\mathrm {L''} &&=x'',\quad &&\cos(2)\mathrm {L''} &&=y'',\quad &&\cos(3)\mathrm {L''} &=z'',\end{alignedat}}$

et

$xy'z''+x'y''z+x''yz'-xy''z'-x'yz''-x''y'z=\Delta .$

Que $\lambda$ désigne celui des pôles du grand cercle, dont l’arc $\mathrm {LL'}$ fait partie, qui est placé par rapport à cet arc de la même manière que le point $(1)$ est placé par rapport à l’arc $(2),\,(3).$ Alors on aura, d’après le théorème précédent,

$yz'-y'z=\cos(1)\lambda .\sin(2)(3).\sin \mathrm {LL'} ,$

ou, à cause de $(2)(3)=90$ degrés,

$yz'-y'z=\cos(1)\lambda .\sin \mathrm {LL'} ,$

et, de la même manière,

$zx'-z'x=\cos(2)\lambda .\sin \mathrm {LL'} ,$

$xy'-x'y=\cos(3)\lambda .\sin \mathrm {LL'} .$

Multipliant ces équations respectivement par $x'',\,y'',\,z'',$ et ajoutant, nous obtiendrons, au moyen du second théorème rapporté au n^o 5,

$\Delta =\cos \lambda \mathrm {L''} .\sin \mathrm {LL'} .$

Il faut maintenant distinguer trois cas. Premièrement, chaque fois que $\mathrm {L''}$ est situé sur le grand cercle dont fait partie l’arc $\mathrm {LL'}$, on aura $\lambda \mathrm {L''} =90$ degrés, et par suite, $\Delta =0$. Mais quand $\mathrm {L''}$ est situé hors de ce grand cercle, on aura le deuxième cas, s’il est dans le même hémisphère que $\lambda$ ; le troisième, s’il est dans l’hémisphère opposé : dans ces derniers cas, les points $\mathrm {L,\,L',\,L''}$ formeront un triangle sphérique, et seront placés, dans le deuxième cas, dans le même ordre que les points $(1),\,(2),\,(3),$ et, dans le troisième cas, dans l’ordre opposé. En désignant simplement par $\mathrm {L,\,L',\,L''}$ les angles de ce triangle et par $p$ la perpendiculaire menée, sur la surface de la sphère, du point $\mathrm {L''}$ au côté $\mathrm {LL'} ,$ on aura

$\sin p=\sin \mathrm {L} .\sin \mathrm {LL''} =\sin \mathrm {L'} .\sin \mathrm {L'L''}$, et $\lambda \mathrm {L''} =90^{\circ }\mp p,$

le signe supérieur devant être pris dans le deuxième cas, et le signe supérieur dans le troisième. De là aussi nous tirons

${\begin{alignedat}{2}\pm \Delta =\sin \mathrm {L} .\sin \mathrm {LL'} .\sin \mathrm {LL''} &=\sin \mathrm {L'} .\sin \mathrm {LL'} .sin\mathrm {L'L''} \\&=\sin \mathrm {L''} .\sin \mathrm {LL''} .\sin \mathrm {L'L''} .\end{alignedat}}$

Il est d’ailleurs évident que le premier cas peut être censé compris dans le deuxième ou le troisième, et l’on voit sans embarras que $\pm \Delta$ est égal à six fois le volume de la pyramide formée entre les points $\mathrm {L,\,L',\,L''}$ et le centre de la sphère. Enfin, on tire de là avec la plus grande facilité, que la même expression $\pm {\tfrac {1}{6}}\Delta$ exprime généralement le volume d’une pyramide quelconque comprise entre l’origine des coordonnées et les points dont $x,\,y,\,z\,;$ $x',\,y',\,z'\,;$ $x'',\,y'',\,z''$ sont les coordonnées.