Recherches arithmétiques/Section cinquième (suite 4)

245. Théorème. Si la forme est comprise dans le même ordre que que soit comprise dans le même ordre que la forme composée de aura le même déterminant, et sera comprise dans le même ordre que composée de

Soient , , , et les déterminants , ,  ; soit le plus grand diviseur commun des nombres le plus grand diviseur commun des nombres et que aient les mêmes significations par rapport aux et respectivement. L’ordre de la forme sera déterminé par les nombres , , , d’où il suit que les mêmes nombres auront lieu pour la forme  ; par la même raison, les nombres seront pour la forme ce qu’ils sont pour la forme . Or (no 235) les nombres , , sont déterminés par les nombres , ,  ; , ,  ; savoir, est le plus grand commun diviseur des nombres et , et (si l’on a en même temps , ), ou (si , ou ). Comme ces propriétés de suivent de ce que est composé de , , on voit saus peine que , , seront pour ce qu’ils sont pour , et que parconséquent et sont de même ordre.

Nous appellerons en conséquence l’ordre qui renferme la forme , ordre composé de ceux qui renferment et . Ainsi, par exemple, l’ordre composé de deux ordres proprement primitifs est aussi un ordre proprement primitif, et l’ordre composé d’un ordre proprement primitif et d’un ordre improprement primitif, est un ordre improprement primitif.

C’est dans le même sens que nous pourrons dire qu’un certain ordre est composé de plusieurs autres.

246. Problème. Étant proposées deux formes primitives quelconques de la composition desquelles naît la forme , du genre auquel appartiennent et déterminer le genre auquel appartient

I. Considérons d’abord le cas où une des deux formes au moins, la première par exemple, est proprement primitive, et désignons par , , , les déterminans des formes , ,  : alors sera le plus grand commun diviseur des nombres ,  ; étant , ou , suivant que est proprement ou improprement primitive : dans le premier cas, appartiendrait à un ordre proprement primitif ; dans le second, à un ordre improprement primitif. Maintenant le genre de la forme se déterminera par ses caractères particuliers, tant à l’égard des différens diviseurs premiers impairs de , que, dans quelques cas, à l’égard des nombres ou . Il faudra donc déterminer chacun d’eux.

1o. Si est un diviseur premier quelconque de , il divisera nécessairement et  ; ainsi la relation de la forme avec , se trouvera parmi les caractères des formes , . Or, si le nombre peut être représenté par la forme , et le nombre par , pourra l’être par . Si donc des résidus quadratiques de , non divisibles par , peuvent être représentés, tant par que par , il pourra y en avoir de représentés par la forme  ; c’est-à-dire, que si l’une et l’autre de ces deux formes a le caractère , la forme aura le même caractère. Par une raison semblable, la forme aura le caractère , si les deux formes , ont le caractère  ; au contraire aura le caractère , si l’une des formes et a le caractère , et l’autre le caractère .

2o. Si dans le caractère complet de la forme , il entre une relation à l’égard du nombre , cette relation doit entrer aussi dans les caractères des formes , . En effet, cela ne peut arriver que lorsque ou  ; quand est divisible par , et le seront aussi ; donc ne peut pas être improprement primitive (no 226), et partant on a  ; donc et sont divisibles par , et le caractère de chacune d’elles renfermera la relation à l’égard de . Quand , divisera et , les quotiens seront des nombres quarrés, et parconséquent et seront ou , ou , et la relation à l’égard du nombre sera comprise dans les caractères des formes , . Donc il suit de là, comme dans 1o., que le caractère de la forme sera 1,4, si les deux formes , ont le caractère 1,4 ou le caractère 3,4, et qu’au contraire le caractère de la forme sera 3,4, si l’une des formes , a le caractère 1,4 et l’autre le caractère 3,4.

3o. Quand est divisible par , l’est aussi ; donc est proprement primitive, , et divisible par ainsi un des caractères peut se trouver parmi les caractères de , s’il a lieu tant pour la forme que pour la forme . On s’assure facilement, comme ci-dessus, que le caractère de la forme est si , ont le même caractère ; qu’il sera si l’une des formes a le caractère et l’autre le caractère ou si l’une a le caractère et l’autre le caractère qu’il sera si , ont pour caractères l’une l’autre ou et et enfin qu’il sera si ont pour caractères et ou et

4o. Quand , sera , ou  ; partant , et ou  ; mais comme est le plus grand commun diviseur de et , ces deux nombres ne peuvent pas être tous deux divisibles par . Donc dans ce cas le caractère de la forme ne pourra être que et ou et , soit que les deux formes , aient l’un de ces deux caractères, soit que l’une d’elles en ayant un, l’autre ait un des caractères : d’où l’on voit facilement que le caractère de la forme se détermine par la table suivante :

Caractères de l’une des formes

1
1

3
1
Caractères de l’autre forme
Caractères résultans pour
et


5o. On prouve de la même manière, pour qu’on ne peut donner à la forme l’un ou l’autre des caractères et et à moins que quelqu’un de ces caractères n’appartienne à l’une des formes et que l’autre n’ait l’un de ces mêmes caractères ou l’un des suivans : desorte qu’on déterminera le caractère de la forme par la

table suivante :
Caractères de l’une des formes

1
1

3
1
Caractères de l’autre forme
Caractères de la forme
et


II. Si chacune des formes est improprement primitive, sera le plus grand commun diviseur des nombres et ou celui de et il suit de là que et sont puisque (no 226) et le sont. Mais en posant le plus grand commun diviseur des nombres sera et celui des nombres sera donc est une forme dérivée de la forme improprement primitive dont est le déterminant, et dont le genre déterminera celui de Comme cette forme est improprement primitive, son caractère ne renfermera point de relations avec et mais seulement avec les différens diviseurs premiers impairs de Or ces diviseurs doivent nécessairement l’être de et Si les deux facteurs d’un produit sont représentables l’un par et l’autre par la moitié de ce produit le sera nécessairement par la forme on voit facilement, d’après cela, que le caractère de cette forme, à l’égard du nombre premier diviseur de sera d’abord, si et que les formes aient un même caractère à l’égard de ensuite si l’on a et que les caractères des formes soient opposés à l’égard de Au contraire, le caractère de cette forme sera si ont le même caractère et qu’on ait ou s’ils en ont un différent, et qu’on ait

247. Par la solution du problème précédent, il est évident que si est une forme primitive du même ordre et du même genre que , que soit une forme primitive du même ordre et du même genre que , la forme composée de , appartient au même genre que la forme composée. On voit par là ce que signifie un genre composé de deux ou de plusieurs autres genres. Or on voit encore que si , ont le même déterminant, que soit une forme d’un genre principal, et que soit composée de , , sera du même genre que , et qu’ainsi le genre principal peut toujours être omis dans la composition avec les autres genres de même déterminant. Si, toutes choses d’ailleurs égales, n’est pas du genre principal, et que soit une forme primitive, sera certainement d’un autre genre que . Enfin si , sont des formes proprement primitives de même genre, sera du genre principal (no 243 (2o.) et no 230, à la fin). Si donc une forme proprement primitive quelconque est composée avec elle-même, la forme qui résulte de la composition, et qui sera proprement primitive et de même déterminant, sera du genre principal ; mais si et sont toutes deux proprement primitives, de même déterminant et de genre différent, ne pourra pas appartenir au genre principal.

248. Problème. Étant proposées deux formes quelconques dont est composée ; déterminer le genre de d’après ceux de

Soit le plus grand commun diviseur des nombres , , , celui des nombres , , , de manière que et soient dérivées des formes primitives , , que nous désignerons par ,  ; cela posé, s’il y a au moins une des formes , qui soit proprement primitive, le plus grand commun diviseur des nombres , , sera , et sera dérivée de la forme primitive , et le genre de dépendra de celui de  ; mais on voit facilement que se change en par la même substitution qui change en , et que parconséquent est composée de ,  ; donc on pourra déterminer son genre par le problème du no 246.

Mais si et sont improprement primitives, le plus grand commun diviseur des nombres , , sera , et la forme , qui est encore ici composée de , , est évidemment dérivée de la forme proprement primitive . Le genre de cette forme pourra être déterminé par le no 246, et comme est dérivée de la même forme, son genre sera connu par là même.

Il est évident par cette solution, que le théorème donné au no précédent pour les formes primitives, a lieu pour des formés quelconques, savoir, si et sont des mêmes genres que et respectivement, la forme composée de , est du même genre que la forme composée de , .

249. Théorème. Si les formes sont des mêmes ordres, genres et classes que respectivement, la forme composée de et de est de la même classe que la forme composée de

Ce théorème n’est qu’une conséquence immédiate du no 239. On voit par là ce qu’on doit entendre par une classe composée de deux ou de plusieurs classes.

Si l’on compose une classe quelconque avec la classe principale, la classe composée sera elle-même ; ainsi dans la composition des classes de même déterminant, on peut négliger la classe principale. Or (no 243) il naît toujours une classe principale de la composition de deux classes opposées proprement primitives ; donc toute classe ambiguë étant sa propre opposée, en composant avec elle-même une classe ambiguë proprement primitive, la résultante est la classe principale de même déterminant.

La réciproque de la dernière proposition est également vraie : Si la résultante de la composition d’une classe proprement primitive avec elle-même, est la classe principale de même déterminant, sera nécessairement une classe ambiguë. En effet, si est une classe opposée à , la résultante des trois classes , , sera la même que celle de et , c’est-à-dire, sera égale à  ; mais la résultante de et est , et la résultante de et est , donc coïncide avec et est parconséquent une classe ambiguë.

Or on remarquera la proposition suivante : Si les classes sont opposées aux classes respectivement, la classe composée de sera opposée à la classe composée de Soient les formes , , , des classes , , , respectivement, la forme composée de , , la composée de ,  ; comme est improprement équivalente à et à , et que est composée directement de , , sera aussi composée de , , mais indirectement de chacune d’elles. Donc toute forme qui équivaut improprement à , sera composée directement des formes , , et partant sera improprement équivalente à (nos 238, 239) ; donc et seront proprement équivalentes, et les classes auxquelles elles appartiennent seront opposées.

Il suit de là que la résultante d’une classe ambiguë avec une autre classe ambiguë est elle-même une classe ambiguë ; car elle est opposée à la résultante des classes opposées à , et partant à elle-même, puisque ces classes sont elles-mêmes leurs opposées.

Observons enfin qu’étant proposées deux classes quelconques , de même déterminant, dont la première soit proprement primitive, on peut toujours trouver une classe de même déterminant, telle que soit composée de et de . En effet, on y parviendra en prenant pour la classe composée de et de la classe opposée à . On voit aussi très facilement que cette classe est la seule qui jouisse de cette propriété, ou que des classes différentes de même déterminant, composées avec la même classe proprement primitive, donnent des classes différentes.

La composition des classes peut se désigner commodément par le signe de multiplication , de même que l’identité des classes par le signe d’égalité. Au moyen de ces signes, la proposition que nous venons d’exposer peut être présentée de la manière suivante : Si la classe est opposée à , sera la classe principale de même déterminant ; donc , en prenant donc , on aura , comme on le desirait. Mais s’il y en avait une autre qui jouît de la même propriété, ou qu’on eût , on aurait  ; donc . Si l’on compose ensemble plusieurs classes identiques, on peut exprimer la résultante en mettant en exposant le nombre de ces classes. Ainsi désignerait la même chose que , , que . On pourrait employer la même notation pour les formes, mais nous nous en abstiendrons pour éviter l’ambiguité, ayant déjà donné une signification particulière à l’expression . Nous dirons que la classe provient de la duplication de la classe , de la triplication, etc.

250. Si est divisible par (en supposant positif), il y aura un ordre de formes de déterminant , dérivé de l’ordre proprement primitif de déterminant (ou deux quand est négatif, un positif et l’autre négatif). La forme appartiendra évidemment à cet ordre (à l’ordre positif), et pourra avec raison être considérée comme la forme la plus simple de cet ordre (comme la forme dans l’ordre négatif quand est négatif). Si en outre il y aura aussi un ordre de formes de déterminant dérivé d’un ordre improprement primitif de déterminant , auquel appartiendra évidemment la forme , qui sera la plus simple. Quand est négatif, il y aura deux ordres, et dans le négatif la forme sera la plus simple. Ainsi, par exemple, si l’on veut appliquer cela au cas où , dans les quatre ordres de formes de déterminant , les suivantes seront les plus simples :

Cette observation donne naissance au problème suivant :

Problème. Étant proposée une forme quelconque de l’ordre , trouver une forme primitive (positive, s’il y a lieu à distinction) qui, composée avec la forme la plus simple de l’ordre ait pour résultante .

Soit dérivée de la forme proprement primitive de déterminant .

1o. Si est proprement primitive, nous observerons d’abord que quand ne serait pas premier avec , on pourra toujours trouver des formes équivalentes à , et dont les premiers termes jouissent de cette propriété. Car (no 228) on peut trouver des nombres premiers à , et représentables par cette forme ; or soit un tel nombre, on aura , où l’on peut supposer que , soient premiers entre eux ; partant, on pourra déterminer deux nombres tels qu’on ait , et la forme se changera, par la substitution , , , , en une forme qui lui sera proprement équivalente et jouira de la propriété précitée. Maintenant, comme et sont équivalentes, on voit qu’il suffit de considérer le cas où est premier avec . Alors sera une forme proprement primitive, car si , et avaient un diviseur commun, il diviserait nécessairement  ; elle sera de même déterminant que , et l’on s’assurera facilement que se change par la substitution , , , , , , , , en le produit de la forme , par , qui sera la plus simple de l’ordre , à moins que la forme ne soit négative. Il suit de là, par la quatrième conclusion du no 235, que est composée de et  ; mais quand est négative, elle se changera, par la substitution , , ,  ; , , , , en le produit de la forme , qui est la plus simple de cet ordre, par la forme positive , et parconséquent elle sera composée de ces deux formes.

2o. Si est une forme improprement primitive, ou peut supposer que soit premier avec , car si cette propriété n’a pas lieu pour la forme , on trouvera toujours une forme qui en jouisse et qui soit proprement équivalente à Il suit de là que la forme est une forme proprement primitive de même déterminant que  ; on s’assurera aussi facilement que se change, par la substitution , , ,  ; , , , , en le produit des formes , , et que parconséquent elle est composée de ces deux formes, dont la première est la plus simple de l’ordre , et la seconde une forme proprement primitive positive. Les signes inférieurs doivent être pris quand est une forme négative, et les signes supérieurs dans les autres cas.

251. Problème. Étant proposées deux formes de même déterminant et qui appartiennent au même ordre trouver une forme proprement primitive de déterminant telle que la résultante de cette forme et de soit

Soit la forme la plus simple de l’ordre , et des formes proprement primitives de déterminant , qui, composées avec , donnent et respectivement, une forme proprement primitive, qui, composée avec donne , alors sera composée de trois formes , , ou des deux , .

Ainsi toute classe d’un ordre donné peut être considérée comme composée d’une classe quelconque donnée de même ordre et d’une classe proprement primitive de même déterminant.

252. Théorème. Pour un déterminant donné, les différents genres d’un même ordre contiennent un même nombre de classes.

Supposons que les genres , appartiennent au même ordre, que soit composé de classes , , , etc. , et soit une classe quelconque du genre  ; cherchons par le no précédent une classe proprement primitive de même déterminant, qui, composée avec , produise , et désignons par , , etc. les classes résultantes de la composition de la classe avec les classes , , ,… respectivement. Alors de la dernière observation du no 249, il suit que toutes les classes , , etc. sont différentes, et par le no 248 elles appartiendront toutes au même genre. Enfin, il est visible que ne peut contenir d’autres classes, puisque toute classe de peut être considérée comme résultante de et d’une autre classe de même déterminant, qui sera nécessairement du genre . Ainsi contient, comme , classes différentes.

253. Le théorème précédent suppose identité d’ordre, et ne doit pas s’étendre à des ordres différents. Ainsi, par exemple, pour le déterminant , il y a vingt classes positives qui se distribuent en quatre ordres ; dans l’ordre proprement primitif il y a deux genres, dont chacun contient six classes ; dans l’ordre improprement primitif il y a deux genres composés chacun de deux classes. L’ordre dérivé de l’ordre proprement primitif de déterminant ne contient qu’un genre composé de quatre classes ; enfin l’ordre dérivé de l’ordre improprement primitif de déterminant ne contient qu’un seul genre composé d’une seule classe : il en est de même des classes négatives. Il est donc utile de chercher généralement la liaison des nombres de classes dans les différens ordres.


Supposons que , soient deux classes de même ordre (positif) de déterminant , et une classe proprement primitive de même déterminant, qui, composée avec , donne pour résultante , telle qu’on peut la trouver par le no 251. Dans quelques cas il peut arriver que soit l’unique classe proprement primitive, qui, composée avec , produise  ; dans d’autres, plusieurs classes proprement primitives différentes peuvent être douées de cette propriété. Supposons généralement qu’il y ait classes de cette espèce qui, par leur composition avec , donnent toutes la même classe, et désignons leur ensemble par  ; soit une autre classe de l’ordre et une classe proprement primitive, qui, composée avec , produise , et désignons par l’ensemble des classes qui seront toutes proprement primitives et différentes entre elles. Il est facile de voir que par sa composition avec une classe quelconque de produit d’où l’on conclut que et n’ont aucune classe commune : en outre, on prouve sans peine qu’il n’y a aucune classe proprement primitive, qui, par sa composition avec , produise et qui ne soit contenue dans De la même manière, si est une classe de l’ordre on trouvera classes proprement primitives différentes, tant entre elles qu’avec les classes et et dont chacune composée avec donnera , et ainsi de suite pour les autres classes ; mais comme toute classe proprement primitive et positive de déterminant composée avec , produit une classe de l’ordre , (no 251) on déduit facilement de là, que si le nombre de toutes les classes de l’ordre est , le nombre de toutes les classes proprement primitives (positives) de même déterminant est . Nous avons ainsi une règle générale : et étant deux classes quelconques de l’ordre et le nombre des classes proprement primitives de même déterminant, dont chacune produit par sa composition avec le nombre de toutes les classes de l’ordre proprement primitif (positif) sera fois plus grand que celui des classes de l’ordre

Comme les classes , peuvent être prises arbitrairement dans l’ordre , on peut les choisir identiques, et même il sera avantageux de se servir de la classe qui contient la forme la plus simple de cet ordre, et en prenant celle-ci pour et , la difficulté est réduite à assigner toutes les classes proprement primitives, qui, composées avec , reproduisent elle-même. Nous y parviendrons au moyen du théorème suivant :

254. Théorème. Si est la forme la plus simple de l’ordre de déterminant et une forme proprement primitive de même déterminant ; le nombre pourra être représenté par la forme si est la résultante d’elle-même et de et réciproquement, sera composée d’elle-même et de si peut être représenté par

1o. Si se change en par la substitution , , ,  ; , , , , on a (no 235) , d’où .

2o. Si peut être représenté par la forme , désignons les valeurs des indéterminées qui effectuent la représentation par , ou soit  ; prenons , , , , , . Cela fait, on s’assure aisément que se change en par la substitution , , ,  ; , , , , pourvu que les nombres , etc, soient entiers ; or, par la nature de la forme la plus simple, est ou  ; donc est toujours un nombre entier ; il résulte encore du même principe, que est un nombre entier ; donc , , sont des nombres entiers ; il reste donc seulement à prouver que et sont des nombres entiers. Or on a


Si donc , il vient , , et partant et sont entiers. Mais si , on a , , d’où déduit aussi facilement que et sont entiers. Donc est composée de et .

255. Ainsi le problème est réduit à assigner toutes les classes proprement primitives de déterminant , par les formes desquelles le nombre peut être représenté. Or peut évidemment être représenté par toute forme dont le premier terme est lui-même, ou le quarré d’une partie aliquote de  ; mais réciproquement si peut être représenté par une forme , en donnant aux indéterminées de cette forme les valeurs , , dont le plus grand diviseur commun est , la forme se changera, par la substitution , , , , en une forme dont le premier terme sera . et cette forme sera proprement équivalente à , si , sont tels qu’on ait  ; donc toute classe par les formes de laquelle pourra être représenté, renfermera des formes dont le premier terme sera ou le quarré d’une partie aliquote de . Tout consiste donc à trouver toutes les classes proprement primitives qui renferment des formes de cette espèce ; ce qui se fait de la manière suivante : Soient , , , etc. tous les diviseurs positifs de on cherchera toutes les valeurs de l’expression comprises entre et inclusivement, et les représentant par , , , etc., on fera , , , etc. ; désignons par l’ensemble des formes , , etc. On voit facilement que toute classe de déterminant qui renfermera une forme dont le premier terme soit devra contenir une forme de , on déterminera de la même manière toutes les formes de déterminant , dont le premier terme est et le second compris entre et , nous désignerons par l’ensemble de ces formes. On aura de même l’ensemble de formes qui commencent par , etc. On rejettera de , , , etc. toutes les formes qui ne sont pas proprement primitives, on réduira les autres en classes, et s’il y en a plusieurs qui appartiennent à la même classe, on n’en retiendra qu’une par classe. On aura de cette manière toutes les classes cherchées, et leur nombre sera à l’unité comme le nombre total des classes proprement primitives positives aux nombres de classes de l’ordre .

Exemple. Soit , et l’ordre positif dérivé de l’ordre improprement primitif de déterminant , dans lequel la forme la plus simple est . On a , , , , . contiendra la forme  ; les formes ,  ; les formes , ,  ; enfin contiendra les formes , , , , , . De ces douze formes il y en a six à rejeter, la deuxième et la troisième de , la première, la troisième, la quatrième et la sixième de , qui sont toutes des formes dérivées ; on trouve que les six autres appartiennent à des classes différentes ; en effet, le nombre des classes proprement primitives (positives) de déterminant est , et le nombre des classes improprement primitives positives de déterminant , ou le nombre des classes de déterminant dérivées de celles-ci est , partant le premier est au second comme est à .

256. Cette solution sera mieux éclaircie par les observations générales suivantes :

I. Si l’ordre est dérivé de l’ordre proprement primitif, divisera  ; mais si est dérivé de l’ordre improprement primitif ou improprement primitif lui-même, sera pair, sera divisible par et le quotient . Donc le quarré de tout diviseur de divisera ou au moins , et dans le second cas, le quotient sera toujours .

II. Si divise , toutes les valeurs de l’expression qui tombent entre et seront , , , etc. , et partant sera le nombre des formes de  ; mais parmi elles il n’y en aura de primitives qu’autant qu’il y a de nombres premiers avec dans les suivans : , , , ……. Ainsi quand , n’aura qu’une forme , qui sera toujours proprement primitive. Quand ou une puissance de , la moitié de ces nombres seront pairs, l’autre moitié impairs ; ainsi renferme formes proprement primitives. Quand est un autre nombre premier , ou une puissance de ce nombre premier, on doit distinguer trois cas : 1o. si n’est ni divisible par , ni résidu quadratique de , ces nombres seront tous premiers avec , et partant, toutes les formes de seront proprement primitives. 2o. Si divise comme depuis jusqu’à il y a nombres divisibles par ( compris), et partant non-divisibles, sera le nombre des formes proprement primitives que contient . 3o. Si est résidu quadratique de , et non-divisible par , comme entre et il y a deux valeurs de l’expression , entre et il y en aura  ; donc il y aura nombres non-divisibles par dans la suite , , etc., et partant, le nombre des formes proprement primitives de est . Généralement, si l’on a , , , , etc. étant des nombres premiers différens, le nombre de formes proprement primitives contenues dans sera .... où l’on doit faire quand , et si  ; si n’est pas résidu quadratique de et n’est pas divisible par , quand est divisible par , ou quand est résidu de mais non-divisible par . , , etc. se déterminent de la même manière en , , etc.

III. Si ne divise pas on aura entier et  ; les valeurs de l’expression seront , , , , partant, le nombre des formes de sera , et parmi les formes, il y en aura autant de proprement primitives qu’il y aura de nombres premiers à dans la suite . Toutes les fois que , tous ces nombres seront pairs, et partant ne renfermera aucune forme proprement primitive ; mais quand , tous ces nombres seront impairs, et partant, toutes les formes seront proprement primitives, si est ou une puissance de . En général, il y aura dans ce cas autant de formes proprement primitives qu’il y a de nombres premiers avec dans la suite précédente. Le nombre de ces formes sera si  ; étant , et , , , etc. se déterminant comme dans le cas précédent.

Nous avons ainsi fixé le nombre des formes primitives contenues dans , , , etc. Quant à la somme de ces nombres, on trouve sans peine la règle suivante : Si , , , etc. étant des nombres premiers différens, le nombre total des formes proprement primitives contenues dans , , , etc. sera , où l’on doit faire dans le cas où , et dans celui où , , si est entier et , , si et . , si divise  ; , quand ne divise pas , en prenant le signe ou le signe , suivant que est non-résidu ou résidu de . On déduit , , etc. de , , comme de . Nous omettons, pour abréger, la démonstration.

V. Quant à ce qui regarde le nombre de classes que fournissent ces formes proprement primitives, il faut distinguer les trois cas suivans :

1o. Quand est négatif, chaque forme proprement primitive fournit une classe particulière , excepté deux cas où l’on aurait ou, c’est-à-dire, ou . Pour démontrer ce théorème, il suffit évidemment de faire voir qu’il ne peut arriver que deux formes différentes de , , , etc. soient proprement équivalentes. Supposons donc que , soient deux formes proprement primitives de , , , etc. appartenantes à la même classe, et que la première se change en la seconde par la substitution , , , , on aura les équations


On conclut facilement de là que n’est certainement pas  ; car on aurait , , , et partant, les formes , seraient identiques contre l’hypothèse. On voit ensuite que est divisible par le plus grand diviseur commun des nombres ,  ; en effet, en nommant ce diviseur, il divise et (II et III), mais sera premier avec  ; en outre est divisible par , puisqu’on a , et l’on en déduit facilement que est divisible par . Or on a , donc et partant est divisible par . Enfin on a . Donc en posant , , et seront des entiers dont le dernier ne peut être nul, et l’on a l’équation . Mais est le plus petit nombre divisible à-la-fois par et , parconséquent il divisera et par suite  ; donc sera un entier négatif que nous représenterons par , il en résultera


Dans cette équation le terme étant un quarré , ne peut être que ou  ; dans le premier cas on a et  ; donc est un quarré affecté du signe , et partant non  ; ainsi ne sera ni un ordre improprement primitif, ni un ordre dérivé d’un ordre improprement primitif. Donc sera entier, d’où l’on déduit facilement que est divisible par donc et , et partant un entier ; donc on a nécessairement ou , première exception. Dans le second cas, on aura  ; donc , et  ; donc sera un entier qui ne peut être que , puisqu’en le multipliant par le quarré entier , on a . Donc ou , seconde exception. Donc dans tous les autres cas, les différentes formes proprement primitives de , , etc. appartiendront à des classes différentes. Quant aux cas exceptés, il suffira, pour abréger, de mettre ici le résultat, qu’on trouve sans peine, mais dont la recherche prolongerait trop cette analyse. Dans le premier cas, les formes appartiendront deux à deux à la même classe, dans le second trois à trois ; donc le nombre des formes est dans celui-là double du nombre des classes, et triple dans celui-ci.

2o Quand est un nombre quarré positif, les différentes formes proprement primitives} de , , , etc. appartiennent sans exception à des classes différentes. Supposons en effet que et soient deux formes de cette espèce, et qu’elles soient équivalentes ; soit , , , la substitution propre qui change la première en la seconde. Il est clair que tous les raisonnemens de l’observation précédente, où l’on ne suppose pas négatif, ont également lieu ici ; on aura encore entier, mais positif et quarré ; faisons-le  ; il en résulte , ce qui est absurde ; car la différence de deux quarrés ne peut être , à moins que le plus petit ne soit  ; or cette supposition est inadmissible, puisque ne peut être nul, et que partant ne peut pas l’être non plus.

3o. Quand est positif non quarré, nous ne pouvons donner de règle générale pour comparer le nombre des classes avec celui des formes. Nous pouvons seulement affirmer que le premier sera égal au second ou une partie aliquote du second. Nous avons même découvert une certaine liaison entre le quotient de ces nombres et les plus petites valeurs qui satisfont à l’équation  ; mais il serait trop long de l’expliquer ici. Mais nous ne pouvons pas décider s’il est possible dans tous les cas de connaître ce quotient à la seule inspection des nombres , . Nous joignons quelques exemples qu’il sera facile de multiplier à volonté.

Pour , , le nombre des formes proprement primitives de , etc. est , qui sont toutes équivalentes et ne donnent qu’une seule classe.

Pour , , le nombre des formes est , qui appartiennent à trois classes différentes. Pour , , il y a formes qui fournissent quatre classes. Pour , , il y a dix-huit formes et deux classes. Pour et , il y a également dix-huit formes, mais elles fournissent six classes.

VI, De l’application de cette théorie générale au cas où est l’ordre improprement primitif, il résulte que le nombre de classes contenues dans cet ordre est à celui de l’ordre proprement primitif comme est au nombre de classes différentes proprement primitives que donnent les trois formes , , . Or il en résultera une seule classe quand , parceque dans ce cas la deuxième et la troisième sont improprement primitives. Mais quand , ces trois formes seront improprement primitives et donneront autant de classes différentes si est négatif, excepté le cas où , dans lequel elles appartiennent à la même classe ; quant au cas où est positif de la forme , il appartient à ceux pour lesquels nous n’avons pas jusqu’à présent de règle générale. Nous pouvons cependant affirmer que ces trois formes donneront ou trois classes ou une seule, jamais deux ; car ou voit sans peine que si les formes , , appartiennent aux classes , , , respectivement, on aura (no 243, 2o), (ibid. 5o) ; donc si l’on supposait on aurait aussi  ; et de même si et étaient identiques, on aurait  ; d’ailleurs on trouve  ; donc si et étaient identiques, et le seraient aussi. Ainsi les classes , , sont toutes différentes ou toutes identiques. Par exemple, au-dessous de il y a nombres de la forme