245. Théorème. Si la forme 
est comprise dans le même ordre que 
que 
soit comprise dans le même ordre que 
la forme 
composée de 
aura le même déterminant, et sera comprise dans le même ordre que 
composée de 
Soient 
, 
, 
, et
les déterminants 
, 
, 
; soit 
le plus grand diviseur commun
des nombres 
le plus grand diviseur commun des
nombres 
et que 
aient les mêmes significations par rapport aux 
et 
respectivement. L’ordre de la
forme 
sera déterminé par les nombres , , 
, d’où il suit
que les mêmes nombres auront lieu pour la forme 
; par la même
raison, les nombres 
seront pour la forme 
ce qu’ils
sont pour la forme . Or (no 235) les nombres , 
, sont
déterminés par les nombres , , ; , 
, 
; savoir, est
le plus grand commun diviseur des nombres 
et 
, 
et 
(si l’on a en même temps 
, 
), ou
(si 
, ou 
). Comme ces propriétés
de 
suivent de ce que est composé de , , on voit
saus peine que , , seront pour 
ce qu’ils sont pour ,
et que parconséquent et sont de même ordre.
Nous appellerons en conséquence l’ordre qui renferme la forme ,
ordre composé de ceux qui renferment et . Ainsi, par exemple,
l’ordre composé de deux ordres proprement primitifs est aussi un
ordre proprement primitif, et l’ordre composé d’un ordre proprement
primitif et d’un ordre improprement primitif, est un ordre improprement primitif.
C’est dans le même sens que nous pourrons dire qu’un certain
ordre est composé de plusieurs autres.
246. Problème. Étant proposées deux formes primitives quelconques 
de la composition desquelles naît la forme 
, du genre auquel appartiennent et déterminer le genre auquel appartient 
I. Considérons d’abord le cas où une des deux formes au moins,
la première par exemple, est proprement primitive, et désignons
par , , , les déterminans des formes , , : alors sera
le plus grand commun diviseur des nombres , ; étant 
, ou 
, suivant que est proprement ou improprement primitive : dans le premier cas, appartiendrait à un ordre proprement primitif ; dans le second, à un ordre improprement primitif.
Maintenant le genre de la forme se déterminera par ses caractères particuliers, tant à l’égard des différens diviseurs premiers
impairs de , que, dans quelques cas, à l’égard des nombres 
ou 
. Il faudra donc déterminer chacun d’eux.
1o. Si 
est un diviseur premier quelconque de , il divisera
nécessairement et ; ainsi la relation de la forme avec , se
trouvera parmi les caractères des formes , . Or, si le nombre 
peut être représenté par la forme , et le nombre 
par , 
pourra l’être par . Si donc des résidus quadratiques de , non
divisibles par , peuvent être représentés, tant par que par , il
pourra y en avoir de représentés par la forme ; c’est-à-dire, que
si l’une et l’autre de ces deux formes a le caractère 
, la forme
aura le même caractère. Par une raison semblable, la forme
aura le caractère 
, si les deux formes , ont le caractère
; au contraire aura le caractère , si l’une des formes
et a le caractère , et l’autre le caractère .
2o. Si dans le caractère complet de la forme , il entre une
relation à l’égard du nombre , cette relation doit entrer aussi
dans les caractères des formes , . En effet, cela ne peut arriver
que lorsque 
ou 
; quand est divisible par , et le seront aussi ; donc ne peut pas être
improprement primitive (no 226), et partant on a 
; donc
et sont divisibles par , et le caractère de chacune d’elles
renfermera la relation à l’égard de . Quand 
, divisera et , les quotiens seront des nombres quarrés, et parconséquent
et seront ou 
, ou , et la relation à l’égard
du nombre sera comprise dans les caractères des formes , .
Donc il suit de là, comme dans 1o., que le caractère de la forme
sera 1,4, si les deux formes , ont le caractère 1,4 ou le caractère 3,4, et qu’au contraire le caractère de la forme sera
3,4, si l’une des formes , a le caractère 1,4 et l’autre le caractère 3,4.
3o. Quand est divisible par , l’est aussi ; donc est proprement primitive, , et divisible par 
ainsi un des caractères 
peut se trouver parmi les caractères
de , s’il a lieu tant pour la forme que pour la forme . On
s’assure facilement, comme ci-dessus, que le caractère de la
forme est 
si , ont le même caractère ; qu’il sera 
si l’une des formes 
a le caractère 
et l’autre le caractère
ou si l’une a le caractère 
et l’autre le caractère 
qu’il
sera si , ont pour caractères l’une l’autre ou 
et et enfin qu’il sera 
si ont pour caractères
et ou et 
4o. Quand 
, sera , ou 
; partant , et 
ou ; mais comme est le plus
grand commun diviseur de et , ces deux nombres ne peuvent
pas être tous deux divisibles par . Donc dans ce cas le caractère
de la forme ne pourra être que 
et ou 
et , soit que
les deux formes , aient l’un de ces deux caractères, soit que
l’une d’elles en ayant un, l’autre ait un des caractères : 
d’où l’on voit facilement que le caractère de la
forme se détermine par la table suivante :
|
Caractères de l’une des formes 
|
1 
1 |
3
1
|
| Caractères de l’autre forme |
Caractères résultans pour 
|
|
|
|
|
|
et
|
5o. On prouve de la même manière, pour 
qu’on
ne peut donner à la forme l’un ou l’autre des caractères
et 
et à moins que quelqu’un de ces caractères n’appartienne à l’une des formes 
et que l’autre n’ait l’un de
ces mêmes caractères ou l’un des suivans : 
desorte qu’on déterminera le caractère de la forme par la
table suivante :
|
Caractères de l’une des formes
|
1
1 |
3
1
|
| Caractères de l’autre forme |
Caractères de la forme
|
|
|
|
|
|
et
|
II. Si chacune des formes est improprement primitive,
sera le plus grand commun diviseur des nombres 
et 
ou 
celui de et 
il suit de là que 
et 
sont 
puisque (no 226) et le sont. Mais en posant
le plus grand commun diviseur des nombres
sera 
et celui des nombres 
sera 
donc
est une forme dérivée de la forme improprement primitive
dont est le déterminant, et dont le genre
déterminera celui de Comme cette forme est improprement
primitive, son caractère ne renfermera point de relations avec
et 
mais seulement avec les différens diviseurs premiers impairs de 
Or ces diviseurs doivent nécessairement l’être de
et 
Si les deux facteurs d’un produit sont représentables l’un
par et l’autre par la moitié de ce produit le sera nécessairement par la forme 
on voit facilement, d’après
cela, que le caractère de cette forme, à l’égard du nombre premier diviseur de 
sera 
d’abord, si 
et que les
formes aient un même caractère à l’égard de 
ensuite
si l’on a 
et que les caractères des formes soient opposés à l’égard de 
Au contraire, le caractère de cette forme
sera 
si ont le même caractère et qu’on ait 
ou s’ils en ont un différent, et qu’on ait 
247. Par la solution du problème précédent, il est évident que
si est une forme primitive du même ordre et du même genre
que , que soit une forme primitive du même ordre et du même genre que , la forme composée de , appartient au même
genre que la forme composée. On voit par là ce que
signifie un genre composé de deux ou de plusieurs autres genres.
Or on voit encore que si , ont le même déterminant, que
soit une forme d’un genre principal, et que soit composée de
, , sera du même genre que , et qu’ainsi le genre principal peut toujours être omis dans la composition avec les autres
genres de même déterminant. Si, toutes choses d’ailleurs égales,
n’est pas du genre principal, et que soit une forme primitive, sera certainement d’un autre genre que . Enfin si ,
sont des formes proprement primitives de même genre, sera du
genre principal (no 243 (2o.) et no 230, à la fin). Si donc une
forme proprement primitive quelconque est composée avec elle-même, la forme qui résulte de la composition, et qui sera proprement primitive et de même déterminant, sera du genre principal ;
mais si et sont toutes deux proprement primitives, de même
déterminant et de genre différent, ne pourra pas appartenir au
genre principal.
248. Problème. Étant proposées deux formes quelconques dont est composée ; déterminer le genre de d’après ceux de 
Soit 
le plus
grand commun diviseur des nombres , 
, 
, 
celui des nombres
, 
, 
, de manière que et soient dérivées des formes primitives 
, 
, que nous désignerons par 
, 
; cela posé, s’il y a au moins une des formes , qui soit
proprement primitive, le plus grand commun diviseur des nombres
, 
, sera 
, et sera dérivée de la forme primitive
, et le genre de dépendra de celui de 
;
mais on voit facilement que se change en 
par la même
substitution qui change en 
, et que parconséquent est
composée de , ; donc on pourra déterminer son genre par le
problème du no 246.
Mais si et sont improprement primitives, le plus grand
commun diviseur des nombres , , sera 
, et la forme ,
qui est encore ici composée de , , est évidemment dérivée
de la forme proprement primitive 
. Le genre
de cette forme pourra être déterminé par le no 246, et comme
est dérivée de la même forme, son genre sera connu par là même.
Il est évident par cette solution, que le théorème donné au
no précédent pour les formes primitives, a lieu pour des formés
quelconques, savoir, si et sont des mêmes genres que
et respectivement, la forme composée de , est du même
genre que la forme composée de , .
249. Théorème. Si les formes sont des mêmes ordres, genres et classes que 
respectivement, la forme composée de et de est de la même classe que la forme composée de
Ce théorème n’est qu’une conséquence immédiate du no 239.
On voit par là ce qu’on doit entendre par une classe composée de deux ou de plusieurs classes.
Si l’on compose une classe quelconque 
avec la classe principale, la classe composée sera elle-même ; ainsi dans la composition des classes de même déterminant, on peut négliger la classe principale. Or (no 243) il naît toujours une classe principale de la composition de deux classes opposées proprement primitives ; donc toute classe ambiguë étant sa propre opposée, en composant avec elle-même une classe ambiguë proprement primitive, la résultante est la classe principale de même déterminant.
La réciproque de la dernière proposition est également vraie :
Si la résultante 
de la composition d’une classe proprement primitive 
avec elle-même, est la classe principale de même déterminant, sera nécessairement une classe ambiguë. En effet, si 
est une classe opposée à , la résultante des trois classes , , sera la même que celle de 
et , c’est-à-dire,
sera égale à ; mais la résultante de et est , et la résultante de et est , donc coïncide avec et est parconséquent une classe ambiguë.
Or on remarquera la proposition suivante : Si les classes 
sont opposées aux classes 
respectivement, la classe
composée de sera opposée à la classe composée de 
Soient les formes , , , des classes , 
, , 
respectivement, la forme composée de , , 
la composée de , ;
comme est improprement équivalente à et à , et que
est composée directement de , , sera aussi composée de , ,
mais indirectement de chacune d’elles. Donc toute forme qui équivaut improprement à , sera composée directement des formes
, , et partant sera improprement équivalente à (nos 238, 239) ;
donc et seront proprement équivalentes, et les classes auxquelles elles appartiennent seront opposées.
Il suit de là que la résultante d’une classe ambiguë avec une autre classe ambiguë est elle-même une classe ambiguë ; car elle est opposée à la résultante des classes opposées à , et partant à elle-même, puisque ces classes sont elles-mêmes leurs opposées.
Observons enfin qu’étant proposées deux classes quelconques
, de même déterminant, dont la première soit proprement
primitive, on peut toujours trouver une classe de même déterminant, telle que soit composée de et de . En effet, on
y parviendra en prenant pour la classe composée de et de
la classe opposée à . On voit aussi très facilement que cette
classe est la seule qui jouisse de cette propriété, ou que des
classes différentes de même déterminant, composées avec la même
classe proprement primitive, donnent des classes différentes.
La composition des classes peut se désigner commodément par
le signe de multiplication 
, de même que l’identité des classes
par le signe d’égalité. Au moyen de ces signes, la proposition
que nous venons d’exposer peut être présentée de la manière suivante : Si la classe est opposée à ,
sera la classe
principale de même déterminant ; donc 
, en prenant
donc 
, on aura 
, comme on le desirait. Mais
s’il y en avait une autre 
qui jouît de la même propriété, ou
qu’on eût 
, on aurait 
; donc
. Si l’on compose ensemble plusieurs classes identiques,
on peut exprimer la résultante en mettant en exposant le nombre
de ces classes. Ainsi 
désignerait la même chose que 
, 
, que 
. On pourrait employer la même notation
pour les formes, mais nous nous en abstiendrons pour éviter l’ambiguité, ayant déjà donné une signification particulière à l’expression 
. Nous dirons que la classe provient
de la duplication de la classe , de la triplication, etc.
250. Si est divisible par 
(en supposant positif), il y
aura un ordre de formes de déterminant , dérivé de l’ordre proprement primitif de déterminant 
(ou deux quand est négatif, un positif et l’autre négatif). La forme 
appartiendra évidemment à cet ordre (à l’ordre positif), et pourra avec
raison être considérée comme la forme la plus simple de cet ordre
(comme la forme 
dans l’ordre négatif quand est négatif). Si en outre 
il y aura aussi un ordre de formes
de déterminant dérivé d’un ordre improprement primitif de déterminant , auquel appartiendra évidemment la forme 
, qui sera la plus simple. Quand est négatif,
il y aura deux ordres, et dans le négatif la forme 
sera la plus simple. Ainsi, par exemple, si l’on veut appliquer
cela au cas où 
, dans les quatre ordres de formes de
déterminant 
, les suivantes seront les plus simples : 
Cette observation donne naissance au problème suivant :
Problème. Étant proposée une forme quelconque de l’ordre 
, trouver une forme primitive (positive, s’il y a lieu à distinction) qui, composée avec la forme la plus simple de l’ordre 
ait pour résultante .
Soit 
dérivée de la forme proprement primitive de déterminant .
1o. Si est proprement primitive, nous observerons d’abord
que quand 
ne serait pas premier avec 
, on pourra toujours
trouver des formes équivalentes à , et dont les premiers termes
jouissent de cette propriété. Car (no 228) on peut trouver des
nombres premiers à , et représentables par cette forme ; or
soit un tel nombre, on aura 
, où l’on
peut supposer que , 
soient premiers entre eux ; partant, on
pourra déterminer deux nombres tels qu’on ait 
, et
la forme se changera, par la substitution , 
, , 
, en une
forme 
qui lui sera proprement équivalente et jouira
de la propriété précitée. Maintenant, comme et 
sont équivalentes, on voit qu’il suffit de considérer le cas où
est premier avec . Alors 
sera une forme proprement primitive, car si , 
et 
avaient un diviseur commun, il diviserait nécessairement 
; elle sera
de même déterminant que , et l’on s’assurera facilement que
se change par la substitution , 
, 
, 
, , , , 
,
en le produit de la forme , par 
,
qui sera la plus simple de l’ordre , à moins que la forme
ne soit négative. Il suit de là, par la quatrième conclusion du
no 235, que est composée de et ;
mais quand est négative, elle se changera, par la substitution , , , ; , 
, 
, , en le produit
de la forme 
, qui est la plus simple de cet ordre, par la forme positive 
, et parconséquent elle sera composée de ces deux formes.
2o. Si est une forme improprement primitive, ou peut supposer que 
soit premier avec , car si cette propriété n’a
pas lieu pour la forme , on trouvera toujours une forme qui en jouisse et qui soit proprement équivalente à 
Il suit de là que la forme 
est une forme proprement primitive de
même déterminant que ; on s’assurera aussi facilement que se change, par la substitution , , 
, ; , 
, 
, 
, en le produit des formes 
, 
, et que parconséquent elle est composée de
ces deux formes, dont la première est la plus simple de l’ordre , et la seconde une forme proprement primitive positive. Les signes inférieurs doivent être pris quand est une forme négative, et les signes supérieurs dans les autres cas.
251. Problème. Étant proposées deux formes de même déterminant 
et qui appartiennent au même ordre trouver une forme proprement primitive de déterminant 
telle que la résultante de cette forme et de soit
Soit la forme la plus simple de l’ordre , et des formes
proprement primitives de déterminant , qui, composées avec ,
donnent et respectivement, 
une forme proprement primitive, qui, composée avec donne , alors sera composée
de trois formes , , ou des deux , .
Ainsi toute classe d’un ordre donné peut être considérée comme
composée d’une classe quelconque donnée de même ordre et d’une
classe proprement primitive de même déterminant.
252. Théorème. Pour un déterminant donné, les différents genres d’un même ordre contiennent un même nombre de classes.
Supposons que les genres , appartiennent au même ordre,
que soit composé de 
classes , , 
, etc. 
, et soit
une classe quelconque du genre ; cherchons par le no précédent
une classe proprement primitive de même déterminant, qui,
composée avec , produise , et désignons par , 
, etc.
les classes résultantes de la composition de la classe avec les
classes , , 
,… respectivement. Alors de la dernière
observation du no 249, il suit que toutes les classes ,
, etc. 
sont différentes, et par le no 248 elles appartiendront toutes au même genre. Enfin, il est visible que ne peut
contenir d’autres classes, puisque toute classe de peut être considérée comme résultante de et d’une autre classe de même déterminant, qui sera nécessairement du genre . Ainsi contient,
comme , classes différentes.
253. Le théorème précédent suppose identité d’ordre, et ne doit
pas s’étendre à des ordres différents. Ainsi, par exemple, pour le
déterminant 
, il y a vingt classes positives qui se distribuent
en quatre ordres ; dans l’ordre proprement primitif il y a deux
genres, dont chacun contient six classes ; dans l’ordre improprement primitif il y a deux genres composés chacun de deux classes.
L’ordre dérivé de l’ordre proprement primitif de déterminant 
ne contient qu’un genre composé de quatre classes ; enfin l’ordre dérivé de l’ordre improprement primitif de déterminant ne
contient qu’un seul genre composé d’une seule classe : il en est
de même des classes négatives. Il est donc utile de chercher généralement la liaison des nombres de classes dans les différens
ordres.
Supposons que , soient deux classes de même ordre (positif)
de déterminant , et une classe proprement primitive de
même déterminant, qui, composée avec , donne pour résultante
, telle qu’on peut la trouver par le no 251. Dans quelques cas
il peut arriver que soit l’unique classe proprement primitive,
qui, composée avec , produise ; dans d’autres, plusieurs classes
proprement primitives différentes peuvent être douées de cette
propriété. Supposons généralement qu’il y ait 
classes de cette
espèce 
qui, par leur composition avec ,
donnent toutes la même classe, et désignons leur ensemble par 
;
soit une autre classe de l’ordre 
et 
une classe proprement
primitive, qui, composée avec , produise , et désignons par
l’ensemble des classes 
qui seront toutes proprement primitives et différentes entre elles.
Il est facile de voir que 
par sa composition avec une classe
quelconque de 
produit 
d’où l’on conclut que et
n’ont aucune classe commune : en outre, on prouve sans peine
qu’il n’y a aucune classe proprement primitive, qui, par sa composition avec , produise et qui ne soit contenue dans 
De la même manière, si est une classe de l’ordre on trouvera classes proprement primitives différentes, tant entre elles
qu’avec les classes et et dont chacune composée avec
donnera , et ainsi de suite pour les autres classes ; mais comme
toute classe proprement primitive et positive de déterminant composée avec , produit une classe de l’ordre , (no 251) on déduit
facilement de là, que si le nombre de toutes les classes de l’ordre est ,
le nombre de toutes les classes proprement primitives (positives) de
même déterminant est 
. Nous avons ainsi une règle générale :
et étant deux classes quelconques de l’ordre et 
le nombre des classes proprement primitives de même déterminant, dont chacune produit par sa composition avec le nombre de toutes les classes de l’ordre proprement primitif (positif) sera fois plus grand que celui des classes de l’ordre 
Comme les classes , peuvent être prises arbitrairement dans
l’ordre , on peut les choisir identiques, et même il sera avantageux de se servir de la classe qui contient la forme la plus simple
de cet ordre, et en prenant celle-ci pour et , la difficulté est
réduite à assigner toutes les classes proprement primitives, qui,
composées avec , reproduisent elle-même. Nous y parviendrons au moyen du théorème suivant :
254. Théorème. Si 
est la forme la plus simple de l’ordre 
de déterminant et 
une forme proprement primitive de même déterminant ; le nombre 
pourra être représenté par la forme si est la résultante d’elle-même et de 
et réciproquement, sera composée d’elle-même et de si peut être représenté par 
1o. Si se change en 
par la substitution , 
, 
, 
;
, 
, 
, 
, on a (no 235) 
, d’où
.
2o. Si 
peut être représenté par la forme , désignons les valeurs des indéterminées qui effectuent la représentation par
, ou soit ; prenons 
,
, 
,
, 
, 
. Cela fait, on s’assure aisément que se
change en par la substitution , , , ; , , , , pourvu
que les nombres , etc, soient entiers ; or, par la nature
de la forme la plus simple, est ou 
; donc 
est toujours un nombre entier ; il résulte encore du même principe,
que 
est un nombre entier ; donc 
, , 
sont des
nombres entiers ; il reste donc seulement à prouver que et
sont des nombres entiers. Or on a
Si donc 
, il vient 
, 
, et partant et sont entiers. Mais si 
, on a 
,
, d’où déduit aussi facilement que et
sont entiers. Donc est composée de et .
255. Ainsi le problème est réduit à assigner toutes les classes
proprement primitives de déterminant , par les formes desquelles le nombre peut être représenté. Or peut évidemment être représenté par toute forme dont le premier terme est lui-même, ou le quarré d’une partie aliquote de ; mais réciproquement si
peut être représenté par une forme , en donnant aux indéterminées de cette forme les valeurs 
, 
, dont le plus grand
diviseur commun est 
, la forme se changera, par la substitution , , , , en une forme dont le premier terme sera 
.
et cette forme sera proprement équivalente à , si , sont tels
qu’on ait ; donc toute classe par les formes de laquelle pourra être représenté, renfermera des formes dont le
premier terme sera ou le quarré d’une partie aliquote de . Tout consiste donc à trouver toutes les classes proprement primitives qui renferment des formes de cette espèce ; ce qui se fait de la manière suivante : Soient , , 
, etc. tous les diviseurs positifs de on cherchera toutes les valeurs de l’expression 
comprises entre et 
inclusivement, et les représentant par , , 
, etc., on fera 
, 
, 
, etc. ; désignons par 
l’ensemble des formes 
, 
, etc. On voit facilement que toute classe
de déterminant qui renfermera une forme dont le premier terme soit 
devra contenir une forme de , on déterminera de la même manière toutes les formes de déterminant , dont le premier terme est et le second compris entre et 
, nous désignerons par 
l’ensemble de ces formes. On aura de même l’ensemble 
de formes qui commencent par 
, etc. On rejettera de , , , etc. toutes les formes qui ne sont pas proprement primitives, on réduira les autres en classes, et s’il y en a plusieurs qui appartiennent à la même classe, on n’en retiendra qu’une par classe. On aura de cette manière toutes les classes cherchées, et leur nombre sera à l’unité comme le nombre total des
classes proprement primitives positives aux nombres de classes
de l’ordre .
Exemple. Soit 
, et l’ordre positif dérivé de l’ordre
improprement primitif de déterminant 
, dans lequel la forme
la plus simple est 
. On a 
, 
, 
, 
, 
. contiendra la forme 
; les formes 
, 
; les formes 
, 
, 
;
enfin 
contiendra les formes 
, 
, 
,
, 
, 
. De ces douze formes il y
en a six à rejeter, la deuxième et la troisième de , la première, la troisième, la quatrième et la sixième de , qui sont
toutes des formes dérivées ; on trouve que les six autres appartiennent à des classes différentes ; en effet, le nombre des classes
proprement primitives (positives) de déterminant 
est 
,
et le nombre des classes improprement primitives positives de déterminant , ou le nombre des classes de déterminant
dérivées de celles-ci est , partant le premier est au second comme
est à .
256. Cette solution sera mieux éclaircie par les observations
générales suivantes :
I. Si l’ordre est dérivé de l’ordre proprement primitif,
divisera ; mais si est dérivé de l’ordre improprement primitif ou improprement primitif lui-même, sera pair, sera divisible par 
et le quotient 
. Donc le quarré de
tout diviseur de divisera ou au moins 
, et dans le second
cas, le quotient sera toujours .
II. Si 
divise , toutes les valeurs de l’expression qui tombent entre et seront , , 
, etc.
, et partant sera le nombre des formes de ; mais parmi
elles il n’y en aura de primitives qu’autant qu’il y a de nombres
premiers avec dans les suivans : 
, 
, 
, ……
. Ainsi quand , n’aura qu’une forme 
,
qui sera toujours proprement primitive. Quand 
ou une
puissance de 
, la moitié de ces nombres seront pairs, l’autre
moitié impairs ; ainsi renferme formes proprement primitives. Quand est un autre nombre premier , ou une puissance
de ce nombre premier, on doit distinguer trois cas : 1o. si n’est
ni divisible par , ni résidu quadratique de , ces nombres seront tous premiers avec , et partant, toutes les formes de seront
proprement primitives. 2o. Si divise comme depuis jusqu’à 
il y a 
nombres divisibles par ( compris), et partant 
non-divisibles, sera le nombre des formes proprement primitives que contient . 3o. Si est résidu quadratique de , et non-divisible par , comme entre 
et 
il y a deux valeurs de l’expression 
, entre et
il y en aura 
; donc il y aura 
nombres non-divisibles
par dans la suite , , etc., et partant, le nombre des
formes proprement primitives de est . Généralement, si
l’on a 
, , , , etc. étant des nombres premiers
différens, le nombre de formes proprement primitives contenues
dans sera 
.... où l’on doit faire 
quand 
,
et 
si 
; 
si n’est pas résidu quadratique
de et n’est pas divisible par , 
quand est
divisible par , ou 
quand est résidu de
mais non-divisible par . 
, 
, etc. se déterminent de la même
manière en , , etc.
III. Si ne divise pas on aura 
entier et ;
les valeurs de l’expression seront , 
, 
, 
, partant, le nombre des formes de sera , et parmi les
formes, il y en aura autant de proprement primitives qu’il y aura
de nombres premiers à dans la suite 
. Toutes les fois que 
, tous ces
nombres seront pairs, et partant ne renfermera aucune forme
proprement primitive ; mais quand 
, tous ces
nombres seront impairs, et partant, toutes les formes seront proprement primitives, si est ou une puissance de . En général,
il y aura dans ce cas autant de formes proprement primitives qu’il
y a de nombres premiers avec dans la suite précédente. Le
nombre de ces formes sera si ; 
étant 
,
et 
, , , etc. se déterminant comme dans le cas précédent.
Nous avons ainsi fixé le nombre des formes primitives contenues dans , , , etc. Quant à la somme de ces nombres,
on trouve sans peine la règle suivante : Si 
,
, 
, etc. étant des nombres premiers différens, le nombre total
des formes proprement primitives contenues dans , , , etc.
sera 
, où l’on doit faire 
dans le cas où , et dans
celui où 
, 
, si 
est entier et , 
, si 
et . 
, si 
divise 
; 
,
quand ne divise pas , en prenant le signe 
ou le signe 
,
suivant que est non-résidu ou résidu de . On déduit , , etc. de
, , comme de . Nous omettons, pour abréger, la démonstration.
V. Quant à ce qui regarde le nombre de classes que fournissent
ces formes proprement primitives, il faut distinguer les trois cas
suivans :
1o. Quand est négatif, chaque forme proprement primitive
fournit une classe particulière , excepté deux cas où l’on aurait
ou
, c’est-à-dire, 
ou 
. Pour
démontrer ce théorème, il suffit évidemment de faire voir qu’il
ne peut arriver que deux formes différentes de , , , etc.
soient proprement équivalentes. Supposons donc que 
,
soient deux formes proprement primitives de , ,
, etc. appartenantes à la même classe, et que la première se
change en la seconde par la substitution , , , , on aura
les équations
On conclut facilement de là que n’est certainement pas 
; car on aurait 
, 
, 
, et partant, les formes , seraient identiques contre l’hypothèse. On voit ensuite que est divisible par le plus grand diviseur commun des nombres 
, 
; en effet, en nommant ce diviseur, il divise 
et 
(II et III), mais sera premier avec 
; en outre 
est divisible par 
, puisqu’on a 
,
et l’on en déduit facilement que 
est divisible par . Or on a 
, donc 
et partant est divisible par . Enfin on a 
. Donc en posant 
, 
, et seront des entiers dont le dernier ne peut être nul, et l’on a l’équation 
. Mais 
est le plus petit nombre divisible à-la-fois par 
et 
, parconséquent il divisera
et par suite ; donc 
sera un entier négatif que nous
représenterons par 
, il en résultera
Dans cette équation le terme 
étant un quarré 
, ne peut
être que ou ; dans le premier cas on a 
et 
; donc est un quarré affecté du signe , et partant non ; ainsi ne sera ni un ordre improprement primitif, ni un ordre dérivé d’un ordre improprement primitif. Donc sera entier, d’où l’on déduit facilement que est divisible par 
donc 
et 
, et partant 
un entier ; donc on a nécessairement ou 
, première exception. Dans le second cas, on aura 
; donc , 
et 
; donc 
sera un entier qui ne peut être
que , puisqu’en le multipliant par le quarré entier 
, on
a . Donc 
ou 
, seconde exception. Donc
dans tous les autres cas, les différentes formes proprement primitives de , , etc. appartiendront à des classes différentes.
Quant aux cas exceptés, il suffira, pour abréger, de mettre ici
le résultat, qu’on trouve sans peine, mais dont la recherche prolongerait trop cette analyse. Dans le premier cas, les formes appartiendront deux à deux à la même classe, dans le second trois
à trois ; donc le nombre des formes est dans celui-là double du
nombre des classes, et triple dans celui-ci.
2o Quand est un nombre quarré positif, les différentes formes
proprement primitives} de , , , etc. appartiennent sans exception à des classes différentes. Supposons en effet que
et soient deux formes de cette espèce, et qu’elles soient
équivalentes ; soit , , , la substitution propre qui change la
première en la seconde. Il est clair que tous les raisonnemens de
l’observation précédente, où l’on ne suppose pas négatif, ont
également lieu ici ; on aura encore entier, mais positif et
quarré ; faisons-le 
; il en résulte 
, ce qui est
absurde ; car la différence de deux quarrés ne peut être , à moins
que le plus petit ne soit ; or cette supposition est inadmissible,
puisque ne peut être nul, et que partant ne peut pas
l’être non plus.
3o. Quand est positif non quarré, nous ne pouvons donner
de règle générale pour comparer le nombre des classes avec celui
des formes. Nous pouvons seulement affirmer que le premier sera
égal au second ou une partie aliquote du second. Nous avons même
découvert une certaine liaison entre le quotient de ces nombres et
les plus petites valeurs qui satisfont à l’équation 
;
mais il serait trop long de l’expliquer ici. Mais nous ne pouvons
pas décider s’il est possible dans tous les cas de connaître ce quotient à la seule inspection des nombres , . Nous joignons
quelques exemples qu’il sera facile de multiplier à volonté.
Pour 
, 
, le nombre des formes proprement primitives de , etc. est , qui sont toutes équivalentes et ne
donnent qu’une seule classe.
Pour 
, , le nombre des formes est , qui appartiennent à trois classes différentes. Pour 
, 
, il y a
formes qui fournissent quatre classes. Pour 
, 
, il y a
dix-huit formes et deux classes. Pour 
et , il y
a également dix-huit formes, mais elles fournissent six classes.
VI, De l’application de cette théorie générale au cas où est
l’ordre improprement primitif, il résulte que le nombre de classes
contenues dans cet ordre est à celui de l’ordre proprement primitif
comme est au nombre de classes différentes proprement primitives
que donnent les trois formes 
, 
, 
.
Or il en résultera une seule classe quand 
, parceque
dans ce cas la deuxième et la troisième sont improprement primitives. Mais quand 
, ces trois formes seront improprement primitives et donneront autant de classes différentes si est
négatif, excepté le cas où 
, dans lequel elles appartiennent à la même classe ; quant au cas où est positif de la forme
, il appartient à ceux pour lesquels nous n’avons pas jusqu’à présent de règle générale. Nous pouvons cependant affirmer
que ces trois formes donneront ou trois classes ou une seule, jamais deux ; car ou voit sans peine que si les formes , , appartiennent aux classes , , ,
respectivement, on aura 
(no 243, 2o), 
(ibid. 5o) ;
donc si l’on supposait 
on aurait aussi 
; et de
même si et étaient identiques, on aurait 
; d’ailleurs
on trouve 
; donc si et étaient identiques, et
le seraient aussi. Ainsi les classes , , sont toutes différentes ou toutes identiques. Par exemple, au-dessous de 
il y
a 
nombres de la forme