Recherches arithmétiques/Section cinquième (suite 3)

Carl Friedrich Gauss

Recherches arithmétiques

Traduction par A.-C.-M. Poullet-Delisle.
Courcier, 1807 (p. 223-267).

223. Nous avons déjà fait voir plus haut, (n^os 175, 195, 211), qu’étant donné un nombre entier quelconque $D$, on pouvait assigner une suite de formes $F,$ $F',$ $F'',$ etc. de déterminant $D,$ telles que toute forme de déterminant $D$ soit proprement équivalente à l’une d’elles, et à une seule. Ainsi toutes les formes de déterminant donné $D,$ dont le nombre est infini, peuvent se classer d’après ces formes, en composant la première classe de toutes les formes équivalentes à $F,$ la seconde, de toutes les formes équivalentes à $F',$ etc.

On pourra choisir dans chaque classe de formes de déterminant $D,$ une d’entre elles que l’on considérera comme forme représentante de toute la classe. Il est indifférent en soi quelle forme on prend dans chaque classe, cependant on doit toujours préférer celle qui est plus simple que toutes les autres. Or la simplicité d’une forme $(a,b,c)$ dépend évidemment de la grandeur des nombres $a,$ $b,$ $c\,;$ et on dira à juste titre que la forme $(a,b,c)$ est plus simple que la forme $(a',b',c'),$ si l’on a $a<a',$ $b<b',$ $c<c'$. Mais il reste encore à savoir laquelle, par exemple, nous choisirions des deux formes $(17,0,-45),$ $(5,0,-153).$ Le plus souvent il sera avantageux d’observer la règle suivante :

I. Quand $D$ est négatif, on prendra les formes réduites pour formes représentantes dans chaque classe ; mais s’il y a deux formes réduites dans la même classe, elles seront opposées (n^o 172), et l’on prendra celle où le terme du milieu sera positif.

II. Quand $D$ sera positif non quarré, on formera la période d’une forme réduite contenue dans la classe proposée ; cette période renfermera deux formes ambiguës, ou n’en renfermera aucune (n^o 187).

1^o. Dans le premier cas, soient $(A,B,C),$ $(A',B',C')$ ces formes ambiguës ; $M,$ $M'$ les résidus minima des nombres $B,$ $B',$ suivant les modules $A,$ $A',$ résidus qu’on prendra positivement s’ils ne sont $=0\,;$ enfin $N={\frac {D-M^{2}}{A}},$ $N'={\frac {D-M'^{2}}{A'}}.$ Cela posé, on choisira celle des deux formes $(A,M,-N),$ $(A',M',-N'),$ qui paraîtra la plus simple pour forme représentante. Dans ce choix, on préférera la forme dont le terme du milieu $=0$ ; mais quand cela arrive dans les deux formes, ou que cela n’arrive dans aucune, on doit choisir celle dans laquelle le premier terme est le plus petit, et quand il y a égalité au signe près, celle où le premier terme est positif.

2^o. Dans le second cas, on choisira dans toute la période la forme dont le premier terme est le plus petit, abstraction faite du signe, de manière cependant que si dans la même période deux formes avaient le premier terme au signe près, on préférerait celle où il est positif. Soit $(A,B,C)$ cette forme, on en déduira, comme dans le cas précédent, une autre forme $(A,M,-N)$ (en prenant pour $M$ le résidu minimum absolu de $B$, suivant le module $A$, et en faisant $N={\frac {D-M^{2}}{A}}$, et on la choisira pour représentante.

S’il arrivait que plusieurs formes de la période eussent le même plus petit premier terme, on les traiterait toutes comme il vient d’être prescrit, et parmi les formes qui en résulteraient, on prendrait pour représentante celle dans laquelle le terme du milieu serait le plus petit.

Ainsi, par exemple, pour $D=305,$ on a entr’autres la période

$(17,4,-17)$,	$(-17,13,8)$,	$(8,11,-23),$	$(-23,12,7),$
$(7,16,-17)$,	$(-7,12,23)$,	$(23,11,-8),$	$(-8,13,17),$

dans laquelle on choisit d’abord la forme $(7,16,-7),$ d’où l’on tire ensuite la forme représentante $(7,2,-43).$

III. Quand le déterminant sera un nombre quarré on cherchera une forme réduite $(A,K,0)$ contenue dans la classe proposée ; et si $A<K$ ou $=K$, on la prendra pour la forme représentante ; mais si $A>K$, on prendra à sa place la forme $(A,-2K,K,0)$ dont le premier terme sera négatif, mais $<K$.

Exemple. De cette manière, on distribuera en 16 classes toutes les formes de déterminant $-235$, classes dont les formes représentantes seront

$(1,0,-235)$,	$(2,1,118)$,	$(4,1,59)$	$(4,-1,59),$
$(5,0,47)$,	$(10,5,26)$,	$(13,5,20)$	$(13,-5,20),$

et huit autres qui ne diffèrent des précédentes que par le signe des termes extrêmes : $(-1,0,-235)$, $(-2,1,-118)$, etc.

Toutes les formes de déterminant $79$ se distribuent en six classes dont les représentantes sont

$(1,0,-79)$,	$(-1,0,79)$,	$(3,-1,-26)$,
$(-3,-1,26)$,	$(-3,1,26)$,	$(3,1,-26)$.

224. Par cette classification, on sépare des autres toutes les formes qui sont proprement équivalentes ; ainsi deux formes de la même classe sont proprement équivalentes ; tout nombre qui peut être représenté par l’une d’elles, peut l’être par l’autre ; et si un nombre $M$ peut être représenté par la première en donnant des valeurs premières aux indéterminées, il pourra être représenté par la seconde de la même manière, desorte même que les deux représentations appartiennent à la même valeur de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$. Mais deux formes qui appartiennent à des classes différentes, ne pourront être proprement équivalentes, et l’on ne peut pas conclure de ce qu’un nombre est représentable par l’une d’elles, qu’il le soit par l’autre ; au contraire, nous sommes en droit d’affirmer que si un nombre $M$ peut se représenter par la première, en donnant à $x$, $y$ des valeurs premières entre elles, on ne pourra pas trouver de représentations de ce nombre par l’autre forme, appartenant à la même valeur de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ (n^os 167, 168).

Au contraire, comme il peut arriver que deux formes $F$, $F'$, prises dans deux classes différentes $K$, $K'$, soient improprement équivalentes, auquel cas toute forme de la première classe sera improprement équivalente à toute forme de la deuxième ; chaque forme de $K$ aura son opposée dans $K'$, et les classes $K$, $K'$, seront dites opposées. Ainsi, dans le premier exemple de l’article précédent, la troisième classe des formes de déterminant $-235$ est opposée à la quatrième, et la septième à la huitième ; dans le second exemple, la troisième l’est à la sixième, et la quatrième à la cinquième. Étant donc proposées deux formes prises dans des classes opposées, tout nombre qui pourra être représenté par l’une d’elles, pourra l’être aussi par l’autre. Si pour l’une la représentation a lieu par des valeurs premières, il en sera de même pour l’autre, de manière cependant, que les représentations appartiendront à des valeurs opposées de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$. Au reste, les règles que nous avons données pour le choix des formes représentantes, sont établies de manière que les classes opposées obtiennent des représentantes opposées.

Enfin, il y a aussi des classes qui sont elles-mêmes leurs opposées ; savoir, si une forme et son opposée sont contenues dans la même classe, on voit facilement que toutes les formes de cette classe sont équivalentes entre elles, tant proprement qu’improprement, et qu’elles ont toujours leurs opposées dans la même classe. Toute classe jouira de cette propriété, lorsqu’elle contiendra une forme ambiguë, et réciproquement on trouvera une forme ambiguë dans toute classe qui est elle-même son opposée (n^os 163, 165) ; aussi cette classe s’appellera ambiguë. Ainsi, parmi les classes de déterminant $-235$, on trouve huit ambiguës, dont les représentantes sont :

$(\ \ \ 1,0,235)$,	$(\ \ \ 2,1,\ \ \ 118)$,	$(\ \ \ 5,0,\ \ \ 47)$,	$(\ \ \ 10,5,\ \ \ 26)$,
$(-1,0,235)$,	$(-2,1,-118)$,	$(-5,0,-47)$,	$(-10,5,-26)$,

Parmi les classes de déterminant $79$, il y en a deux : $(1,0,-79)$, $(-1,0,79)$.

Au reste, si l’on détermine les formes représentantes d’après les règles que nous avons données, on trouvera sans peine les classes ambiguës ; pour le déterminant positif non quarré, on trouvera nécessairement des représentantes ambiguës pour des classes qui le sont (n^o 194) ; pour le déterminant négatif, la forme représentante d’une classe ambiguë sera elle-même ambiguë, ou bien ses termes extrêmes seront égaux (n^o 172). Enfin, pour les formes de déterminant positif quarré, il est aisé de juger (n^o 210) si la forme représentante est improprement équivalente à elle-même, et partant, si la classe est ambiguë.

225. Nous avons déjà fait voir plus haut (n^o 175) que dans une forme $(a,b,c)$ de déterminant négatif, les termes extrêmes doivent avoir le même signe, non-seulement entre eux, mais encore, que les termes extrêmes de toute autre forme qui lui est équivalente. Si $a$, $c$ sont positifs, nous appellerons positive la forme $(a,b,c)$, et la classe qui la renferme, et qui ne contiendra que des formes positives, s’appellera classe positive. Au contraire, si $a$, $c$ sont négatifs, $(a,b,c)$ sera une forme négative, et elle sera contenue dans une classe négative. Les nombres négatifs ne peuvent être représentés par une forme positive, ni les nombres positifs par une forme négative. Si $(a,b,c)$ est la représentante d’une certaine classe, la forme $(-a,b,-c)$ sera celle de la classe négative, et il suit de là qu’il y a autant de classes positives que de négatives, et que les dernières seront déterminées, lorsque les premières le seront. Ainsi, dans les recherches sur les formes de déterminant négatif, il suffit le plus souvent de considérer les classes positives, puisque leurs propriétés se rapportent facilement aux classes négatives.

Au reste, cette distinction n’a lieu que pour les formes de déterminant négatif ; les nombres positifs et négatifs peuvent être représentés également par des formes quelconques de déterminant positif, ensorte qu’il n’est pas rare que les deux formes $(a,b,c)$, $(-a,b,-c)$ doivent être rapportées à la même classe.

226. Nous appelons forme primitive une forme quelconque $(a,b,c)$, lorsque les nombres $a$, $b$, $c$ n’ont pas de diviseur commun, autrement elle s’appellera dérivée, de manière que la forme $(a,b,c)$ sera dite dérivée de la forme primitive $\left({\frac {a}{m}},{\frac {b}{m}},{\frac {c}{m}}\right)$, si m est le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $b$, $c$. Il suit de là que toute forme sera primitive, si son déterminant n’est divisible par aucun quarré ($1$ excepté). Or, par le n^o 161, il est clair que s’il y a une forme primitive dans une classe donnée, toutes les formes de cette classe le seront également, et on l’appellera classe primitive. Il est d’ailleurs évident que si une forme F de déterminant $D$ est dérivée d’une forme primitive $f$ de déterminant ${\frac {D}{m^{2}}}$ et que $K$ et $k$ soient respectivement les classes qui renferment les formes $F$, $f$ toutes les formes de $K$ seront dérivées de la classe $k$ ; ainsi la classe $K$ sera dite dérivée de la classe primitive $k$.

Si $(a,b,c)$ est une forme primitive, et que $a$, $c$ ne soient pas tous les deux pairs, on voit facilement que $a$, $2b$, $c$ n’auront pas non plus de diviseur commun. Dans ce cas, la forme $(a,b,c)$ sera dite proprement primitive, ou plus simplement forme propre ; mais si $a,$ $c$ sont pairs, les nombres $a,$ $2b,$ $c$ auront $2$ pour commun et même pour plus grand commun diviseur ; alors la forme $(a,b,c)$ sera improprement primitive, ou plus simplement impropre^[1]. Dans ce cas, $b$ sera nécessairement impair, car autrement la forme $(a,b,c)$ ne serait pas primitive ; ainsi l’on aura $b^{2}\equiv 1{\pmod {4}},$ et partant, puisque $ac$ est divisible par $4,$ $b^{2}-ac\equiv 1{\pmod {4}}\,:$ les formes impropres auront donc des déterminans de la forme $4n+1$ ou $-(4n+3),$ suivant qu’ils seront positifs ou négatifs. Mais, par le n^o 161, il est clair que s’il y a dans une classe une forme proprement primitive, toutes les autres le seront, et que de même, une classe qui renferme une forme improprement primitive, n’en renfermera que de cette espèce. Ainsi nous appellerons cette classe, dans le premier cas, proprement primitive ou propre, et dans le second cas, improprement primitive ou impropre. Par exemple, parmi les classes positives de déterminant $-235,$ il y en a six propres, savoir, celles dont les représentantes sont :

$(1,0,235),(4,1,59),(4,-1,59),(5,0,47),(13,5,20),(13,-5,20),$

et autant parmi les classes négatives ; il y en a deux impropres de chaque espèce. Quant aux classes de déterminant $79$, elles sont toutes propres, puisque $79$ est de la forme $4n+3$.

Si la forme $(a,b,c)$ est dérivée de la forme primitive $\left({\frac {a}{m}},{\frac {b}{m}},{\frac {c}{m}}\right)$, cette dernière peut être propre ou impropre. Dans le premier cas $m$ dans le second $2m$, sera le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, ce qui fait entendre la distinction entre une forme dérivée d’une forme proprement primitive, et une forme dérivée d’une forme improprement primitive, et partant (n^o 161) entre une classe dérivée d’une classe proprement primitive, et une classe dérivée d’une classe improprement primitive.

Par cette distinction nous avons trouvé le principe qui nous servira à distribuer par ordres toutes les classes de formes de déterminant donné.

Nous rangerons dans le même ordre les deux formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$, si l’on a à-la-fois le même plus grand diviseur commun pour $a$, $b$, $c$ ; $a'$, $b'$, $c'$, pour $a$, $2b$, $c$ et $a'$, $2b'$, $c'$ ; mais si l’une ou l’autre de ces conditions n’a pas lieu, les classes se rapporteront à des ordres différens. Il suit de là immédiatement, que les classes proprement primitives composent un ordre, et toutes les classes improprement primitives, un autre. Si $m^{2}$ est le quarré qui divise le déterminant $D$, les classes dérivées des classes proprement primitives de déterminant $D$ composeront un ordre particulier, et les classes dérivées des classes improprement primitives de déterminant ${\frac {D}{m^{2}}}$ en composeront un autre. Si par hasard $D$ n’est divisible par aucun quarré (excepté $1$), il n’y aura pas d’ordres de classes dérivées, et partant il n’y aura qu’un ordre, lorsque $D\equiv 2$ ou $3{\pmod {4}}$, celui des classes proprement primitives, ou deux, lorsque $D\equiv 1{\pmod {4}}$, celui des classes proprement primitives, et celui des classes improprement primitives.

On déduit sans peine la règle suivante par le calcul des combinaisons (n^o 17). En supposant $D=D'.2^{2\mu }.a^{2\alpha }.b^{2\beta }.c^{2\gamma }$, etc., desorte que $D'$ ne renferme aucun facteur quarré, le nombre des ordres sera $(\mu +1)(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)...$ si $D'\equiv 2$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$ ; ou $(\mu +2)(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)...$ si $D'\equiv 1{\pmod {4}}$.

Exemple I^er. Si $D=45=5.3^{2}$, on aura six classes dont les représentantes sont :

$(1,0,-45)$,	$(-1,0,45)$,
$(2,1,-22)$,	$(-2,1,22)$,
$(3,0,-15)$,	$(6,3,-6)$,

et elles peuvent se distribuer en quatre ordres,

1^o. $(1,0,-45)$, $(-1,0,45)$, propres ; 2^o. $(2,1,-22)$, $(-2,1,22)$, impropres ; 3^o. la classe $(3,0,-15)$ dérivée d’une classe propre de déterminant $5$ ; 4^o. la classe $(6,3,-6)$ dérivée d’une classe impropre de déterminant $5$.

Exemple II. Les classes positives de déterminant $-99=-11.3^{2}$ peuvent se distribuer en quatre ordres, en désignant les classes par leurs représentantes.

Le premier contient les classes propres suivantes :

$(1,0,99),(4,1,25),(4,-1,25),(5,1,20),(5,-1,20),(9,0,11)\ ;$

Le deuxième, les classes impropres : $(2,1,50),$ $(10,1,10)\,;$

Le troisième, les classes dérivées de classes propres de déterminant $-11\,:$ $(3,0,33),$ $(9,3,12),$ $(9,-3,12)\,;$

Le quatrième, une classe dérivée d’une impropre de déterminant $-11\,:$ $(6,3,18).$

On distribuera par ordre, de la même manière, les classes négatives de même déterminant.

On voit sans peine que les classes opposées se rapportent au même ordre.

227. Parmi tous les ordres, celui des classes proprement primitives mérite la plus grande attention ; car toutes les classes dérivées tirent leur origine de certaines classes primitives de déterminant moindre, de la considération desquelles suit le plus souvent de soi-même ce qui regarde les premières. Or nous ferons voir plus bas qu’une classe improprement primitive quelconque répond toujours à une ou à trois classes proprement primitives, et l’on sait que les classes négatives répondant toujours à certaines classes positives, on pourra ne pas s’en occuper.

Afin d’examiner plus à fond la nature des classes proprement primitives, nous expliquerons avant tout une certaine différence essentielle, d’après laquelle un ordre entier de classes peut se subdiviser en genres, et comme nous n’avons pas encore parlé de cet important sujet, il faudra prendre la chose dès l’origine.

228. Théorème. Il y a une infinité de nombres non divisibles par un nombre premier donné $\mathrm {p}$ quel qu’il soit, qui peuvent être représentés par une forme proprement primitive $\mathrm {F} .$

Soit $F=ax^{2}+2bxy+cy^{2},$ il est évident que $p$ ne divisera pas à-la-fois les nombres $a,$ $2b,$ $c.$ Or, quand $a$ n’est pas divisible par $p,$ il suffira de donner à $x$ une valeur non-divisible par $p,$ et à $y$ une valeur divisible. Quand $c$ n’est pas divisible par $p,$ on pourra donner à $y$ une valeur non-divisible et à $x$ une valeur divisible ; enfin, quand $a$ et $c$ sont divisibles par $p$, et que partant $2b$ ne l’est pas, on pourra donner à $x$ et à $y$ des valeurs non-divisibles. Dans ces trois cas, il est évident que la valeur de la forme $F$ ne sera pas divisible par $p$.

Le théorème a lieu également pour les formes improprement primitives, pourvu qu’on n’ait pas $p=2$.

Comme plusieurs conditions de cette espèce peuvent exister à-la-fois, de manière qu’un nombre soit divisible par de certains nombres premiers, et qu’il ne soit pas divisible par d’autres, on voit facilement que les nombres $x$, $y$ peuvent être déterminés d’une infinité de manières qui rendent $F$ non-divisible par tant de nombres premiers qu’on voudra (excepté $2$ lorsque la forme est improprement primitive). Ainsi le théorème peut être énoncé plus généralement ainsi qu’il suit :

On peut représenter par une forme primitive quelconque, une infinité de nombres premiers à un nombre donné quelconque (impair, quand la forme est improprement primitive).

229. Theorème. Soit $\mathrm {F}$ une forme primitive de déterminant $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {p}$ un nombre premier qui divise $\mathrm {D} \,;$ alors tous les nombres non-divisibles par $\mathrm {p} ,$ qui peuvent être représentés par la forme $\mathrm {F} ,$ seront tous résidus quadratiques de $\mathrm {p} ,$ ou tous non-résidus.

Soit $F=(a,b,c)\,;$ $m,$ $m'$ deux nombres quelconques non-divisibles par $p,$ et qui peuvent être représentés par la forme $F,$ on aura

$m=ag^{2}+2bgh+ch^{2},\quad m'=ag'^{2}+2bg'h'+ch'^{2},$

et partant

$mm'=(agg'+b(gh'+g'h)+chh')^{2}-D(gh'-hg')^{2}\ ;$

donc $mm'$ sera congru à un quarré, suivant le module $D,$ et parconséquent suivant le module $p,$ c’est-à-dire que $mm'$ est résidu quadratique de $p.$ Il suit de là que $m$ et $m'$ seront tous deux résidus ou non-résidus (n^o 98).

On prouve de la même manière, que si $D$ est divisible par $4,$ les nombres impairs qui peuvent être représentés par $F,$ sont tous $\equiv 1$, ou tous $\equiv 3$ ; en effet, le produit de deux d’entre eux sera résidu de $4$, et partant $\equiv 1{\pmod {4}}$ ; parconséquent ils seront tous les deux $\equiv 1$, ou tous les deux $\equiv 3$.

Enfin, quand $D$ est divisible par $8$, le produit de nombres impairs qui peuvent être représentés par $F$, est résidu de $8$, et partant $\equiv 1{\pmod {8}}$ ; ainsi dans ce cas les nombres impairs qui peuvent être représentés par $F$ sont tous $\equiv 1$, ou tous $\equiv 3$, ou tous $\equiv 5$, ou tous $\equiv 7{\pmod {8}}$.

Par exemple, le nombre $10$, qui est non-résidu de $7$, pouvant être représenté par la forme $(10,5,17)$, tous les nombres non-divisibles par $7$ qui pourront être représentés par cette forme seront non-résidus de $7$. Comme $-5$ peut être représenté par la forme $(-5,1,49)$ et qu’il est $\equiv 1{\pmod {4}}$, tous les nombres impairs qui pourront être représentés par cette forme seront aussi $\equiv 1{\pmod {4}}$.

Au reste, s’il était nécessaire pour notre objet, nous pourrions démontrer facilement que les nombres représentables par la forme $F$ n’ont pas ainsi une relation fixe à l’égard d’un nombre premier qui ne divise pas $D$, et que l’on peut représenter par la forme $F$ des résidus ou non-résidus de ce nombre premier indifféremment. Mais quant aux nombres $4$ et $8$, il y a dans les autres cas quelque chose d’analogue que nous ne pouvons pas passer sous silence.

I. Quand le déterminant $\mathrm {D}$ d’une forme primitive $\mathrm {F}$ est $\equiv 3{\pmod {4}}$, les nombres impairs représentables par $\mathrm {F}$ seront tous $\equiv 1$, ou tous $\equiv 3{\pmod {4}}$.

Soient, en effet, $m$, $m'$ deux nombres représentables par $F$, on pourra, comme ci-dessus, ramener leur produit à la forme $p^{2}-Dq^{2}$, et les deux nombres $m$, $m'$ étant impairs, l’un des deux nombres $p$, $q$ sera pair et l’autre impair, et partant l’un des quarrés $p^{2}$, $q^{2}$ sera $\equiv 0$, l’autre $\equiv 1{\pmod {4}}$ ; d’où l’on conclut aisément que $p^{2}-Dq^{2}\equiv 1{\pmod {4}}$, et parconséquent $m$, $m'$ tous deux $\equiv 1$ ou tous deux $\equiv 3{\pmod {4}}$. Ainsi, par exemple, par la forme $(10,3,17)$ on ne peut représenter d’autres nombres impairs que ceux qui sont de la forme $4n+1$.

II. Quand le déterminant $\mathrm {D}$ d’une forme primitive $\mathrm {F}$ est $\equiv 2{\pmod {8}}$, tous les nombres impairs représentables par $\mathrm {F}$ seront ou en partie $\equiv 1$ et en partie $\equiv 7$, ou en partie $\equiv 3$ et en partie $\equiv 5{\pmod {8}}$.

Soient $m$, $m'$ deux nombres représentables par $F$ leur produit peut être ramené à la forme $p^{2}-Dq^{2}$ ; si $m$ et $m'$ sont impairs, $p$ doit l’être puisque $D$ est pair, et parconséquent on a $p^{2}\equiv 1{\pmod {8}}$ ; or si $q$ est pair, $q^{2}$ sera $\equiv 0$, ou $\equiv 4{\pmod {8}}$ ; s’il est impair, $q^{2}$ sera $\equiv 1{\pmod {8}}$ ; ainsi $Dq^{2}$ ne peut être que $\equiv 0$ ou $\equiv 2$. Il suit de là que $p^{2}-Dq^{2}=mm'\equiv 0$ ou $\equiv 7$, et que si $m\equiv 1$ ou $\equiv 7$, on aura aussi $m'\equiv 1$ ou $\equiv 7$ ; si $m\equiv 3$ ou $\equiv 5$, $m'$ sera $\equiv 3$ ou $\equiv 5$. Par exemple, tous les nombres représentables par la forme $(3,1,5)$ sont $\equiv 3$ ou $\equiv 5{\pmod {8}}$, et aucun nombre de la forme $8n+1$ ou $8n+7$ ne peut être représenté par la forme $(3,1,5)$.

III. Quand le déterminant $\mathrm {D}$ d’une forme primitive $\mathrm {F}$ est $\equiv 6{\pmod {8}}$, les nombres impairs qui pourront être représentés par $\mathrm {F}$ seront ou en partie $\equiv 1$ et en partie $\equiv 3$, ${\pmod {8}}$, ou en partie $\equiv 5$ et en partie $\equiv 7{\pmod {8}}$.

Chacun pourra faire la démonstration, qui est absolument semblable à la précédente.

Par exemple, par la forme $(5,1,7)$ on ne pourra représenter que des nombres qui sont $\equiv 5$ ou $\equiv 7{\pmod {8}}$.

230. Ainsi tous les nombres qui peuvent être représentés par une forme primitive donnée de déterminant $D,$ ont une relation déterminée avec les différens diviseurs premiers de $D,$ par lesquels ils ne sont pas divisibles, et les nombres impairs qui peuvent être représentés par $F,$ ont, dans certains cas, une relation avec les nombres $4$ et $8,$ savoir, avec $4$, toutes les fois que $D\equiv 0$ ou $\equiv 3{\pmod {4}},$ et avec $8$, toutes les fois que $D\equiv 0,$ ou ${\pmod {3}}\equiv 4,$ ou $\equiv 6{\pmod {8}}.$ Cependant on pourra négliger la relation qui a lieu avec $4$, lorsque $D$ sera divisible par $8,$ car cette relation est contenue dans celles qui ont lieu avec $8$. Nous appellerons caractère ou caractère particulier cette espèce de relation, et nous l’exprimerons de la manière suivante. Quand il n’y a que les résidus du nombre premier $p$ qui peuvent être représentés par la forme $F,$ nous lui attribuerons le caractère $R.p,$ et dans le cas contraire, le caractère $N.p$ ; de même nous écrirons $1,4$, quand on ne pourra représenter par la forme $F$ d’autres nombres impairs que ceux qui sont $\equiv 1{\pmod {4}}$, d’où l’on voit clairement quels sont les caractères exprimés par les signes

$3,4\,;\quad 1,8\,;\quad 3,8\,;\quad 5,8\,;\quad 7,8.$

Enfin quand on ne pourra représenter que des nombres qui sont $\equiv 1$ ou $\equiv 7{\pmod {8}}$, nous attribuerons à la forme le caractère $1$ et $7,8$, d’où l’on voit ce que signifient les caractères $3$ et $5,8$ ; $1$ et $3,8$ ; $5$ et $7,8$.

Les différens caractères d’une forme primitive donnée $(a,b,c)$ de déterminant $D$ peuvent se connaître au moins par un des nombres $a$, $c$ qui sont évidemment représentables par cette forme. En effet, toutes les fois qu’un nombre premier $p$ est diviseur de $D$, il y aura au moins un des nombres $a$, $c$ qui ne sera pas divisible par $p$, puisqu’on a $b^{2}=D+ac$, et que d’après cela $b^{2}$ et parconséquent $b$ sera divisible par tout diviseur premier de $D$ et de l’un des nombres $a$, $c$ et que si tous les deux l’étaient, il s’ensuivrait que la forme $(a,b,c)$ ne serait pas primitive. De même, dans les cas où la forme $(a,b,c)$ une relation déterminée avec les nombres $4$ et $8$, il y aura au moins un des nombres $a$, $c$ impair et dont on pourra tirer la relation.

Par exemple, le caractère de la forme $(7,0,23)$ à l’égard du nombre $23$, se conclut du nombre $7$, et il est $N.23$, et à l’égard du nombre $7$, il se conclut du nombre $23$, et il est $R.7$ ; enfin le caractère de cette forme, à l’égard du nombre $4$, peut se déduire du nombre $7$ et du nombre $23$.

Comme tous les nombres qui peuvent être représentés par une forme $F$ contenue dans une classe $K$, peuvent l’être aussi par toute autre forme de la même classe, il est évident que les différens caractères de la forme $F$ appartiennent aussi à toutes les autres formes de cette classe. Ainsi les caractères d’une classe primitive quelconque se connaissent par leur représentante. Les classes opposées ont toujours tous les mêmes caractères.

231. L’ensemble des caractères particuliers d’une forme ou d’une classe donnée constitue le caractère complet de cette forme ou de cette classe. Ainsi, par exemple, le caractère de la forme $(10,3,17)$, ou celui de toute la classe qu’elle représente, est $1,4$ ; $N.7$ ; $N.23$. De la même manière, le caractère complet de la forme $(7,1,-17)$ sera $7,8$ ; $R.3$ ; $N.5$ : car le caractère particulier de la forme $3,4$ est compris dans le caractère $7,8$. De là nous tirons une subdivision de tout l’ordre des classes proprement primitives (positives, quand le déterminant est négatif) d’un déterminant donné en plusieurs genres, en rapportant au même genre toutes les classes qui ont le même caractère complet, et à des genres différens toutes celles qui ont différens caractères complets. Nous attribuerons à ces genres les caractères complets des classes qui y sont contenues.

Par exemple, pour le déterminant $-161$, il y a seize classes positives proprement primitives, qui peuvent se distribuer en quatre genres, de la manière suivante :

Caractère. ——————Formes représentantes des classes.

$1,4\,;\,R.7\,;\,R.23...$	$(1,0,161),$	$(2,1,81),$	$(9,1,18),$	$(9,-1,18)$
$1,4\,;\,N.7\,;\,N.23...$	$(5,2,33),$	$(5,-2,33),$	$(10,3,17),$	$(10,-3,17)$
$3,4\,;\,R.7\,;\,N.23...$	$(7,0,23),$	$(11,2,15),$	$(11,-2,15),$	$(14,7,15)$
$3,4\,;\,N.7\,;\,R.23...$	$(3,1,54),$	$(3,-1,54),$	$(6,1,27),$	$(6,-1,27).$

On peut faire les remarques suivantes sur le nombre des caractères complets différens.

I. Quand le déterminant $D$ est divisible par $8$, à l’égard du nombre $8$ il peut y avoir quatre caractères particuliers différens ; le nombre $4$ ne donne aucun caractère particulier (n^o précéd.). En outre, à l’égard de chacun des diviseurs impairs et premiers de $D$, il peut y avoir deux caractères, ainsi, si leur nombre est $m$, il y a $2^{m+2}$ caractères complets différens, en faisant $m=0$ toutes les fois que $D$ est une puissance de $2$.

II. Quand $D$ n’est pas divisible par $8$, mais par $4$ et en outre par $m$ nombres premiers impairs, il y aura $2^{m+1}$ caractères complets différens.

III. Quand $D$ est pair, mais non divisible par $4$, il sera $\equiv 2$ ou $\equiv 6{\pmod {8}}$ ; dans le premier cas, on aura à l’égard du nombre $8$, savoir, $1$ et $7,8$ ; $5$ et $5,8$, et autant dans le second. Si donc l’on suppose $m$ diviseurs premiers impairs, il y aura $2^{m+1}$ caractères complets.

IV. Quand $D$ est impair, il sera $\equiv 1$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$. Le caractère du premier cas n’entre pas dans le caractère complet. Dans le second cas, il y a à l’égard de $4$ deux caractères. Ainsi $m$ étant le même que ci-dessus, il y aura dans le premier cas $2^{m}$, dans le second $2^{m+1}$ caractères complets.

Mais il faut bien remarquer qu’il ne suit pas de là qu’on ait autant de genres différens que de caractères complets possibles. Dans l’exemple précédent, le nombre des genres est moitié de celui des caractères, et il n’y a pas de classes positives qui aient pour caractère

	$1,4$ ; $R.7$ ; $N.33,$	——ou——	$1,4$ ; $N.7$ ; $N.23,\quad$
ou	$3,4$ ; $R.7$ ; $R.23,$	——ou——	$3,4$ ; $N.7$ ; $R.23.$

Nous traiterons plus bas avec détail ce sujet important.

Comme la forme $(1,0,-D)$ est évidemment la plus simple des formes de déterminant $D$, nous lui donnerons le nom de forme principale, à la classe dans laquelle elle est contenue, celui de classe principale, et enfin au genre auquel cette classe appartient, celui de genre principal. Ainsi il faut bien distinguer la forme principale, de la forme d’une classe principale et de la forme d’un genre principal, ainsi qu’une classe principale et une classe d’un genre principal. Nous nous servirons toujours de ces dénominations, même quand il arriverait que pour un certain déterminant il n’y eût pas d’autre classe que la classe principale, ou pas d’autre genre que le genre principal, comme cela a lieu souvent dans le cas où $D$ est un nombre positif de la forme $4n+1$.

232. Quoique ce qui a été expliqué sur les caractères des formes l’ait été surtout dans le dessein d’en déduire la subdivision en genres de l’ordre entier des classes positives proprement primitives, rien n’empêche qu’on ne l’applique aux formes et aux classes négatives ou improprement primitives, et qu’on ne subdivise en genres, tant l’ordre proprement primitif positif ou négatif, que l’ordre improprement primitif positif ou négatif.

Ainsi, par exemple, lorsqu’on a partagé en deux genres l’ordre proprement primitif des formes de déterminant $145$,

$R.5\,;\,R.29...$	$(1,0,-145),$	$(5,0,-29),$
$N.5\,;\,N.29...$	$(3,1,-48),$	$(3,-1,-48)$ ;

l’ordre Improprement positif peut se subdiviser de même en deux genres,

$R.5\,;\,R.29...$	$(4,1,-36),$	$(4,-1,-36)$
$N.5\,;\,N.29...$	$(2,1,-72),$	$(10,5,-12)$

ou, de même que les classes positives des formes de déterminant $-129$ se distribuent en quatre genres,

$1,4\,;\,R.3\,;\,R.43...$	$(1,0,129),$	$(10,1,13),$	$(10,-1,13)$
$1,4\,;\,N.3\,;\,N.43...$	$(2,1,65),$	$(5,1,26),$	$(5,-1,26)$
$3,4\,;\,R.3\,;\,R.43...$	$(3,0,43),$	$(7,2,19),$	$(7,-2,19)$
$3,4\,;\,N.7\,;\,R.23...$	$(6,3,23),$	$(11,5,14),$	$(11,-5,14),$

les classes négatives se partagent aussi en quatre ordres,

$3,4\,;\,N.3\,;\,N.43...$	$(-1,0,-129),$	$(-10,1,-13),$	$(-10,-1,-13)$
$3,4\,;\,R.3\,;\,R.43...$	$(-2,1,-65),$	$(-5,1,-26),$	$(-5,-1,-26)$
$1,4\,;\,N.3\,;\,R.43...$	$(-3,0,-43),$	$(-7,2,-19),$	$(-7,-1,-19)$
$1,4\,;\,R.3\,;\,N.43...$	$(-6,3,-23),$	$(-11,5,-14),$	$(-11,-5,-14).$

Mais puisque le système des classes négatives se trouve toujours si semblable à celui des classes positives, il semble qu’il est le plus souvent inutile de les considérer séparément. Quant à l’ordre improprement primitif, nous enseignerons plus bas à le réduire à l’ordre proprement primitif.

Pour la subdivision des ordres dérivés, il n’est pas nécessaire de donner de nouvelles règles ; puisque chaque ordre dérivé tirant son origine de quelque ordre primitif de déterminant moindre, la subdivision d’un ordre dérivé suit naturellement de celle de l’ordre primitif dont il provient.

233. Si une forme primitive $F=(a,b,c)$ est telle que l’on puisse trouver deux nombres $g$, $h$ pour lesquels on ait $g^{2}\equiv a$, $gh\equiv b$, $h^{2}\equiv c$, suivant un module donné $m$, on aura $(gx+hy)^{2}\equiv ax^{2}+2bxy+cy^{2}{\pmod {m}}$, et partant on peut dire que la forme $F$ est résidu de $m$, et que $hx+hy$ est la valeur de l’expression ${\sqrt {ax^{2}+2bxy+cy^{2}}}{\pmod {m}}$, ce que nous exprimerons plus simplement en écrivant que $(g,h)$ est une valeur de ${\sqrt {F}}{\pmod {m}}$ ; plus généralement, si un nombre $M$ premier avec $m$ est tel qu’on ait $g^{2}\equiv Ma$, $gh\equiv Mb$, $h^{2}\equiv Mc{\pmod {m}}$, nous dirons que $MF$ est résidu de $m$ et $(g,h)={\sqrt {MF}}{\pmod {m}}$. Ainsi, par exemple, la forme $(3,1,54)$ est résidu quadratique de $23$, et $(7,10)$ est la valeur de ${\sqrt {(3,1,54)}}{\pmod {m}}$. De même $(2,-4)$ est la valeur de l’expression ${\sqrt {5(10,3,17)}}{\pmod {23}}$.

On verra plus bas l’usage de ces expressions ; ici nous ferons les remarques suivantes :

1^o. Si $M(a,b,c)$ est résidu quadratique de $m$, $m$ divisera le déterminant de la forme $(a,b,c)$ ; en effet, puisqu’on a $g^{2}\equiv aM$, $gh\equiv bM$, $h^{2}\equiv cM{\pmod {m}}$, on en tire

$b^{2}M^{2}-acM^{2}=(b^{2}-ac)M^{2}\equiv 0{\pmod {m}}$

Mais comme $M$ est premier avec $m$, il s’ensuit donc que $b^{2}-ac$ est divisible par $m$.

2^o. Si $M(a,b,c)$ est résidu de $m$ et que $m$ soit un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier, $p^{\mu }$, par exemple, le caractère particulier de la forme $(a,b,c)$, à l’égard du nombre $p$, sera $R.p$ ou $N.p$, suivant que $M$ sera résidu ou non-résidu de $p$. En effet, $aM$ et $cM$ sont résidus de $p$, et il y a au moins un des nombres $a$, $c$ qui n’est pas divisible par $p$ (n^o 230) ; donc si $M$ est résidu ou non-résidu, un des deux nombres $a$ et $c$ le sera aussi.

De même, si toutes choses d’ailleurs égales, $m=4$ le caractère particulier de la forme $(a,b,c)$ sera $1,4$ ou $3,4$ suivant que l’on aura $\equiv$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$ ? et si $m=8$ ou une plus haute puissance de $2$, le caractère particulier de la forme $(a,b,c)$ sera $1,8$ ; $3,8$ ; $5,8$ ; $7,8$, suivant que $M\equiv 1$ ; $3$ ; $5$ ; $7{\pmod {8}}$.

3^o. Réciproquement si $m$ est un nombre premier ou une puissance d’un nombre premier $\equiv p^{\mu }$ qui divise $b^{2}-ac$ et que $M$ soit résidu ou non-résidu de $p$, suivant que le caractère particulier de la forme $(a,b,c)$, à l’égard du nombre $p$, est $R.p$ ou $N.p$ respectivement, $M(a,b,c)$ sera résidu de $m$. En effet, quand $a$ n’est pas divisible par $p$, $aM$ sera résidu de $p$, et partant de $m$ lui-même ; si donc $g$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {aM}}{\pmod {m}}$ et que $h$ soit une valeur de ${\frac {bg}{a}}{\pmod {m}}$, on aura $g^{2}\equiv aM$, $ah\equiv bg$, et partant $agh\equiv bg^{2}\equiv abM$ et $gh\equiv bM$ ; enfin $ah^{2}\equiv bgh\equiv b^{2}M\equiv b^{2}M-(b^{2}-ac)M\equiv acM$, d’où $h^{2}\equiv cM$ ; donc $(g,h)$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {(a,b,c)M}}$. Mais quand $a$ est divisible par $p$, comme alors $c$ ne l’est sûrement pas, on voit qu’on arrivera au même résultat, en prenant $h={\sqrt {cM}}{\pmod {m}}$ et $g={\frac {bh}{c}}{\pmod {m}}$.

On démontre de la même manière, que si $m=4$ qu’il divise $b^{2}-ac$, et qu’on prenne le nombre $M\equiv 1$ ou $\equiv 3$, suivant que le caractère particulier de la forme est $1,4$ ou $3,4$, $M(a,b,c)$ sera résidu de $m$, et que $m=8$ ou une plus haute puissance de $2$, par laquelle $b^{2}-ac$ soit divisible, et que l’on prenne $M\equiv 1$ ; $3$ ; $5$ ; $7{\pmod {8}}$, suivant que le caractère particulier de la forme le demande, $M(a,b,c)$ sera résidu de $m$.

4^o. Si le déterminant de la forme $(a,b,c)$ est $=D$, et que $M(a,b,c)$ soit résidu de $D$, tous les caractères particuliers de la forme, tant à l’égard des diviseurs premiers de $D$, qu’à l’égard des nombres $4$ et $8$, s’ils sont diviseurs de $D$, peuvent se connaître sur-le-champ par le nombre $M$. Ainsi, par exemple, comme $3(20,10,27)$ est résidu de $440$, c’est-à-dire que $(150,-9)$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {3(20,10,27)}}$, et qu’on a $3N.5$ et $3R.11$ ; les caractères de la forme $(20,10,27)$ sont $3,8$ ; $N.5$ ; $R.11$. Les caractères, relatifs à $4$ et à $8$, toutes les fois que ces nombres ne divisent pas $D$, sont les seuls qui ne dépendent pas nécessairement du nombre $M$.

5^o. Réciproquement, si le nombre $M$ premier avec $D$ renferme tous les caractères particuliers de la forme $(a,b,c)$ excepté ceux relatifs à $2$ et à $8$, quand ces nombres ne divisent pas $D$, $M(a,b,c)$ sera résidu de $D$. En effet, par ce qui a été dit (3^o.), il est clair qu’en mettant $D$ sous la forme $\pm A^{\alpha }.B^{\beta }.C^{\gamma }$… $A$, $B$, $C$, etc. étant des nombres premiers différens, $M(a,b,c)$ sera résidu de chacun des nombres $A^{\alpha }$, $B^{\beta }$, $C^{\gamma }$, etc. ; si donc la valeur de ${\sqrt {M(a,b,c)}}{\pmod {A^{\alpha }}}$ est $(G,G')$ ; que ${\sqrt {M(a,b,c)}}{\pmod {B^{\beta }}}$ soit $(H,H')$, que ${\sqrt {M(a,b,c)}}{\pmod {C^{\gamma }}}$ soit $(L,L')$, etc. et que les nombres $g$, $h$ soient déterminés de manière qu’on ait $g\equiv G$, $H$, $L$, etc., $h\equiv G'$, $H'$, $L'$, etc., suivant les modules $A^{\alpha }$, $B^{\beta }$, $C^{\gamma }$, etc. respectivement (n^o 32), on verra facilement que l’on aura $g^{2}\equiv aM$, $gh\equiv bM$, $h^{2}\equiv cM$, suivant chacun des modules $A^{\alpha }$, $B^{\beta }$, $C^{\gamma }$, et parconséquent suivant le module $D$, qui est leur produit.

6^o. Pour toutes ces raisons, les nombres tels que $M$, qu’on peut trouver sans peine, par ce que nous avons dit (5^o.), dès qu’on connaît les caractères particuliers de la forme, se nommera nombre caractéristique. On trouve sans peine les plus simples, par tâtonnement, dans un grand nombre de cas. Il est évident que si $M$ est le nombre caractéristique d’une forme primitive donnée de déterminant $D,$ tous les nombres qui lui seront congrus suivant le module $D,$ seront caractéristiques de la même forme ; que les formes d’une même classe, ou même de classes différentes, mais du même genre, ont le même nombre caractéristique, et que parconséquent tout nombre caractéristique de la forme donnée peut être attribué à toute la classe et à tout le genre ; enfin que $1$ est nombre caractéristique des forme, classe et genre principaux, c’est-à-dire, que toute forme principale est résidu de son déterminant.

7^o. Si $(g,h)$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {M(a,b,c)}}{\pmod {m}},$ et qu’on ait $g'\equiv g$, $h'\equiv h{\pmod {m}},$ $(g',h')$ sera aussi valeur de cette expression. De telles valeurs peuvent être regardées comme équivalentes ; au contraire, si $(g,h)$ et $(g',h')$ sont valeurs de l’expression ${\sqrt {M(a,b,c)}},$ et qu’on n’ait pas $g'\equiv g$, $h'\equiv h{\pmod {m}},$ on doit les considérer comme différentes. Il est évident que si $(g,h)$ est une valeur, $(-g,-h)$ en est une aussi, et on démontre facilement qu’elles sont différentes, à moins qu’on n’ait $m=2.$ On démontre aussi facilement que l’expression ${\sqrt {M(a,b,c)}}$ ne peut pas avoir plus de valeurs différentes que ses deux opposées, quand m est un nombre premier impair, ou une puissance d’un nombre premier impair, ou $=4$ ; mais quand $m=8$ ou une plus haute puissance de $2$, il y en a quatre en tout. On conclut facilement de là, au moyen de ce qui a été exposé (6^o.), que si le déterminant $D$ de la forme $(a,b,c)$ est $\pm 2^{\mu }A^{\alpha }B^{\beta }$, etc, $A$, $B$, etc. étant des nombres premiers impairs dont le nombre est $n$, et que $M$ soit le nombre caractéristique de cette forme, il y aura en tout $2^{n}$, $2^{n+1}$ ou $2^{n+2}$ valeurs différentes de l’expression ${\sqrt {M(a,b,c)}}{\pmod {D}}$, suivant que $\mu >2$, $=2$ ou $>2$. Ainsi, par exemple, on a 16 valeurs de l’expression ${\sqrt {7(12,6,-17)}}{\pmod {240}}$, qui sont :

$(\pm 18,\mp 11)$,	$(\pm 18,\pm 29)$,	$(\pm 18,\mp 91)$,	$(\pm 18,\pm 109)$,
$(\pm 78,\pm 19)$,	$(\pm 78,\pm 59)$,	$(\pm 78,\mp 61)$,	$(\pm 78,\mp 101)$.

Nous supprimons la démonstration, qui est assez longue, et qui n’est pas nécessaire ici.

8^o. Observons enfin que si deux formes équivalentes $F$, $F'$ ont $D$ pour déterminant, que le nombre caractéristique soit $M$ et que $F$ se change en $F'$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, d’une valeur $(g,h)$ de ${\sqrt {M.F}}{\pmod {D}}$, on tirera $(\alpha g+\gamma h,\beta g+\delta h)$ pour la valeur de ${\sqrt {M.F'}}{\pmod {D}}$, chacun pourra trouver sans peine la démonstration.

234. Après avoir exposé ces détails sur la distribution des formes en classes, en genres et en ordres, et avoir expliqué les propriétés qui naissent de ces distinctions, nous allons passer à un autre sujet très-important et dont personne ne s’est encore occupé, à la composition des formes ; mais avant de commencer cette recherche, nous placerons le lemme suivant, pour ne pas être obligé d’interrompre l’ordre des démonstrations.

Lemme. Si l’on a quatre suites de nombres entiers : $\mathrm {a,\,a',\,a'',\dots a^{n}\,;}$ $\mathrm {b,\,b',\,b'',\dots b^{n}\,;}$ $\mathrm {c,\,c',\,c'',\dots c^{n}\,;}$ $\mathrm {d,\,d',\,d'',\dots d^{n},}$ composées d’autant de termes, et telles qu’on ait

$\mathrm {cd'-dc'}$	$=$	$\mathrm {k(ab'-ba')} ,$
$\mathrm {cd''-dc''}$	$=$	$\mathrm {k(ab''-ba'')} ,$	etc.
$\mathrm {c'd''-d'c''}$	$=$	$\mathrm {k(a'b''-b'a'')} ,$	etc., etc.

ou généralement $\mathrm {c^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }c^{\mu }=k(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })} ,$ $\mathrm {k}$ étant un nombre entier donné, $\mu$, $\nu$ des entiers différens dont $\mu$ est le plus grand, et compris entre $0$ et $\mathrm {n} \,;$ qu’en outre, toutes les quantités de la forme $\mathrm {a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu }}$ n’aient pas de diviseur commun ; alors on peut trouver quatre nombres entiers $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ tels que l’on ait

$\mathrm {\alpha a+\beta b=c} ,$	——$\mathrm {\alpha a'+\beta b'=c'} ,$	——$\mathrm {\alpha a''+\beta b''=c''} ,$	——etc.
$\mathrm {\gamma a+\delta b=d} ,$	$\mathrm {\gamma a'+\delta b'=d'} ,$	——etc.

ou généralement $\mathrm {\alpha a^{\nu }+\beta b^{\nu }=c^{\nu }} ,$ $\mathrm {\gamma a^{\nu }+\delta b^{\nu }=d^{\nu }} \,;$ auquel cas on aura $\alpha \delta -\beta \gamma =\mathrm {k} .$

Puisque, par hypothèse, les nombres $ab'-a'b$, $ab''-a''b$, etc. $a'b''-a''b'$, etc., dont le nombre est ${\frac {1}{2}}(n+1)n$, n’ont pas de diviseur commun, on peut trouver autant de nombres entiers tels que la somme des produits des premiers par les derniers soit $=1$ (n^o 40). Désignons ces multiplicateurs par $(0,1)$, $(0,2)$, etc. $(1,2)$, etc. ; ou généralement désignons le multiplicateur de $a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu }$ par $(\lambda ,\mu )$, desorte qu’on ait $\sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })=1$, $\sum$ désignant la somme de toutes les valeurs qui peuvent résulter de la quantité qu’il précède, lorsqu’on donne successivement à $\lambda$ et $\mu$ toutes les valeurs comprises entre $0$ et $n$, de manière que $\mu >\lambda$. Cela posé , si l’on fait

$\sum (\lambda ,\mu )(c^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }c^{\mu })$	$=\alpha$,
$\sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }c^{\mu }-c^{\lambda }a^{\mu })$	$=\beta$,
$\sum (\lambda ,\mu )(d^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }d^{\mu })$	$=\gamma$,
$\sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }a^{\mu })$	$=\delta$,

les nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ jouiront des propriétés énoncées ci-dessus.

I. $\nu$ étant un nombre entier quelconque entre $0$ et $n$, on aura

$\alpha a^{\nu }+\beta b^{\nu }$	$=\sum (\lambda ,\mu )(c^{\lambda }b^{\mu }a^{\nu }-b^{\lambda }c^{\mu }a^{\nu }+a^{\lambda }c^{\mu }b^{\nu }-c^{\lambda }a^{\mu }b^{\nu }$
	$={\frac {1}{k}}\sum (\lambda ,\mu )(c^{\lambda }d^{\mu }c^{\nu }-d^{\lambda }c^{\mu }c^{\nu })$
	$={\frac {1}{k}}c^{\nu }\sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }c^{\mu })$
	$=c^{\nu }$ ;

et par un calcul semblable, on prouve que $\gamma a^{\nu }+\delta b^{\nu }=d^{\nu }$.

II. On a parconséquent $c^{\lambda }=\alpha a^{\lambda }b^{\mu }+\beta b^{\lambda }$, $c^{\mu }=\alpha a^{\mu }b^{\mu }+\beta b^{\mu }$, et partant

	$c^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }c^{\mu }$	$=\alpha (a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })$	de même…………
de même……………	$a^{\lambda }c^{\mu }-c^{\lambda }a^{\mu }$	$=\beta (a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })$
	$d^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }d^{\mu }$	$=\gamma (a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })$
	$a^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }a^{\mu }$	$=\delta (a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })$,

d’où l’on tirera plus facilement les valeurs de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, pourvu qu’on prenne $\lambda$ et $\mu$ de manière que $a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu }$ ne soit pas $=0$, ce qui est possible, puisque toutes les quantités de cette forme sont supposées ne pas avoir de diviseur commun, et que parconséquent elles ne peuvent pas être toutes $=0$. On tire aisément de ces équations

$(\alpha \delta -\beta \gamma )(a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })^{2}$	$=(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })(c^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }c^{\mu })$
	$=k(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })^{2}$

d’où nécessairement $\alpha \delta -\beta \gamma =k$.

235. Si la forme $AX^{2}+2BXY+CY^{2}=F$ se change en le produit des deux formes $ax^{2}+2bxy+cy^{2}=f$, $a'x'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}=f'$ par la substitution

$X$	$=pxx'+p'xy'+p''x'y+p'''yy'$,
$Y$	$=qxx'+q'xy'+q''x'y+q'''yy'$,

(ce que nous exprimerons d’une manière abrégée en disant : Si $F$ se change en $ff'$ par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$ ; $q$, $q'$, $q''$, $q'''$) la forme $F$ sera dite transformable en $ff'$, et si de plus cette transformation est telle que les six nombres

$pq'-p'q,\quad$	$\quad pq''-p''q,\quad$	$\quad pq'''-p'''q,$
$p'q''-p''q',\quad$	$\quad p'q'''-p'''q',\quad$	$\quad p''q'''-p'''q'',$

n’aient pas de diviseur commun, la forme $F$ sera dite composée des formes $f$, $f'$.

Nous commencerons par l’hypothèse la plus générale, celle où la forme $F$ se changerait en $ff'$ par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$ ; $q$, $q'$, $q''$, $q'''$, et nous développerons les conséquences qui en résultent.

Cette condition est exprimée par les neuf équations suivantes :

$Ap^{2}+2Bpq+Cq^{2}=aa'$ 

 (1)

$Ap'^{2}+2Bp'q'+Cq'^{2}=ac'$ 

 (2)

$Ap''^{2}+2Bp''q''+Cq''^{2}=a'c$ 

 (3)

$Ap'''^{2}+2Bp'''q'''+Cqq'=ab'$ 

 (4)

$App'+B(pq'+p'q)+Cqq'=ab'$ 

 (5)

$App''+B(pq''+p''q)+Cqq''=a'b$ 

 (6)

$Ap'p'''+B(p'q'''+p'''q')+Cq'q'''=bc'$ 

 (7)

$Ap''p'''+B(p''q'''+p'''q'')+Cq''q'''=cb'$ 

 (8)

$A(pp'''+p'p'')+B(pq'''+p'''q+p'q''+p''q')+C(qq'''+q'q'')=2bb'$ 

 (9)

Soient $D$, $d$, $d'$ les déterminans des formes $F$, $f$, $f'$ respectivement ; $M$, $m$, $m'$ les plus grands communs diviseurs des nombres $A$, $2B$, $C$ ; $a,$ $2b,$ $c$ ; $a',$ $2b',$ $c'$ respectivement, $M$, $m$, $m'$ étant pris positivement. Déterminons les six nombres $A$, $B$, $C$ ; $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ ; $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ de manière qu’on ait

$A_{1}a+B_{1}b+C_{1}c=m,\quad A_{2}a'+B_{2}b'+C_{2}c'=m'.$

Faisons enfin $pq'-p'q=P$, $pq''-p''q=Q$, $pq'''-p'''q=R$, $p'q''-p''q'=S$, $p'q'''-p'''q'=T$, $p''q'''-p'''q''=U$, et supposons que $k$ soit leur plus grand commun diviseur^[2].

Posant maintenant

$App''+B(pq''+p''q)+Cqq''=bb'+\Delta$………(10),

l’équation (9) donne

$App''+B(pq''+p''q)+Cqq''=bb'+\Delta$………(11),

De ces onze équations on tire les suivantes, savoir :

En élevant l’équation (5) au quarré et en retranchant le produit de l’équation (1) par l’équation (2),

$D.P^{2}=d'a^{2}$……(12) ;

en multipliant l’équation (5) par l’équation (9), l’équation (1) par l’équation (7), l’équation (2) par l’équation (6), et retranchant du premier produit la somme des deux derniers,

$DP(R-S)=2d'ab$……(13) ;

en multipliant l’équation (10) par l’équation (11), l’équation (6) par l’équation (7), et retranchant le second produit du premier,

$DPU=d'ac-(\Delta ^{2}-dd')$……(14) ;

en ajoutant le double produit des équations (5) et (8), les quarrés des équations (10) et (11), et retranchant de leur somme les produits des équations (1) et (4), (2) et (3) et deux fois le produit des équations (6) et (7),

$D(R-S)^{2}=4d'b^{2}+2(\Delta ^{2}-dd')$……(15) ;

en retranchant du produit de l’équation (8) par l’équation (9), la somme des produits des équations (5) et (7), (4) et (6),

$D(R-S)U=2d'bc$……(16) ;

en retranchant du quarré de l’équation (8) le produit des équations (3} et (4),

$DU^{2}=d'c^{2}$……(17) ;

en remplaçant dans les mêmes calculs les équations (2), (5), (7), par les équations (3), (6), (8) respectivement, et réciproquement :

$DQ^{2}$	$=da'^{2}$	………(18)
$DQ(R+S)$	$=2da'b'$	………(19)
$DQT$	$=da'c'-(\Delta ^{2}-dd')$	………(20)
$DQ(R+S)^{2}$	$=4db'^{2}+2(\Delta ^{2}-dd')$	………(21)
$D(R+S)T$	$=2db'c'$	………(22)
$DT^{2}$	$=dc'^{2}$	………(23)

De ces équations on tire, 1^o. en retranchant le quarré de l’équation (13), du produit des équations (12) et (15) ; 2^o. en retranchant le produit des équations (12) et (17), du quarré de l’équation (14) :

$0=2d'a^{2}(\Delta ^{2}-dd')$………$0=(\Delta ^{2}-dd')^{2}-2d'ac(\Delta ^{2}-dd')$,

ce qui prouve la relation $\Delta ^{2}-dd'=0$, soit qu’on ait ou non $a=0$. Cette manière de trouver l’équation $\Delta ^{2}=dd'$ suffit pour les recherches présentes ; mais nous aurions pu la trouver directement par une analyse plus élégante mais trop longue pour être placée ici, en déduisant directement des onze premières équations celle-ci

$0=(\Delta -dd')^{2}$. Nous supposerons donc qu’on ait effacé $\Delta ^{2}-dd'$ dans les équations (14), (15), (20), (21).

Or si l’on fait

$A_{1}P+B_{1}(R-S)+C_{1}U=mn',\quad A_{2}P+B_{2}(R+S)+C_{2}T=m'n,$

où $n$, $n'$ peuvent être des fractions, pourvu que $mn'$ et $m'n$ soient entiers, on tire facilement des équations (12)……(17),

$Dm^{2}n'^{2}=d'(A_{1}a+2B_{1}b+C_{1}c)^{2}=d'm^{2},$

et des équations (18)..... .(23) ,

$Dm'^{2}n'^{2}=d'(A_{2}a'+2B_{2}b'+C_{2}c')^{2}=dm^{2},$

On a donc $d=Dn^{2},$ $d='Dn'^{2},$ d’où nous tirons une première condition : les déterminans des formes $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {f} ,$ $\mathrm {f'}$ sont entre eux comme des nombres quarrés ; et une seconde : $\mathrm {D}$ divise toujours $\mathrm {dm'^{2}}$ et $\mathrm {d'm^{2}} .$ Il suit donc de là que $D,$ $d,$ $d'$ sont de même signe, et qu’aucune forme ne peut être transformée en le produit $ff'$ si son déterminant est plus grand que le plus grand diviseur commun des nombres $dm'^{2}$ et $d'm^{2}.$

Si l’on multiplie les équations (12), (13), (14) par $A,$ $B,$ $C,$ respectivement ; les équations (13), (15), (16), les équations (14), (16), (17) par les mêmes nombres et de la même manière ; que l’on ajoute les trois produits en y remplaçant $d'$ par $Dn'^{2},$ on trouve, à l’aide de l’équation $A_{1}P+B_{1}(R-S)+CU_{1}=mn'_{1},$

$P=an',\quad R-S=2bn',\quad U=cn'$

de même, en multipliant, 1^o. les équations (18), (19), (20) ; 2^o. les équations (19), (21), (22) ; 3^o. les équations (20), (22), (23) par $A_{2},$ $B_{2},$ $C_{2}$ respectivement, on a

$Q=a'n\quad R+S=2b'n\quad T=c'n.$

Ce qui donne une troisième condition : les nombres $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {2b} ,$ $\mathrm {c}$ sont proportionnels aux nombres $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {R-S} ,$ $\mathrm {U\,;}$ et en supposant que leur rapport est celui de $1$ à $\mathrm {n'} ,$ $\mathrm {n'}$ sera la racine quarrée de $\mathrm {\frac {d'}{D}} \,:$ de même, les nombres $\mathrm {a'} ,$ $\mathrm {2b'} ,$ $\mathrm {c'}$ sont proportionnels aux nombres $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R+S} ,$ $\mathrm {T} \,;$ et si l’on suppose que leur rapport est celui de $1$ à $\mathrm {n} ,$ $\mathrm {n}$ sera la racine quarrée de $\mathrm {\frac {d}{D}} .$

Au reste les quantités $n$, $n'$ peuvent être les racines positives ou négatives de ${\frac {d}{D}}$ et ${\frac {d'}{D}}$, d’où nous tirons une distinction qui paraît stérile au premier abord, mais dont l’usage se reconnaîtra par la suite. Nous dirons que dans la transformation de $F$ en $ff'$, la forme $f$ est prise directement quand $n$ est positif, indirectement quand $n$ est négatif, et de même à l’égard de $f'$. Mais en ajoutant la condition que $k=1$, nous dirons que la forme $F$ est composée ou directement des deux formes $f$, $f'$, ou indirectement de ces deux mêmes formes, ou directement de $f$ et indirectement de $f'$, ou directement de $f'$ et indirectement de $f$, suivant que les deux nombres $n$, $n'$ seront positifs ou négatifs, ou que $n$ sera positif et $n'$ négatif, ou $n$ négatif et $n'$ positif. D’ailleurs on voit facilement que ces relations ne dépendent pas de l’ordre dans lequel ces formes sont placées.

Or nous observons que le plus grand diviseur commun $k$ des nombres $P,$ $Q,$ $R,$ $S,$ $T,$ $U$ divise les nombres $mn'$, $m'n$ ce qui résulte des valeurs établies plus haut pour ces nombres, et que parconséquent $k^{2}$ doit diviser $m^{2}n'^{2}$, $m'^{2}n^{2}$, et $Dk^{2}$ les nombres $d'm^{2}$, $dm'^{2}$ ; mais réciproquement tout diviseur commun de $mn'$, $m'n$ divisera aussi $k$. En effet, soit $e$ un de ces diviseurs, il divisera évidemment les nombres $an'$, $2bn'$, $cn'$, $a'n$, $2b'n$, $c'n$, et partant, $P$, $R-S$, $U$, $Q$, $R+S$, $T$ et d’après cela $2R$ et $2S$. Or si ${\frac {2R}{e}}$ était impair, ${\frac {2S}{e}}$ le serait aussi, puisque la somme est paire ainsi que la différence ; leur produit serait donc impair. Mais ce produit est ${\frac {4}{e^{2}}}(b'^{2}n^{2}-b^{2}n'^{2})={\frac {4}{e^{2}}}(d'n^{2}+a'c'n^{2}-dn'^{2}-acn'^{2})={\frac {4}{e^{2}}}(a'c'n^{2}-acn'^{2}),$ et parconséquent pair, puisque $e$ divise $a'n$, $c'n$, $an'$, $cn'$. Donc ${\frac {2R}{e}}$ est nécessairement pair, et partant, $R$ et $S$ sont divisibles par $e$. Donc $e$ divisant les six nombres $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$, divisera aussi leur plus grand commun diviseur $k$. Donc $k$ est le plus grand diviseur commun entre $mn'$ et $m'n$ ; d’où l’on voit facilement que $Dk^{2}$ est le plus grand commun diviseur des nombres $dm'^{2}$, $d'm^{2}$. C’est la quatrième conclusion. Il est donc clair que toutes les fois que $F$ sera composée de $f$ et $f'$, comme on a $k=1$, $D$ sera le plus grand commun diviseur des nombres $dm'^{2}$, $d'm^{2}$ et réciproquement. Cette propriété aurait pu être prise comme définition de la forme composée. Ainsi la forme composée des formes $f$, $f'$, a le plus grand déterminant possible parmi toutes les formes qui peuvent être transformées en le produit $ff'$.

Avant que nous puissions aller plus loin, il faut déterminer avec plus d’exactitude la valeur de $\Delta$ que nous avons trouvé $={\sqrt {dd'}}={\sqrt {D^{2}n^{2}n'^{2}}}$, mais dont le signe n’est pas encore fixé. À cet effet, nous déduirons des équations fondamentales l’équation $DPQ=aa'\Delta$, en retranchant le produit de l’équation (1) par l’équation (2), de celui de l’équation (5) par l’équation (6) ; et partant, $Daa'nn'=aa'\Delta$, ou $Dnn'=\Delta$, à moins qu’un des nombres $a$, $a'$ ne fut nul. Mais on tire des équations (1).... .(2) absolument de la même manière, huit autres équations dans lesquelles $Dnn'$ à gauche, $\Delta$ à droite, sont multipliés par $2ab'$, $ac'$, $2ba'$, $4bb'$, $2bc'$, $ca'$, $2cb'$, $cc'$ ; et comme les nombres $a$, $2b$, $c$ ne peuvent être nuls en même temps, non plus que les nombres $a'$, $2b'$, $c'$, il s’ensuit qu’on aura dans tous les cas $\Delta =Dnn'$, et que parconséquent $\Delta$ aura le même signe que $D$, $d$, $d'$, ou un signe différent, suivant que $n$ et $n'$ auront le même signe, ou un signe différent.

Or les nombres $aa'$, $2ab'$, $ac'$, $2ba'$, $4bb'$, $2c'b$, $ca'$, $2cb'$, $cc'$, $2bb'+2\Delta ,$ $2bb'-2\Delta$ sont tous divisibles par $mm'$. La chose est évidente pour les neuf premiers ; quant aux deux autres, on les démontrera comme nous avons démontré plus haut que $R$ et $S$ étaient divisibles par $e$. En effet, $4bb'+4\Delta$ et $4bb'-4\Delta$ sont divisibles par $mm'$ puisque $4\Delta ={\sqrt {16dd'}}$, que $4d$ est divisible par $m^{2}$, $4d'$ par $m'^{2}$, partant, $16dd'$ par $m^{2}m'^{2}$ et $4\Delta ={\sqrt {16dd'}}$ par $mm'$ ; la somme et la différence des quotiens sont paires ; et comme l’on démontre facilement que le produit des quotiens est également pair, chacun de ces quotiens l’est aussi, et parconséquent $2bb'+2\Delta$ et $2bb'-2\Delta$ sont divisibles par $mm'$.

Maintenant, on déduira facilement des équations fondamentales les six suivantes :

$AP^{2}$	$=aa'q'^{2}$	$-$	$2ab'$	$qq'$	$+ac'q^{2}$,
$AQ^{2}$	$=aa'q''^{2}$	$-$	$2a'b$	$qq''$	$+a'cq^{2}$,
$AR^{2}$	$=aa'q'''^{2}$	$-$	$2(bb'+\Delta )$	$qq'''$	$+cc'q^{2}$,
$AS^{2}$	$=ac'q''^{2}$	$-$	$2(bb'+\Delta )$	$q'q''$	$+a'cq'^{2}$,
$AT^{2}$	$=ac'q'''^{2}$	$-$	$2bc'$	$q'q'''$	$+cc'q'^{2}$,
$AU^{2}$	$=a'cq'''^{2}$	$-$	$2b'c$	$q'''q''$	$+cc'q''^{2}$,

Il suit de là que $AP^{2}$, $AQ^{2}$, $AR^{2}$, etc. sont divisibles par $mm'$, d’où l’on conclut facilement que $Ak^{2}$ est divisible par $mm'$, puisque $k^{2}$ est le plus grand commun diviseur entre $P^{2}$, $Q^{2}$, $R^{2}$, etc. ; mais en substituant pour $a$, $2b$, $c$, etc. leurs valeurs ${\frac {P}{n'}}$, etc., ou $(pq'-p'q){\frac {1}{n'}}$, etc. Ces équations se changeront en six autres, dans lesquelles on aura à droite les produits de la quantité ${\frac {1}{nn'}}(q'q''-qq''')$ par $P^{2}$, $Q^{2}$, $R^{2}$, etc. ; nous laissons à effectuer ce calcul qui est très-facile. Il suit de là qu’on a $Ann'=q'q''-qq'''$.

De la même manière on obtient six autres équations dans lesquelles $A$ est remplacé par $C$, et $q$, $q'$, $q''$, $q'''$ par $p$, $p'$, $p''$, $p'''$, où parvient à l’équation $Cnn'=p'p''-pp'''$, et l’on prouve que $CK^{2}$ est divisible par $mm'$.

Enfin on déduit encore les six équations :

$BP^{2}$	$=-aa'p'q'$	$+$	$ab'$	$(pq'+p'q)$	$-ac'pq$,
$BQ^{2}$	$=-aa'p''q''$	$+$	$a'b$	$(pq''+p''q)$	$-a'cpq$,
$BR^{2}$	$=-aa'p'''q'''$	$+$	$(bb'+\Delta )$	$(pq'''+p'''q)$	$-cc'pq$,
$BS^{2}$	$=-ac'p''q''$	$+$	$(bb'-\Delta )$	$(p'q''+p''q')$	$-a'cp'q'$,
$BT^{2}$	$=-ac'p'''q'''$	$+$	$bc'$	$(p'q'''+p'''q)$	$-cc'p'q'$,
$BU^{2}$	$=-a'cp'''q'''$	$+$	$b'c$	$(p''q'''+p'''q'')$	$-cc'p''q''$,

d’où l’on conclut que $2Bk^{2}$ est divisible par $mm'$ ; on déduira aisément par les mêmes substitutions que ci-dessus, l’équation ${\displaystyle }$.

Puisque $Ak^{2}$, $2Bk^{2}$, $Ck^{2}$ sont divisibles par $mm'$, il s’ensuit que $Mk^{2}$ est divisible aussi par $mm'$ ; mais on voit par les équations fondamentales que $M$ divise les nombres $aa'$, $2ab'$, $ac'$, $2ba'$, $4bb'$, $2bc'$, $ca'$, $2b'c$, $cc'$ ; partant, $am'$, $2bm'$, $cm'$, qui sont respectivement les plus grands diviseurs communs des trois premiers, des trois moyens et des trois derniers, et enfin $mm'$ qui est le plus grand commun diviseur de ces trois nombres. Donc, lorsque $F$ est composée de $f$ et $f'$, c’est-à-dire lorsque $k=1$, on a nécessairement $M=mm'$. C’est la cinquième conclusion.

Si le plus grand commun diviseur des nombres $A$, $B$, $C$ est $M_{1}$, ou aura $M_{1}=M$, quand $F$ sera une forme propre ou dérivée d’une forme propre, et $M_{1}={\frac {1}{2}}M$ quand $F$ sera une forme impropre ou dérivée d’une forme impropre. Soient de même $m_{1}$, $m'_{1}$, les plus grands diviseurs communs des nombres $a$, $b$, $c$ ; $a'$, $b'$, $c'$, respectivement : on aura $m_{1}=m$ ou ${\frac {m}{2}}$, $m'_{1}=m'$ ou ${\frac {m'}{2}}$. Or il est évident que ${m_{1}}^{2}$ divise $d$, que ${m'_{1}}^{2}$ divise $d'$, que parconséquent ${m_{1}}^{2}{m'_{1}}^{2}$ divise $dd'$ ou $\Delta ^{2}$, et que ${m_{1}}{m'_{1}}$ divise $\Delta$. Ainsi, des six équations $BP^{2}$ etc., etc., il suit que $m_{1}m'_{1}$ divise $Bk^{2}$, et partant $M_{1}k^{2}$, car il divise aussi $Ak^{2}$ et $Ck^{2}$ ; donc toutes les fois que $F$ sera composée de $f$ et $f'$, $m_{1}m'_{1}$ divisera $M_{1}$ lui-même, et si, dans ce cas, les deux formes $f$, $f'$ sont proprement primitives ou dérivées de formes proprement primitives ; on aura $m_{1}m'_{1}=mm'=M$ ; donc $M_{1}=M$, c’est-à-dire que $F$ sera une forme semblable. Mais si, dans le même cas, chacune des formes $f$, $f'$, ou l’une des deux seulement, $f$ par exemple, est improprement primitive ou dérivée d’une forme improprement primitive, il suit des équations fondamentales, que les nombres $aa'$, $2ab'$, $ac'$, $a'b$, $2bb'$, $bc'$, $a'c$, $2b'c$, $cc'$ sont divisibles par $M_{1}$, et partant, $m_{1}m'={\frac {1}{2}}mm'={\frac {1}{2}}M$ ; donc $M_{1}={\frac {1}{2}}M$ ; ainsi la forme $F$ est improprement primitive, ou dérivée d’une forme improprement primitive. C’est la sixième conclusion.

Enfin nous observons que si les neuf équations

$P$	$=\,an',$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$
$R-S$	$=\,2bn',$
$U$	$=\,cn',$
$Q$	$=\,a'n,$
$R+S$	$=\,2b'n,$		……(Ω)
$T$	$=\,c'n,$
$Ann'$	$=\,q'q''-qq''',$
$2Bnn'$	$=\,pq'''+p'''q-p'q''-p''q',$
$Cnn'$	$=\,p'p''-pp''',$

sont supposées avoir lieu, pourvu que $n$, $n'$ ne soient pas $=0$, on s’assurera facilement, par la substitution, que toutes les équations fondamentales sont satisfaites, c’est-à-dire que la forme $(A,B,C)$ se change, par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$ ; $q$, $q'$, $q''$, $q'''$, en le produit des formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$, et qu’on a en outre $b^{2}-ac=n^{2}(B^{2}-AC)$, $b'^{2}-a'c'=n'^{2}(B^{2}-AC)$. Nous laissons à l’intelligence du lecteur ce calcul, qui est trop prolixe.

236. Problème. Étant données deux formes dont les déterminans sont égaux, ou du moins comme deux nombres quarrés, trouver une forme composée de ces deux formes.

Soient $f=(a,b,c)$, $f'=(a',b',c')$ les formes à composer ; $d$, $d'$ leurs déterminans ; $m$, $m'$ les plus grands diviseurs communs des nombres $a$, $2b$, $c$ ; $a'$, $2b'$, $c'$ respectivement, et $D$ le plus grand commun diviseur des nombres $dm'^{2}$, $d'm^{2}$ pris avec le même signe que $d$ et $d'$. Alors ${\frac {d'm^{2}}{D}}$ et ${\frac {dm'^{2}}{D}}$ seront des nombres positifs premiers entre eux dont le produit sera un quarré, ainsi chacun d’eux sera un quarré (n^o 21). Ainsi ${\sqrt {\frac {d}{D}}}$ et ${\sqrt {\frac {d'}{D}}}$ seront des quantités rationnelles que nous représenterons par $n$ et $n'$, en prenant $n$ positif ou négatif, suivant que la forme $f$ doit entrer directement ou indirectement dans la composition, et de même à l’égard de $n'$. $mn'$ et $m'n$ seront parconséquent des entiers premiers entre eux ; quant à $n$, $n'$, ils peuvent être fractionnaires. Cela fait, nous observerons que $an'$, $cn'$, $a'n$, $c'n$, $bn'+b'n$, $bn'-b'n$ sont des nombres entiers, ce qui est évident pour les quatre premiers, et qu’on démontrera pour les deux autres, comme on a démontré que $R$ et $S$ étaient divisibles par $e$.

Soient pris maintenant quatre nombres entiers $K$, $K'$, $K''$, $K'''$ à volonté, pourvu qu’ils ne rendent pas zéro à-la-fois les premiers membres des quatre équations suivantes, et qu’on suppose

	$K'an'$	$+$	$K''a'n$	$+$	$K'''(bn'+b'n)$	$=\mu q$,	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\\\ \\\ \ \end{matrix}}\right\}$	…… (I).
$-$	$Kan'$	$+$	$K'''c'n$	$-$	$K''(bn'-b'n)$	$=\mu q'$
${\displaystyle }$	$K'''cn'$	$-$	$Ka'n$	$+$	$K'(bn'-b'n)$	$=\mu q''$
$-$	$K''cn'$	$-$	$K'c'n$	$-$	$K(bn'+b'n)$	$=\mu q'''$

de manière que $q$, $q'$, $q''$, $q'''$ soient des nombres entiers premiers entre eux, ce qu’on obtiendra en prenant pour ${\displaystyle }$ le plus grand commun diviseur des quatre premiers membres. On pourra alors trouver quatre nombres $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, $\pi '''$ tels qu’on ait

$\pi q+\pi 'q'+\pi ''q''+\pi '''q'''=1$

et cela fait on déterminera $p$, $p'$, $p''$, $p'''$, par les équations suivantes :

$\left\{{\begin{array}{*{8}{l}}&\pi 'an'&+&\pi ''a'n&+&\pi '''(bn'+b'n)&=&p,\\-&\pi an'&+&\pi '''c'n&+&\pi ''(bn'-b'n)&=&p',\\&\pi '''cn'&-&\pi a'n&+&\pi '(bn'-b'n)&=&p'',\\-&\pi ''cn'&-&\pi 'c'n&-&\pi (bn'+b'n)&=&p'''\\\end{array}}\right\}...(II)\,;$

enfin en posant.

$q'q''-qq'''$	$=Ann'$,
$pq'''+p'''q-p'q''-p''q'$	$=2Bnn'$,
$p'p''-pp'''$	$=Cnn'$,

$A$, $B$, $C$ seront des nombres entiers, et la forme $(A,B,C)=F$ sera composée des formes $f$ et $f'$.

En effet 1^o. des équations (I) on déduit sans peine les suivantes :

$q'cn'-q'ca'n-q'''(bn'-b'n)$	$=0$,	$\}$
$qcn'+q'''a'n-q''(bn'-b'n)$	$=0$	$\}$……(III)
$q'''an'+qc'n-q'(bn'+b'n)$	$=0$	$\}$
$q''an'-q'a'n-q(bn'-b'n)$	$=0$	$\}$

2^o. Supposons que les nombres entiers $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$, $N$, $N'$ soient déterminés de manière qu’on ait

$A_{1}a+2B_{1}b+C_{1}c$	$=m$,
$A_{2}a'+2B_{2}b'+C_{2}c'$	$=m'$,
$Nm'n+Nmn'$	$=1$,

on en tire, par la substitution des valeurs de $m$, $m'$ dans la troisième équation

$A_{1}N'an'+2B_{1}N'bn'+C_{1}N'cn'+A_{2}Na'n+2B_{2}Nb'n+C_{2}Nc'n=1,$

de cette équation et des équations (III), en posant

$-$	$q'A_{1}N'-Q''A_{2}N-q'''(B_{1}N'+B_{2}N)$	$=k$,
	$qA_{1}N'-q'''C_{2}N+q''(B_{1}N'-B_{2}N)$	$=k'$,
$-$	$q'''C_{1}N'+qA_{2}N-q'(B_{1}N'-B_{2}N)$	$=k''$,
	$q''C_{1}N'+q'C_{2}N+q(B_{1}N'+B_{2}N)$	$=k'''$,

on trouvera facilement

	$k'an'+ki''a'n+k'''(bn'+b'n)$	$=q$,	$\}$	……
$-$	$kan'+k'''c'n-k''(bn'-b'n)$	$=q'$,	$\}$	……(IV)
	$k'''cn'-ka'n+k'(bn'-b'n)$	$=q''$,	$\}$	……
$-$	$k''cn'-k'c'n-k(bn'+b'n)$	$=q'''$,	$\}$	……

Lorsque $\mu =1,$ ces équations ne sont pas nécessaires, et l’on peut prendre à leur place les équations (I) elles-mêmes, dont elles sont les analogues. Or si l’on substitue dans les valeurs de $Ann',$ $2Bnn',$ $Cnn'$ celles de $q,$ $q',$ $q'',$ $q''',$ $p,$ $p',$ $p'',$ $p''',$ on trouvera, en réduisant, que les différens termes sont des entiers multipliés les uns par $nn',$ les autres par $dn'^{2}$ ou $d'n^{2}\,;$ et que tous les termes de la valeur de $2Bnn'$ contiennent le facteur $2$ ; or $dn'^{2}=d'n^{2}$ et ${\frac {dn'^{2}}{nn'}}={\frac {dn'}{n}}={\sqrt {dd'}}.$ Donc $A$, $B,$ $C$ sont des nombres entiers.

3^o. En substituant les valeurs de $p,$ $p',$ $p'',$ $p''',$ dans les six premières des équations (Ω), on trouvera qu’elles sont satisfaites à l’aide de l’équation $\pi q+\pi 'q'+\pi ''q''+\pi '''q'''=1$ et des équations (III). Les trois dernières ont déjà lieu par hypothèse ; donc la forme $F$ se changera en $ff'$ par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$, $q$, $q'$, $q''$ $q'''$, et son déterminant sera $D$, qui est égal au plus grand commun diviseur des nombres $dm'^{2}$, $d'm^{2}$ donc par la quatrième conclusion du n^o précédent, $F$ sera composée de $f$, $f'$.

237. Théorème. Si la forme $\mathrm {F}$ est transformable en le produit de deux formes $\mathrm {f} ,$ $\mathrm {f'} ,$ et que la forme $\mathrm {f'}$ renferme la forme $\mathrm {f''}$ $\mathrm {F}$ pourra aussi se transformer en $\mathrm {ff''} .$

Conservons pour les formes $F$, $f$, $f'$ les signes du n^o 235, soit $f''=(a'',b'',c'')$, et $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ la transformation qui change $f'$. en $f''$. On voit alors sans peine que $F$ se change en $ff''$ par la substitution $\alpha p+\gamma p'$, $\beta p+\delta p'$, $\alpha p''+\gamma p'''$, $\beta p''+\delta p'''$, $\alpha q+\gamma q'$, $\beta q+\delta q'$, $\alpha q''+\gamma q'''$, $\beta q''+\delta q'''$.

Représentons, pour abréger, ces coefficiens par $r$, $r'$, $r''$, $r'''$ ; $s$, $s'$, $s''$, $s''',$ et faisons $\alpha \delta -\beta \gamma =e$, en appliquant ici les équations Ω du n^o 235. On trouve

$rs'-r's$	$=an'e,$	$rs'''-r'''s-(r's''-r''s')$	$=2bn'e,$	$r''s'''-r'''s''$	$=cn'e,$
$rs''-r''s$	$=an'',$	$rs'''-r'''s+(r's''-r''s')$	$=2b''n,$	$r''s'''-r'''s''$	$=c''n,$
$s's''-ss'''$	$=Ann'e,$	$rs'''+r'''s-r's''-r''s'$	$=2Bnn'e,$	$r'r''-rr'''$	$=Cnn'e,$

donc en représentant par $d''$ le déterminant de $f''$, et faisant ${\frac {d''}{D}}=n''$, on aura $n''=n'e$ parceque ${\sqrt {\frac {d'}{D}}}=n'$, et que $e=\pm {\sqrt {\frac {d''}{d'}}}$ suivant que la forme $f'$ renferme $f''$ proprement ou improprement ; ainsi dans la transformation de $F$ en $ff''$ la forme$f''$ entrera de la même manière que $f'$ dans la transformation de $F$ en $ff'$, ou d’une manière différente, suivant que $e$ sera positif ou négatif, c’est-à-dire, suivant que $f'$ renfermera $f''$ proprement ou improprement.

238. Théorème. Si la forme $\mathrm {F'}$ renferme $\mathrm {F} ,$ et que $\mathrm {F}$ puisse se changer en $\mathrm {ff'} ,$ la forme $\mathrm {F'}$ pourra aussi se changer en $\mathrm {ff'} .$.

Conservons pour les formes $F$, $f$, $f'$ les mêmes signes que plus haut, et supposons que $F'$ se change en $F$ par la substitution

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on voit facilement que $F'$ se changera en $ff'$ par la substitution ${\begin{matrix}\alpha p+\beta q,&\alpha p'+\beta q',&\alpha p''+\beta q'',&\alpha p'''+\beta q'''\,;\\\gamma p+\delta q,&\gamma p'+\delta q',&\gamma p''+\delta q'',&\gamma p'''+\delta q'''.\end{matrix}}$

On prouvera en outre, par un calcul semblable à celui du n^o précédent, que si $F'$ renferme $F$ proprement, les formes $f$, $f'$ entreront dans la transformation de $F'$ en $ff'$ de la même manière que dans la transformation de $F$ en $ff'$ et que dans le cas contraire, elles entreront d’une manière inverse.

En combinant le présent théorème avec celui du n^o précédent, nous obtenons le suivant, qui est plus général :

Si une forme $\mathrm {F}$ est transformable en $\mathrm {ff'} ,$ que $\mathrm {f} ,$ $\mathrm {f'}$ renferment les formes $\mathrm {g} ,$ $\mathrm {g'}$ respectivement, et que $\mathrm {G}$ renferme $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {G}$ sera transformable en $\mathrm {gg'} .$

En effet, par le théorème du n^o présent, $G$ se changera en $ff'$, donc par le théorème du n^o précédent, $G$ se changera en $fg'$ et de même en $gg'$. Or il est évident que si les trois formes $f$, $f'$, $G$ renferment proprement les trois formes $g$, $g'$, $F$, $G$ se composera de la même manière en $gg'$ que $F$ en $ff'$ ; de même, si les trois premières renferment improprement les trois dernières ; et enfin on déterminera facilement de quelle manière $G$ doit se composer de $g$, $g'$, si une des transformations est différente des deux autres.

Si les formes $F$, $f$, $f'$ sont équivalentes aux formes $G$, $g$, $g'$, respectivement, les premières auront les mêmes déterminans que les dernières, et (n^o 161) $m$ et $m'$ seront pour $g$, $g'$ ce qu’ils sont pour $f$, $f'$. D’où il suit, par la quatrième conclusion du n^o 235, que si $F$ est composée de $f$, $f'$, $G$ sera aussi composée de $g$, $g'$, et même que la forme $g$ entre dans cette dernière composition comme $f$ dans la première, si $F$, $G$ ; $f$, $g$ sont équivalentes de la même manière, ou au contraire. De même à l’égard de $f'$ et $g'$.

239. Théorème. Si la forme $\mathrm {F}$ est composée des formes $\mathrm {f} ,$ $\mathrm {f'} ,$ toute forme qui pourra se transformer en $\mathrm {ff'}$ de la même manière que $\mathrm {F} ,$ renfermera proprement cette dernière.

Conservons toujours pour $F$, $f$, $f'$ les signes du n^o 235, et supposons que la forme $F'=(A',B',C')$, dont le déterminant $=D'$ se change en $ff'$ par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$, $q$, $q'$, $q''$ $q'''$, et représentons pour cette composition, par $P_{1},$ $Q_{1},$ $R_{1},$ etc. les analogues de $P,$ $Q,$ $R,$ etc. Dans la première on aura

$P_{1}$	$=an'_{1}$,	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$ ……(Ω'),
$R_{1}-S_{1}$	$=2bn'_{1}$,
$U_{1}$	$=cn'_{1}$,
$Q_{1}$	$=c'n_{1}$,
$R_{1}+S_{1}$	$=2b'n_{1}$,
$T_{1}$	$=c'n_{1}$,
$n_{1}n'_{1}A'$	$=q'_{1}q''_{1}-q_{1}q''_{1}$,
$2n_{1}n'_{1}B'$	$=p_{1}q'''_{1}+p'''_{1}q_{1}-p'_{1}q''_{1}-p''_{1}q'_{1}$,
$n_{1}n'_{1}C'$	$=p'_{1}p''_{1}-p_{1}p'''_{1}$

$n_{1}$ et $n'_{1}$ étant les racines de ${\frac {d}{D'}}$ et ${\frac {d'}{D'}},$ et de mêmes signes que $n,$ $n'.$ Soit donc ${\sqrt {\frac {D}{D'}}}=k$ pris positivement, on aura $n_{1}=kn,$ $n'_{1}=kn'.$ On déduit alors des six premières équations de $\Omega$ et $\Omega '$

$P_{1}=kP,\quad Q_{1}=kQ,\quad R_{1}=kR,\quad S_{1}=kS,\quad T_{1}=kT,\quad U_{1}=kU\ ;$

donc par le lemme du n^o 234, on pourra déterminer $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ de manière qu’on ait

	$\alpha p+\beta q=p_{1}$,	$\alpha p'+\beta q'=p'_{1}$,	etc.
	$\gamma p+\delta q=q_{1}$,	$\gamma p'+\delta q'=q'_{1}$,	etc.
et	$\alpha \delta -\beta \gamma =k$.

En substituant maintenant les valeurs de $p_{1},$ $p'_{1},$ etc., $q_{1},$ $q'_{1},$ etc. dans les trois dernières équations de $\Omega ',$ on trouvera, à l’aide des équations $n_{1}=kn,$ $n'_{1}=kn',$ et des trois dernières de $\Omega ,$

$A=A'\alpha ^{2}+2B'\alpha \gamma +C'\gamma ^{2},$

$B=A'\alpha \beta +B'(\alpha \delta +\beta \gamma )+C'\gamma \delta ,$

$C=A'\beta ^{2}+2B'\beta \delta +C'\delta ^{2}.$

ainsi la forme $F'$ se change en $F$ par la substitution $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta ,$ qui est propre, puisque $\alpha \delta -\beta \gamma =k,$ et que $k$ est positif.

Si donc $F'$ est aussi composée de $f,$ $f',$ et de la même manière que $F,$ on aura $D'=D,$ et partant $F$ et $F'$ sont proprement équivalentes. Plus généralement, si $G$ est composée de $g,$ $g'$ de la même manière que $F$ l’est de $f,$ $f',$ et que les formes $f,$ $f'$ soient proprement équivalentes aux formes $g,$ $g',$ $F$ et $G$ seront proprement équivalentes.

Comme le cas où les formes à composer entrent directement dans la composition est le plus simple de tous, et que les autres s’y ramènent facilement, nous nous y attacherons principalement, ensorte que lorsque nous parlerons d’une forme composée de deux autres, on devra toujours entendre que chaque forme entre directement dans la composition ; il en sera de même pour les formes transformables en produits d’autres formes.

240. Théorème. Si la forme $\mathrm {F}$ est composée des formes $\mathrm {f} ,$ $\mathrm {f'}$ et $\varphi$ de $\mathrm {F}$ et $\mathrm {f''} ,$ que $\mathrm {F'}$ le soit de $\mathrm {f,\,f''}$ et $\varphi '$ de $\mathrm {F',\,f'} ,$ les formes $\varphi$, $\varphi '$ sont proprement équivalentes.

I. Soient

${\begin{array}{*{7}{c}}f&=&ax^{2}&+&2bxy&+&cy^{2},\\f'&=&a'x'^{2}&+&2b'x'y'&+&c'y'^{2},\\f''&=&a''x''^{2}&+&2b''x''y''&+&c''y''^{2},\\F&=&AX^{2}&+&2BXY&+&CY^{2},\\F'&=&A'X'^{2}&+&2B'X'Y'&+&C'Y'^{2},\\\varphi &=&Gt^{2}&+&2Htu&+&Lu^{2},\\\varphi '&=&G't'^{2}&+&2H't'u'&+&L'u'^{2},\\\end{array}}$

et leurs determinans $d$, $d'$, $d''$, $D$, $D'$, $\Delta$, $\Delta '$, qui ont tous les mêmes signes, et sont entre eux comme des quarrés. Soit $m$ le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, et que $m'$, $m''$, $M$ aient la même signification par rapport aux formes $f'$, $f''$, $F$ ; par la conclusion 4 du n^o 235, $D$ sera le plus grand commun diviseur des nombres $dm'^{2}$ et $d'm^{2}$, et partant $Dm''^{2}$ celui des nombres$dm'^{2}m''^{2}$, $d'^{2}m^{2}m''^{2}$ ; $M=mm'$ ; $\Delta$ le plus grand commun diviseur des nombres $Dm''^{2}$, $d''M^{2}$, ou des nombres $Dm''^{2}$ et $d''m^{2}m'^{2}$ ; donc $\Delta$ est le plus grand commun diviseur des trois nombres $dm'^{2}m''^{2}$, $d'm^{2}m''^{2}$, $d''m^{2}m'^{2}$. Par la même raison $\Delta '$ est le plus grand commun diviseur des trois mêmes nombres ; donc puisque $\Delta$ et $\Delta '$ doivent avoir le même signe, on a $\Delta =\Delta '$, c’est-à-dire que les formes $\varphi$, $\varphi '$ ont le même déterminant.

II. Supposons maintenant que $F$ se change en $ff'$ par la substitution

$X$	$=$	$pxx'+p'xy'+p''yx'+p'''yy'$,
$Y$	$=$	$qxx'+q'xy'+q''x'y+q'''yy'$,

et $\varphi$ en $Ff''$ par la substitution

$t$	$=$	$\pi Xx''+\pi 'Xy''+\pi ''x''Y+\pi '''y''Y$,
$u$	$=$	$\chi Xx''+\chi 'Xy''+\chi ''x''Y+\chi '''y''Y$,

et désignons par $n$, $n'$, $N$, $\nu ''$ les racines positives de ${\frac {d}{D}}$, ${\frac {d'}{D}}$, ${\frac {D}{\Delta }}$, ${\frac {d'}{\Delta }}$. Alors, par le n^o 235, on aura dix-huit équations, dont la moitié appartiendra à la transformation de $F$ en $ff''$, et l’autre moitié à la transformation de $\varphi$ en $Ff''$ : la première sera $pq'-p'q=an'$, et on peut, à l’instar, former toutes les autres, que nous omettons ici. Au reste, les quantités $n$, $n'$, $N$, $\nu ''$ sont rationnelles, mais peuvent être fractionnaires.

III. Si l’on substitue les valeurs de $X$, $Y$ dans celles de $t$, $u$, on a un résultat de la forme

$t=rxx'+r'xx'y''+r''xx''y'+r'''xy'y''+r^{IV}x'x''y+r^{V}x'yy''+r^{VI}x''yy'+r^{VII}yy'y'',$

$u=sxx'+s'xx'y''+s''xx''y'+s'''xy'y''+s^{IV}x'x''y+s^{V}x'yy''+s^{VI}x''yy'+s^{VII}yy'y'',$

Le coefficient $r=p\pi +q\pi ''$, le coefficient $r'=p\pi '+q\pi '''$ ; les quatorze autres peuvent se former de la même manière, nous ne les plaçons pas ici, parceque chacun les trouvera sans peine. Désignons maintenant les racines quarrées positives de ${\frac {d}{\Delta }}$ et ${\frac {d'}{\Delta }}$ par $\nu$, $\nu '$, on aura $\nu =Nn'$, $\nu '=Nn$. Cela posé, on trouvera facilement les vingt-huit équations suivantes :

$rs'-r's=aa'\nu ''$,

$rs''-r''s=aa''\nu '$,

$rs'''-r'''s=ab'\nu ''+ab''\nu '$,

$rs^{IV}-r^{IV}s=a'a''\nu$,

$rs^{V}-r^{V}s=a'b\nu ''+a'b''\nu$,

$rs^{VI}-r^{VI}s=a''b\nu '+a''b'\nu$,

$rs^{VII}-r^{VII}s=bb'\nu ''+bb''\nu '+b'b''\nu +\Delta \nu \nu '\nu ''$,

$r's''-r''s'=ab'''\nu '-ab'\nu ''$,

$r's'''-r'''s'=ac''\nu '$,

$r's^{IV}-r^{IV}s'=a'b''\nu -a'b\nu ''$,

$r's^{V}-r^{V}s'=a'c''\nu$,

$r's^{VI}-r^{VI}s'=bb''\nu '+b'b''\nu -bb'\nu ''-\Delta \nu \nu '\nu ''$,

$r's^{VII}-r^{VII}s'=bc''\nu '+b'c''\nu$,

$r''s'''-r'''s''=ac'\nu ''$,

$r''s^{IV}-r^{IV}s''=a''b'\nu -a''b\nu '$,

$r''s^{V}-r^{V}s''=bb'\nu ''+b'b''\nu -bb''\nu ''-\Delta \nu \nu '\nu ''$,

$r''s^{VI}-r^{VI}s''=a''c'\nu$,

$r''s^{VII}-r^{VII}s''=bc'\nu ''+b''c'\nu$,

$r'''s^{IV}-r^{IV}s'''=b'b''\nu -bb'\nu ''-bb''\nu '+\Delta \nu \nu '\nu ''$,

$r'''s^{V}-r^{V}s'''=b'c''\nu -bc''\nu '$,

$r'''s^{VI}-r^{VI}s'''=b''c'\nu -bc'\nu ''$,

$r'''s^{VII}-r^{VII}s'''=c'c''\nu$,

$r^{IV}s^{V}-r^{V}s^{IV}=a'c\nu ''$,

$r^{IV}s^{VI}-r^{VI}s^{IV}=a''c\nu '$,

$r^{IV}s^{VII}-r^{VII}s^{IV}=b'c\nu ''+b''c\nu '$,

$r^{V}s^{VI}-r^{VI}s^{V}=b''c\nu '-b'c\nu ''$,

$r^{V}s^{VII}-r^{VII}s^{V}=cc''\nu '$,

$r^{VI}s^{VII}-r^{VII}s^{VI}=cc'\nu ''$,

que nous désignerons par $\Theta$, et les neuf suivantes :

$s's''-s's'''=a\nu '\nu ''G$,

$rs'''+r'''s-r's''-r''s'=2a\nu '\nu ''H$,

$r'r''-rr'''=a\nu '\nu ''L$,

$s's^{VI}-ss^{VII}-(s'''s^{IV}-s''s^{V})=2b\nu '\nu ''G$,

$rs^{VII}+sr^{VII}-r's^{VI}-r^{VI}s'+r'''s^{IV}+r^{IV}s'''-r''s^{V}-r^{V}s''=4b\nu '\nu H,$

$r'r^{VI}-rr^{VII-(r'''r^{IV}}-r''r^{V})=2b\nu '\nu ''L$,

$s^{V}s^{VI}-s^{IV}s^{VII}c\nu '\nu ''G$,

$r^{IV}s^{VII}+r^{VII}s^{IV}-r^{V}s^{VI}-r^{VI}s^{V}=2c\nu '\nu ''H$,

$r^{V}r^{VI}-r^{IV}r^{VII}=c\nu '\nu ''L$,

que nous désignerons par $\Psi$^[3].

IV. Il serait trop long de faire ici le calcul pour ces trente-sept équations ; il suffira de le placer pour quelques-unes, afin de donner un type d’après lequel on puisse trouver les autres.

1o.	$rs'-r's$	$=$		$p^{2}(\pi \chi '-\pi '\chi )$
			$+$	$(\pi \chi '''-\pi '''\chi -\pi '\chi ''+\pi ''\chi ')pq$
			$+$	$(\pi ''\chi '''-\pi '''\chi '')q^{2}$
		$=$		$\nu ''(Ap^{2}+2Bpq+Cq^{2})$
		$=$		$\nu ''aa'$………………………… première équation
2o.	$rs''-r''s$	$=$		$(pq'-p'q)(\pi \chi ''-\pi ''\chi )$
		$=$		$an'a''N$
		$=$		$aa''\nu '$………………………… deuxième équation
3o.	$rs^{VII}-r^{VII}s$	$=$		$(\pi \chi '-\pi '\chi )pp'''+(\pi \chi '''-\pi '''\chi )pq'''$
		$=$		$(\pi \chi ''-\pi ''\chi )p'''q+(\pi ''\chi '''-\pi '''\chi '')qq'''$
		$=$		$n''(bb'+{\sqrt {dd'}}+b''N(bn+b'n')$
		$=$		$bb'\nu ''+b'b''\nu +bb''\nu '+\Delta \nu \nu '\nu ''$,
				puisque ${\sqrt {dd'}}=\Delta \nu \nu '$ ($\nu .$ III)
				...... septième équation de Θ.

Les autres se trouveront de la même manière.

V. Des équations Θ, il suit, comme on va le voir, que les vingt-huit nombres $rs'-r's$, $rs''-r''s$, etc. n’ont aucun diviseur commun. Nous observerons d’abord qu’avec les nombres $a$, $2b$, $c$ ; $a'$, $2b'$, $c'$ ; $a''$, $2b''$, $c''$ ; $\nu$, $\nu '$, $\nu ''$ on peut former vingt-sept produits de trois facteurs, tels que l’un de ces facteurs étant $\nu$, le second sera un des nombres $a'$, $2b'$, $c'$, et le troisième un des nombres $a''$, $2b''$, $c''$ ; ou bien, le premier étant $\nu ''$, le second sera l’un des nombres $a$, $2b$, $c$, et le troisième un des nombres $a'$, $2b'$, $c'$ ; ou enfin le premier étant $\nu ''$, le second sera l’un des nombres $a$, $2b$, $c$, et le troisième un des nombres $a'$, $2b'$, $c'$. Or on s’assurera aisément, d’après les équations Θ, que chacun de ces produits est égal à l’un des nombres $rs'-r's$, etc., ou à la somme de plusieurs, ou à leur différence. Si donc ces derniers nombres avaient un commun diviseur, les vingt-sept produits en auraient un. Mais il est facile de prouver, à l’aide du n^o 40, par une méthode souvent employée dans ce qui précède, que ce diviseur devrait aussi diviser les nombres $\nu m'm''$, $\nu 'mm''$, $\nu ''mm'$, et partant leurs quarrés, qui sont ${\frac {dm'^{2}m''^{2}}{\Delta }}$, ${\frac {d'm^{2}m''^{2}}{\Delta }}$, ${\frac {d''m^{2}m'^{2}}{\Delta }}$. Mais (I) $\Delta$ est le plus grand commun diviseur des trois numérateurs ; donc les fractions sont premières entre elles, et n’ont parconséquent pas de diviseur commun.

VI. Tout ce que nous avons dit jusqu’à présent regarde la transformation de $\varphi$ en $ff'f''$ et est tiré de celle de la forme $F$. en $ff'$, et de $\varphi$ en $Ff''$. Mais on trouvera absolument de la même manière, par les transformations de $F'$ en $ff''$ et de $\varphi '$ en $F'f'$, la transformation de $\varphi '$ en $ff'f''$ :

$t'=\rho xx'x''+\rho 'xx'y''+{\text{etc.}}\quad u'=\sigma xx'x''+\sigma 'xx'y''+{\text{etc.}}$

On en tirera, comme plus haut, vingt-huit équations que nous désignerons par Θ’, et neuf que nous désignerons par Ψ’. Or sans faire le calcul, il est aisé de voir que les équations Θ’ auront les mêmes seconds membres que les équations Θ, et que les équations Ψ’ ne différeront des équations Ψ que par l’accent de $G$, $H$, $L$. Donc, puisque tous les nombres $rs'-r's$, etc., n’ont point de commun diviseur, on pourra, par le lemme du n^o 234, trouver quatre nombres entiers $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ tels que l’on ait

$\alpha \rho +\beta \sigma =r,\quad \alpha \rho '+\beta \sigma '=r',\quad \alpha \rho ''+\beta \sigma ''=r'',\quad {\text{etc.}}$

$\gamma \rho +\delta \sigma =s,\quad \gamma \rho '+\delta \sigma '=s',\quad \gamma \rho ''+\delta \sigma ''=s'',\quad {\text{etc.}}\quad {\text{et}}\quad \alpha \delta -\beta \gamma =1$

VII. De là, en substituant les valeurs de $aG$, $aH$, $aL$ tirées des trois premières équations Ψ, et les valeurs de $aG'$, $aH'$, $aL'$ tirées des trois premières équations Ψ’, on s’assure aisément que l’on a

$a\left(G\alpha ^{2}+2H\alpha \gamma +L\gamma ^{2}\right)$	$=aG'$,
$a\left(G\alpha \beta +H(\alpha \delta +\beta \gamma )+L\gamma \delta \right)$	$=aH'$,
$a\left(G\beta ^{2}+2H\beta \delta +L\delta ^{2}\right)$	$=aL'$ ;

$\alpha \rho +\beta \sigma =r,\quad \alpha \rho '+\beta \sigma '=r',\quad \alpha \rho ''+\beta \sigma ''=r'',\quad {\text{etc.}}$d’où il suit, si l’on n’a pas $a=0$, que la forme $\varphi$ se change en $\varphi '$ par la substitution propre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$.

Mais en prenant, au lieu des trois premières équations de Ψ et Ψ', les trois suivantes ou les trois dernières, on obtiendra trois équations qui ne différeront des précédentes que parcequ’il y aura $2b$ ou $c$ à la place de $a$, et comme on ne peut avoir à-la-fois $a$, $b$, $c=0$, la forme $\varphi$ se changera nécessairement en $\varphi '$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$.

241. Une forme telle que $\varphi$ ou $\varphi '$, qui naît de la composition avec une troisième, d’une forme composée de deux autres, sera dite composée de ces trois formes, et par le n^o précédent, on voit qu’il n’importe pas dans quel ordre se fait la composition. On voit que de cette manière on composera une forme d’autant d’autres formes qu’on voudra, et l’on démontrerait facilement que l’ordre dans lequel ces formes sont composées est indifférent, c’est-à-dire, que les formes composées des mêmes formes sont toujours proprement équivalentes. Or il est évident que si les formes $f$, $f'$, $f''$, etc. sont proprement équivalentes aux formes $g$, $g'$, $g''$, etc., la forme composée des premières est proprement équivalente à la forme composée des dernières.

242. Les propositions précédentes renferment la composition des formes dans sa plus grande généralité ; passons maintenant à des applications plus particulières, par lesquelles nous n’avons pas voulu interrompre l’ordre du sujet. Nous commencerons par reprendre le problème du n^o 236, que nous limiterons par les conditions suivantes : 1^o. que les formes à composer aient le même déterminant, ou qu’on ait $d=d'$ ; 2^o. que $m$ et $m'$ soient premiers entre eux ; 3^o. que la forme cherchée soit composée directement des formes $f$, $f'$. Il suit de là que $m^{2}$ et $m'^{2}$ seront aussi premiers entre eux ; donc on aura $D=d=d'$, puisque $D$ doit être le plus grand commun diviseur des nombres $dm'^{2}$ et $d'm^{2}$ ; donc $n=n'=1$. Comme les quatre nombres $K$, $K'$, $K''$, $K'''$ peuvent être pris à volonté, supposons-les $=-1$, $0$, $0$, $0$, ce qui sera toujours permis, à moins qu’on n’ait à-la-fois $a=a'=b+b'=0$, cas dont nous ne nous occuperons parconséquent pas ici, mais qui ne peut avoir lieu que pour les formes de déterminant positif quarré. Alors $\mu$ sera le plus grand diviseur commun aux nombres $a$, $a'$, $b+b'$, et les nombres $\pi '$, $\pi ''$, $\pi '''$ doivent être pris de manière qu’on ait $\pi 'a+\pi ''a'+\pi ''(b+b')=\mu$ ; quant à $\pi$, il reste entièrement indéterminé. On tire de là, en substituant pour $p$, $q$, $p'$, $q'$, etc. leurs valeurs,

$A$	$={\frac {aa'}{\mu ^{2}}}$
$B$	$={\frac {1}{\mu }}\left(\pi aa'+\pi 'ab'+\pi ''a'b+\pi '''(bb'+D)\right)$
$C$	$={\frac {B^{2}-D}{A}}$[4].

Ainsi dans cette solution la valeur de $A$ ne dépend pas des nombres $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, $\pi '''$, qui peuvent être déterminés d’un nombre infini de manières ; à l’égard de $B$, il aura des valeurs différentes quand on en donnera d’autres à ces mêmes nombres, et il sera utile de chercher la liaison de ces valeurs de $B$.

1^o. De quelque manière qu’on détermine$\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, $\pi '''$, les valeurs de $B$ qui en résultent sont congrues suivant le module ${\displaystyle }$. Supposons en effet qu’en faisant $\pi =\varpi$, $\pi '=\varpi '$, $\pi ''=\varpi ''$, $\pi '''=\varpi '''$, on ait ${\displaystyle }$, et qu’en faisant $\pi =\varpi +\delta$, $\pi '=\varpi '+\delta '$, $\pi ''=\varpi ''+\delta ''$, $\pi '''=\varpi '''+\delta '''$ on ait $B=\beta +\Delta$, il en résultera les deux équations de condition.

$a\delta '+a'\delta +(b+b')\delta '''=0\quad aa'\delta +ab'\delta '+ab'\delta ''+(bb'+D)\delta '''=\mu \Delta \ ;$

multipliant le premier membre de la seconde équation par $a\varpi '+a'\varpi ''+(b+b')\varpi '''$, et le second par $\mu$, et retranchant du premier produit la quantité

$(ab'\varpi '+a'b\varpi ''+(bb'+D)\varpi ''')(a\delta '+a'\delta ''+(b+b')\delta '''),$

qui est évidemment $=0$, en vertu de la première équation, on trouvera, réduction faite,

$\mu ^{2}\Delta =aa'\left\{\mu \delta +((b'-b)\varpi ''+c'\varpi '')\delta '+((b'-b)\varpi '+c'\varpi ''')\delta ''-(c'\varpi '+c\varpi '')\delta '''\right\},$

et partant, $\mu ^{2}\Delta$ est divisible par $aa'$, ou $\Delta$ par ${\frac {aa'}{\mu ^{2}}}=A$.

2^o. Si l’on rend $B=\beta$ en faisant $\pi =\varpi ,$ $\pi '=\varpi ',$ $\pi ''=\varpi '',$ $\pi '''=\varpi ''',$ on peut trouver pour ces nombres d’autres valeurs qui rendent $B$ égal à un nombre quelconque donné congru à $\beta ,$ suivant le module $A,$ c’est-à-dire, telles qu’on ait $B=\beta +kA.$ Observons d’abord que les nombres $\mu ,$ $c,$ $c',$ $b-b'$ ne peuvent avoir de diviseur commun, car s’ils en avaient un, il diviserait les six nombres $a,$ $a',$ $b+b',$ $c,$ $c',$ $b-b',$ et partant, les six nombres $a,$ $2b,$ $c,$ $a',$ $2b',$ $c',$ et parconséquent $m$ et $m'$ qui sont premiers entre eux par hypothèse. Ainsi on peut assigner quatre nombres entiers $h,$ $h',$ $h'',$ $h''',$ tels qu’on ait $h\mu +h'c+h''c'+h'''(b-b')=1\,:$ cela fait, si l’on prend $kh=\delta ,$ $k\left\{h''(b+b')-h'''a'\right\}=\mu \delta ',$ $k\left\{h'(b+b')-h'''a\right\}=\mu \delta '',$ $-k\left\{h'a'-h''a\right\}=\mu \delta '''\,;$ il est clair que $\delta ,$ $\delta ',$ $\delta '',$ $\delta '''$ sont des nombres entiers, et l’on s’assurera facilement qu’on a

$a\delta '+a'\delta ''+(b+b')\delta '''=0,$

$aa'\delta +ab'\delta '+a'b\delta ''+(bb'+D)\delta '''=aa'{\frac {k}{\mu }}(\mu h+ch'+c'h''+(b-b')h''')=\mu kA.$

La première équation fait voir que $\varpi +\delta$, $\varpi '+\delta '$, $\varpi ''+\delta ''$, $\varpi '''+\delta '''$,

sont des valeurs de $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, $\pi '''$, et la seconde, que ces valeurs rendent $B=\beta +kA$.

Il suit de là que $B$ peut toujours être déterminé de manière à tomber entre $0$ et $A-1$, si $A$ est positif, ou entre $0$ et $-A-1$, si $A$ est négatif.

243. Des équations

$\pi 'a+\pi ''a'+\pi '''(b+b')=\mu \quad B={\frac {1}{\mu }}\left[\pi aa'+\pi 'ab+\pi ''a'b+\pi '''(bb'+D)\right],$

on tire

$B=b+{\frac {a}{\mu }}(\pi a'+\pi '(b'-b)-\pi ''c)=b'+{\frac {a'}{\mu }}(\pi a+\pi ''(b'-b)-\pi '''c')\,;$

donc $B\equiv b{\pmod {\frac {a}{\mu }}}$, et $B\equiv b'{\pmod {\frac {a'}{\mu }}}$. Toutes les fois que ${\frac {a}{\mu }}$ et ${\frac {a'}{\mu }}$ seront premiers entre eux, il n’y aura entre $0$ et $A-1$ (ou entre $0$ et $-A-1$, si$A<0$) qu’un seul nombre qui soit congru à $b$, suivant le module ${\frac {a}{\mu }}$, et à $b'$, suivant ${\frac {a'}{\mu }}$. Si on le fait $=B$, et ${\frac {B^{2}-D}{A}}=C$, la forme $(A,B,C)$ sera composée des formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire, pour la composition, de considérer les nombres $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, $\pi '''$. Par exemple, si l’on cherche une forme composée des deux formes $(10,3,11)$, $(15,2,7)$, $a$, $a'$, $b+b'$ seront respectivement $=10$, $15$, $5$ et $\mu =5$ ; donc $A=6$, $B\equiv 3{\pmod {2}}$ et $\equiv 2{\pmod {3}}$, d’où $B=5$ ; et la forme $(6,5,21)$ sera celle qu’on cherchait. Au reste, la condition que ${\frac {a}{\mu }}$ et ${\frac {a'}{\mu }}$ soient premiers entre eux, revient à ce qu’ils n’aient pas d’autre diviseur commun que le plus grand commun diviseur des trois nombres $a$, $a'$, $b+b'$, ou encore que le plus grand diviseur commun des nombres $a$, $a'$, divise $b+b'$.

On doit remarquer particulièrement les cas suivans :

1^o. Étant proposées deux formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ de même déterminant $D$, telles que le plus grand diviseur commun des nombres $a$, $2b$, $c$ soit premier avec celui des nombres $a'$, $2b'$, $c'$, et que a soit premier avec $a'$ ; on trouvera une forme composée de ces deux-là en faisant $A=aa'$, $B\equiv b{\pmod {a}}$ et $\equiv b'{\pmod {a'}}$, $C={\frac {B^{2}-D}{A}}$. Ce cas aura toujours lieu quand l’une des formes à composer est une forme principale, c’est-à-dire qu’on a $a=1$, $b=0$, $c=-D$. On aura alors $A=a'$, $B$ pourra être pris $=b'$, d’où l’on tirera $C=c'$ ; donc une forme quelconque est toujours composée d’elle-même et de la forme principale de même déterminant.

2^o. Si deux formes opposées proprement primitives doivent être composées, par exemple, $(a,b,c)$ et $(a,-b,c)$, on aura d’où l’on voit facilement que la forme principale $(1,0,-D)$ est composée de ces deux formes.

3^o. Étant données tant de formes qu’on voudra $(a,b,c),$ $(a',b',c'),$ $(a'',b'',c''),$ etc., proprement primitives et de même déterminant $D,$ et dont les premiers termes $a,$ $a',$ $a'',$ etc. soient des nombres premiers entre eux, on trouvera une forme $(A,B,C)$ composée de celles-là, en prenant $A$ égal au produit des nombres $a,$ $a',$ $a'',$ etc., $B$ congru aux nombres $b,$ $b',$ $b'',$ etc., suivant les modules $a,$ $a',$ $a'',$ etc. respectivement, et $C={\frac {B^{2}-D}{A}}.$ En effet, on voit facilement que $\left(aa',B,{\frac {B^{2}-D}{aa'}}\right)$ est composée des formes $(a,b,c),$ $(a',b',c'),$ que $\left(aa'a'',B,{\frac {B^{2}-D}{aa'a''}}\right)$ est composée de cette dernière et de $(a'',b'',c''),$ etc.

4^o. Réciproquement, étant donnée une forme proprement primitive $(A,B,C)$ de déterminant $D,$ si l’on décompose le nombre $A$ en facteurs premiers entre eux $a,$ $a',$ $a'',$ etc., et que l’on prenne les nombres $b,$ $b',$ $b'',$ etc. égaux à $B,$ ou du moins congrus à $B,$ suivant les modules $a,$ $a',$ $a'',$ etc., $c={\frac {b^{2}-D}{a}},$ $c'={\frac {b'^{2}-D}{a'}},$ $c''={\frac {b''^{2}-D}{a''}},$ etc., la forme $(A,B,C)$ sera composée des formes $(a,b,c),$ $(a',b',c'),$ $(a'',b'',c''),$ etc., ou sera décomposable en ces différentes formes. On prouve sans peine que la même proposition a lieu également quand même la forme $(A,B,C)$ serait improprement primitive ou dérivée. De cette manière on pourra décomposer toute forme en d’autres de même déterminant, dont les premiers termes sont tous des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers. Cette résolution est souvent commode pour composer plusieurs formes en une.

Soient, par exemple, à composer les trois formes $(3,1,134),$ $(10,3,41),$ $(15,2,27)\,;$ on décomposera la seconde en les deux $(2,1,201),$ $(5,-2,81)\,;$ la troisième en $(3,-1,134),$ $(5,2,81)\,;$ et il est clair que la forme composée des cinq formes $(3,1,134),$ $(2,1,201),$ $(5,-2,81),$ $(3,-1,134),$ $(5,2,81),$ en quelque ordre que ce soit, sera composée des trois formes données. Mais la composition de la première et de la quatrième donne (1^o.) la forme principale ; la composition de la première et de la cinquième la donne aussi ; donc (2^o.) la forme composée définitive est $(2,1,201).$

5^o. Il nous semble qu’attendu l’utilité que présente ce procédé, il n’est pas inutile de lui donner ici plus de développement. L’observation précédente prouve que pour composer tant de formes proprement primitives qu’on voudra, on peut réduire la difficulté à n’avoir à composer que des formes dont les premiers termes soient des puissances de nombres premiers. Il convient de considérer surtout le cas où l’on doit composer deux formes proprement primitives $(a,b,c)$, $(a',b',c')$, dans lesquelles $a$ et $a'$ sont des puissances d’un même nombre premier. Soit donc $a=h{\alpha }$, $a'=h{\alpha '}$, $h$ étant un nombre premier, et soit $\alpha >\alpha '$, $h{\alpha '}$ sera le plus grand diviseur commun des nombres $a$, $a'$, et s’il divise $b+b'$, on rentrera dans le cas considéré au commencement de ce numéro, et $(A,B,C)$ sera composée des formes proposées, pourvu que l’on prenne $A=h^{\alpha -\alpha '}$, $B\equiv b{\pmod {h}}^{\alpha -\alpha '}$, et $\equiv b'{\pmod {1}}$, condition qui peut évidemment s’omettre ; enfin $C={\frac {B^{2}-D}{A}}$. Mais si $h{\alpha '}$ ne divise pas $b+b'$, le plus grand diviseur commun des trois nombres $a$, $a'$, $b+b'$ divisera $h{\alpha '}$ et sera une puissance de $h<h{\alpha '}$ ; supposons-le $=h^{\lambda }$, il faudra déterminer les nombres $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$ de manière qu’on ait

$\pi 'h^{\alpha }+\pi ''h^{\alpha '}+\pi '''(b+b')=h^{\lambda },$

$\pi$ étant pris à volonté ; et la forme $(A,B,C)$ sera composée des formes données, si l’on prend

$A=h^{\alpha +\alpha '-2\lambda },\quad B=b+h^{\alpha -\lambda }\{\pi h^{\alpha '}-\pi '(b-b')-\pi ''c\},\quad C={\frac {B^{2}-D}{A}}.$

Mais on voit facilement que dans ce cas $\pi '$ peut être pris aussi à volonté ; donc en faisant $\pi =\pi '=0$, on a $B=b-\pi '''ch^{\alpha -\lambda }$, ou plus généralement $B=kA+b-\pi '''ch^{\alpha -\lambda }$ (n^o précédent). Cette formule très-simple ne renferme que $\pi '''$, qui est la valeur de l’expression ${\frac {h^{\lambda }}{b+b'}}{\pmod {h^{\alpha '}}}$.

Soit, par exemple, à trouver une forme composée des deux formes $(16,3,19)$ et $(8,1,37)$, on a $h=2$, $\alpha =4$, $\alpha '=3$, $\lambda =2$. Donc $A=8$, $\pi '''$ est la valeur de l’expression ${\frac {4}{4}}{\pmod {8}}$, qui est $r$, d’où $B=8k-37$, ou en faisant $k=9$, $B=-1$ et $C=37$ ; donc $(8,-1,37)$ est la forme cherchée.

Étant donc proposées tant de formes qu’on voudra, dont les premiers termes sont des puissances de nombres premiers, il faut examiner si quelques-uns d’entre eux sont des puissances de mêmes nombres premiers, et comparer entre elles, par la règle que nous venons de donner, les formes auxquelles ils appartiennent. De cette manière on obtiendra des formes dont les premiers termes seront encore des puissances de nombres premiers, mais de nombres premiers differens ; ainsi par l’observation (3) on pourra trouver une forme composée de ces dernières.

Par exemple, étant proposées les formes $(3,1,47)$, $(4,0,35)$, $(5,0,28)$, $(16,2,9)$, $(9,7,21)$, $(16,6,11)$ ; de la première et de la cinquième on tire la forme $(27,7,7)$ ; de la seconde et de la quatrième, la forme $(16,-6,11)$ ; de cette dernière et de la sixième, la forme $(1,0,140)$, qui peut être négligée. Il reste les deux formes $(5,0,28)$ et $(27,7,7)$, qui produisent la forme $(135,-20,4)$, pour laquelle on peut prendre $(4,0,35)$, qui lui est proprement équivalente. Ainsi $(4,0,35)$ est la résultante de la composition des six formes proposées.

Au reste, on peut tirer de là plusieurs artifices utiles dans la pratique ; mais nous sommes forcés de ne pas nous arrêter plus long-temps sur ce sujet, pour passer à des choses plus difficiles,

244. Si un nombre $a$ peut être représenté par une certaine forme $f,$ et un nombre $a'$ par la forme $f',$ que d’ailleurs la forme $F$ soit transformable en $ff'\,;$ on voit sans peine que le produit $aa'$ peut être représenté par la forme $F.$ Il suit de là que lorsque les déterminans de ces formes sont négatifs, la forme $F$ sera positive, si $f$ et $f'$ sont ou toutes deux positives, ou toutes deux négatives, et négative, si l’une est positive et l’autre négative. Arrêtons-nous particulièrement sur le cas que nous avons considéré au n^o précédent, où $F$ est composée de $F,$ $f',$ et où $F,$ $f,$ $f'$ ont le même déterminant $D\,;$ supposons encore que les représentations des nombres $a$, $a'$ par les formes $f,$ $f'$ se fassent par des valeurs premières entre elles des indéterminées, que la première appartienne à la valeur $b$ de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {a}},$ et la seconde à la valeur $b'$ de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {a}}',$ et que l’on prenne $c={\frac {b^{2}-D}{a}},$ $c'={\frac {b'^{2}-D}{a'}}\,;$ alors (n^o 168), les formes $(a,b,c),$ $(a',b',c')$ seront proprement équivalentes aux formes $f,$ $f',$ donc $F$ sera composée de ces deux formes ; mais la forme $(A,B,C)$ sera composée des deux mêmes formes si, $\mu$ étant le plus grand commun diviseur des nombres $a,$ $a',$ $b+b',$ on fait $A={\frac {aa'}{\mu ^{2}}},$ $B\equiv b{\pmod {\frac {a}{\mu }}},$ $\equiv b'{\pmod {\frac {a'}{\mu }}}$ et $C={\frac {B^{2}-D}{A}}\,;$ donc cette forme sera proprement équivalente à la forme $F.$ Or le nombre $aa'$ se représente par la forme $Ax^{2}+2bxy+Cy^{2},$ en faisant $x=\mu ,$ $y=0,$ dont le plus grand diviseur commun est $\mu \,;$ donc $aa'$ pourra être représenté par la forme $F,$ de manière que les valeurs des indéterminées aient un diviseur commun $\mu$ (n^o 166). Donc toutes les fois que $\mu =1,$ $aa'$ pourra être représenté par $F$, au moyen de valeurs premières entre elles des indéterminées, et cette représentation appartiendra à la valeur $B$ de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {aa'}},$ qui est congrue à $b,$ $b',$ suivant les modules $a,$ $a'.$ La condition $\mu =1$ a lieu quand $a$ est premier avec $a',$ ou plus généralement, quand le plus grand commun diviseur de $a,$ $a'$ est premier avec $b+b'.$

1. Nous ne nous sommes servis de ces termes de propre et d’impropre qu’à défaut d’autres plus convenables, car ils n’ont aucun rapport avec ceux que nous avons employés depuis le n^o 157. Au reste, il n’y a pas à craindre qu’on puisse les confondre.
2. On peut présenter cette recherche de la manière suivante. On tire des dernières équations que vient de poser l’auteur, en supposant connues $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$, et par l’élimination entre les valeurs de $Q$, $R$, $S$, $T$,

   $Pq''$	$=Qq'-Sq$,
   $Pp''$	$=Qp'-Sp$,
   $Pq'''$	$=Rq'-Tq$,
   $Pp'''$	$=Rp'-Tp$ ;

   
   et comme on a l’équation $pq'-p'q=P$, il vient en substituant dans la valeur de $U$ celles de $q''$, $q'''$, $p''$, $p'''$ l’équation de condition,

   $QT-RS=PU.$

   
   Substituant enfin les valeurs de ces mêmes quantités dans les équations (3), (4), (6), (7), (8), (9), on obtient six équations que je désignerai par (α), (β), (γ), (δ), (ε), (ξ)

   De (α) et (γ) on tire en éliminant $S$, et faisant ${\sqrt {\frac {d}{d'}}}=\mu$,

   $Q={\frac {a'P}{a}},\quad T={\frac {c'P}{a}}.$

   Les équations (β), (δ) donnent $S={\frac {P}{a}}(\mu b'-b)$, $R={\frac {P}{a}}(\mu b'-b)$, et l’on a facilement $R+S$, $R-S$ : les équations (ε), (ξ) s’anéantissent d’elles-mêmes, et les équations (1), (2) et (3) donnent sans peine, comme dans le n^o 157, $P^{2}D=a^{2}d'\,;$ substituant dans les équations qui donnent $Q$, $R$, $S$, $T$ et dans l’équation de condition, et faisant ${\sqrt {\frac {d'}{D}}}=n'$, ${\sqrt {\frac {d}{D}}}=n$ ; il vient

   $P$	$=an'$,	$Q$	$=a'n$,	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\}$……(Γ).
   $R-S$	$=2bn'$,	$R+S$	$=2b'n$,
   $T$	$=c'n$,	$U$	$=cn',$

   
   Comme $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$ sont entiers, on voit que 1^o $n$ et $n'$ sont rationnels, et partant, ${\frac {d}{D}}$, ${\frac {d'}{D}}$ des nombres carrés ; 2^o. si $n$ est une fraction, son dénominateur doit être un diviseur de $m'$ plus grand commun diviseur entre $a'$, $2b'$, $c'$, et que parconséquent $m'n$ est entier ; il en est de même de $mn'$. Or ces équations $d=Dn^{2}$, $d'=Dn'^{2}$ donnent $dm'^{2}=D(m'n)^{2}$, $d'm^{2}=D(mn')^{2}$ ; donc $D$ ne peut pas être plus grand que le plus grand commun diviseur entre $dm'^{2}$ et $d'm^{2}$.

   Il est aisé de démontrer que le plus grand commun diviseur $k$ des nombres $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$ doit diviser $mn'$ et $m'n$. En effet, on a

   $mn'=P:{\frac {a}{m}}=(R-S):{\frac {2b}{m}}=U:{\frac {c}{m}}$

   
   parconséquent ${\frac {P}{k}}:\left({\frac {R-S}{k}}\right)={\frac {a}{m}}:{\frac {2b}{m}}$ et ${\frac {P}{k}}:{\frac {U}{k}}={\frac {a}{m}}:{\frac {C}{m}}\ ;$

   
   mais deux des trois nombres ${\frac {a}{m}}$, ${\frac {2b}{m}}$, ${\frac {c}{m}}$ sont nécessairement premiers entre eux ; donc ${\frac {P}{k}}$ est divisible par ${\frac {a}{m}}$, ainsi l’on a ${\frac {Pm}{ak}}={\frac {mn'}{k}}$ égal à un nombre entier. On démontre de même pour $m'n$ et la réciproque, comme l’auteur (4^e conclusion ).

   Aux six équations (Γ) doivent être ajoutées les équations (1), (2), (5) qu’on peut mettre sous une forme plus simple en éliminant deux des nombres $A$, $B$, $C$, alternativement ; on trouve

   $AP^{2}$	$=aa'q'^{2}-2ab'qq'+ac'q^{2}$
   $BP^{2}$	$=-aa'p'q'+ab'(pq'+p'q)-ac'pq$
   $CP^{2}$	$=aa'p'^{2}-2ab'pp'+ac'p^{2}$ ;

   
   donc $AP^{2}$, $2BP^{2}$, $CP^{2}$ sont divisibles par $mm'$.

   On obtiendra les 15 autres équations de l’auteur, en substituant les valeurs de $p'$, $q'\ :$ 1^o. en fonction de $p$, $p''$ et de $q$, $q''$ ; 2^o. en fonction de $p$, $p'''$ et de $q$, $q'''$, ainsi de suite. On suivra quant au reste la marche de l’auteur (Note du Traducteur).

3. On pourrait trouver dix-huit autres équations dans lesquelles $a'$, $2b'$, $c'$ ; $a''$, $2b''$, $c''$ remplaceraient $a$, $2b$, $c$ ; mais nous les omettons parcequ’elles nous sont inutiles.
4. Si l’on avait $a=a'=1$, $b=b'$, $c=c'$, on trouverait $p=1$, $q=0,$ $q'=1,$ $q''=1,$ $q=2b,$ et $(\pi '+\pi '')a+\pi '''b=1\,;$ or on a
   $p=\pi '+\pi ''+2\pi '''b=1$, $p'=\pi '''c-\pi$, $p''=\pi '''c-\pi$, $p'''=-(\pi '+\pi '')-2\pi b$ ;
   et l’on satisfera à l’équation de condition en prenant $\pi '''=1$ et $\pi '+\pi ''=1-2b\pi =c$, ce qui donne
   $p'=0,\quad p''=0\quad et\quad p'''=-c.$

   
   On a donc $X=xx'-cyy'$…$Y=xy'+yx'+2byy'$ ; d’ailleurs $A=1$… $B=\pi a''+(\pi '+\pi '')ab+\pi '''(b^{2}+D)=b$, $C=c$. Résultat de Lagrange. (Supplément à l’Algèbre d’Euler, p. 642). (Note du Traducteur.)