Recherches arithmétiques/Section cinquième (suite 3)

Carl Friedrich Gauss

Recherches arithmétiques

Traduction par A.-C.-M. Poullet-Delisle.
Courcier, 1807 (p. 223-267).

223. Nous avons déjà fait voir plus haut, (n^os 175, 195, 211), qu’étant donné un nombre entier quelconque $D$, on pouvait assigner une suite de formes $F,$ $F',$ $F'',$ etc. de déterminant $D,$ telles que toute forme de déterminant $D$ soit proprement équivalente à l’une d’elles, et à une seule. Ainsi toutes les formes de déterminant donné $D,$ dont le nombre est infini, peuvent se classer d’après ces formes, en composant la première classe de toutes les formes équivalentes à $F,$ la seconde, de toutes les formes équivalentes à $F',$ etc.

On pourra choisir dans chaque classe de formes de déterminant $D,$ une d’entre elles que l’on considérera comme forme représentante de toute la classe. Il est indifférent en soi quelle forme on prend dans chaque classe, cependant on doit toujours préférer celle qui est plus simple que toutes les autres. Or la simplicité d’une forme $(a,b,c)$ dépend évidemment de la grandeur des nombres $a,$ $b,$ $c\,;$ et on dira à juste titre que la forme $(a,b,c)$ est plus simple que la forme $(a',b',c'),$ si l’on a $a<a',$ $b<b',$ $c<c'$. Mais il reste encore à savoir laquelle, par exemple, nous choisirions des deux formes $(17,0,-45),$ $(5,0,-153).$ Le plus souvent il sera avantageux d’observer la règle suivante :

I. Quand $D$ est négatif, on prendra les formes réduites pour formes représentantes dans chaque classe ; mais s’il y a deux formes réduites dans la même classe, elles seront opposées (n^o 172), et l’on prendra celle où le terme du milieu sera positif.

II. Quand $D$ sera positif non quarré, on formera la période d’une forme réduite contenue dans la classe proposée ; cette période renfermera deux formes ambiguës, ou n’en renfermera aucune (n^o 187).

1^o. Dans le premier cas, soient $(A,B,C),$ $(A',B',C')$ ces formes ambiguës ; $M,$ $M'$ les résidus minima des nombres $B,$ $B',$ suivant les modules $A,$ $A',$ résidus qu’on prendra positivement s’ils ne sont $=0\,;$ enfin $N={\frac {D-M^{2}}{A}},$ $N'={\frac {D-M'^{2}}{A'}}.$ Cela posé, on choisira celle des deux formes $(A,M,-N),$ $(A',M',-N'),$ qui paraîtra la plus simple pour forme représentante. Dans ce choix, on préférera la forme dont le terme du milieu $=0$ ; mais quand cela arrive dans les deux formes, ou que cela n’arrive dans aucune, on doit choisir celle dans laquelle le premier terme est le plus petit, et quand il y a égalité au signe près, celle où le premier terme est positif.

2^o. Dans le second cas, on choisira dans toute la période la forme dont le premier terme est le plus petit, abstraction faite du signe, de manière cependant que si dans la même période deux formes avaient le premier terme au signe près, on préférerait celle où il est positif. Soit $(A,B,C)$ cette forme, on en déduira, comme dans le cas précédent, une autre forme $(A,M,-N)$ (en prenant pour $M$ le résidu minimum absolu de $B$, suivant le module $A$, et en faisant $N={\frac {D-M^{2}}{A}}$, et on la choisira pour représentante.

S’il arrivait que plusieurs formes de la période eussent le même plus petit premier terme, on les traiterait toutes comme il vient d’être prescrit, et parmi les formes qui en résulteraient, on prendrait pour représentante celle dans laquelle le terme du milieu serait le plus petit.

Ainsi, par exemple, pour $D=305,$ on a entr’autres la période

$(17,4,-17)$,	$(-17,13,8)$,	$(8,11,-23),$	$(-23,12,7),$
$(7,16,-17)$,	$(-7,12,23)$,	$(23,11,-8),$	$(-8,13,17),$

dans laquelle on choisit d’abord la forme $(7,16,-7),$ d’où l’on tire ensuite la forme représentante $(7,2,-43).$

III. Quand le déterminant sera un nombre quarré on cherchera une forme réduite $(A,K,0)$ contenue dans la classe proposée ; et si $A<K$ ou $=K$, on la prendra pour la forme représentante ; mais si $A>K$, on prendra à sa place la forme $(A,-2K,K,0)$ dont le premier terme sera négatif, mais $<K$.

Exemple. De cette manière, on distribuera en 16 classes toutes les formes de déterminant $-235$, classes dont les formes représentantes seront

$(1,0,-235)$,	$(2,1,118)$,	$(4,1,59)$	$(4,-1,59),$
$(5,0,47)$,	$(10,5,26)$,	$(13,5,20)$	$(13,-5,20),$

et huit autres qui ne diffèrent des précédentes que par le signe des termes extrêmes : $(-1,0,-235)$, $(-2,1,-118)$, etc.

Toutes les formes de déterminant $79$ se distribuent en six classes dont les représentantes sont

$(1,0,-79)$,	$(-1,0,79)$,	$(3,-1,-26)$,
$(-3,-1,26)$,	$(-3,1,26)$,	$(3,1,-26)$.

224. Par cette classification, on sépare des autres toutes les formes qui sont proprement équivalentes ; ainsi deux formes de la même classe sont proprement équivalentes ; tout nombre qui peut être représenté par l’une d’elles, peut l’être par l’autre ; et si un nombre $M$ peut être représenté par la première en donnant des valeurs premières aux indéterminées, il pourra être représenté par la seconde de la même manière, desorte même que les deux représentations appartiennent à la même valeur de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$. Mais deux formes qui appartiennent à des classes différentes, ne pourront être proprement équivalentes, et l’on ne peut pas conclure de ce qu’un nombre est représentable par l’une d’elles, qu’il le soit par l’autre ; au contraire, nous sommes en droit d’affirmer que si un nombre $M$ peut se représenter par la première, en donnant à $x$, $y$ des valeurs premières entre elles, on ne pourra pas trouver de représentations de ce nombre par l’autre forme, appartenant à la même valeur de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ (n^os 167, 168).

Au contraire, comme il peut arriver que deux formes $F$, $F'$, prises dans deux classes différentes $K$, $K'$, soient improprement équivalentes, auquel cas toute forme de la première classe sera improprement équivalente à toute forme de la deuxième ; chaque forme de $K$ aura son opposée dans $K'$, et les classes $K$, $K'$, seront dites opposées. Ainsi, dans le premier exemple de l’article précédent, la troisième classe des formes de déterminant $-235$ est opposée à la quatrième, et la septième à la huitième ; dans le second exemple, la troisième l’est à la sixième, et la quatrième à la cinquième. Étant donc proposées deux formes prises dans des classes opposées, tout nombre qui pourra être représenté par l’une d’elles, pourra l’être aussi par l’autre. Si pour l’une la représentation a lieu par des valeurs premières, il en sera de même pour l’autre, de manière cependant, que les représentations appartiendront à des valeurs opposées de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$. Au reste, les règles que nous avons données pour le choix des formes représentantes, sont établies de manière que les classes opposées obtiennent des représentantes opposées.

Enfin, il y a aussi des classes qui sont elles-mêmes leurs opposées ; savoir, si une forme et son opposée sont contenues dans la même classe, on voit facilement que toutes les formes de cette classe sont équivalentes entre elles, tant proprement qu’improprement, et qu’elles ont toujours leurs opposées dans la même classe. Toute classe jouira de cette propriété, lorsqu’elle contiendra une forme ambiguë, et réciproquement on trouvera une forme ambiguë dans toute classe qui est elle-même son opposée (n^os 163, 165) ; aussi cette classe s’appellera ambiguë. Ainsi, parmi les classes de déterminant $-235$, on trouve huit ambiguës, dont les représentantes sont :

$(\ \ \ 1,0,235)$,	$(\ \ \ 2,1,\ \ \ 118)$,	$(\ \ \ 5,0,\ \ \ 47)$,	$(\ \ \ 10,5,\ \ \ 26)$,
$(-1,0,235)$,	$(-2,1,-118)$,	$(-5,0,-47)$,	$(-10,5,-26)$,

Parmi les classes de déterminant $79$, il y en a deux : $(1,0,-79)$, $(-1,0,79)$.

Au reste, si l’on détermine les formes représentantes d’après les règles que nous avons données, on trouvera sans peine les classes ambiguës ; pour le déterminant positif non quarré, on trouvera nécessairement des représentantes ambiguës pour des classes qui le sont (n^o 194) ; pour le déterminant négatif, la forme représentante d’une classe ambiguë sera elle-même ambiguë, ou bien ses termes extrêmes seront égaux (n^o 172). Enfin, pour les formes de déterminant positif quarré, il est aisé de juger (n^o 210) si la forme représentante est improprement équivalente à elle-même, et partant, si la classe est ambiguë.

225. Nous avons déjà fait voir plus haut (n^o 175) que dans une forme $(a,b,c)$ de déterminant négatif, les termes extrêmes doivent avoir le même signe, non-seulement entre eux, mais encore, que les termes extrêmes de toute autre forme qui lui est équivalente. Si $a$, $c$ sont positifs, nous appellerons positive la forme $(a,b,c)$, et la classe qui la renferme, et qui ne contiendra que des formes positives, s’appellera classe positive. Au contraire, si $a$, $c$ sont négatifs, $(a,b,c)$ sera une forme négative, et elle sera contenue dans une classe négative. Les nombres négatifs ne peuvent être représentés par une forme positive, ni les nombres positifs par une forme négative. Si $(a,b,c)$ est la représentante d’une certaine classe, la forme $(-a,b,-c)$ sera celle de la classe négative, et il suit de là qu’il y a autant de classes positives que de négatives, et que les dernières seront déterminées, lorsque les premières le seront. Ainsi, dans les recherches sur les formes de déterminant négatif, il suffit le plus souvent de considérer les classes positives, puisque leurs propriétés se rapportent facilement aux classes négatives.

Au reste, cette distinction n’a lieu que pour les formes de déterminant négatif ; les nombres positifs et négatifs peuvent être représentés également par des formes quelconques de déterminant positif, ensorte qu’il n’est pas rare que les deux formes $(a,b,c)$, $(-a,b,-c)$ doivent être rapportées à la même classe.

226. Nous appelons forme primitive une forme quelconque $(a,b,c)$, lorsque les nombres $a$, $b$, $c$ n’ont pas de diviseur commun, autrement elle s’appellera dérivée, de manière que la forme $(a,b,c)$ sera dite dérivée de la forme primitive $\left({\frac {a}{m}},{\frac {b}{m}},{\frac {c}{m}}\right)$, si m est le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $b$, $c$. Il suit de là que toute forme sera primitive, si son déterminant n’est divisible par aucun quarré ($1$ excepté). Or, par le n^o 161, il est clair que s’il y a une forme primitive dans une classe donnée, toutes les formes de cette classe le seront également, et on l’appellera classe primitive. Il est d’ailleurs évident que si une forme F de déterminant $D$ est dérivée d’une forme primitive $f$ de déterminant ${\frac {D}{m^{2}}}$ et que $K$ et $k$ soient respectivement les classes qui renferment les formes $F$, $f$ toutes les formes de $K$ seront dérivées de la classe $k$ ; ainsi la classe $K$ sera dite dérivée de la classe primitive $k$.

Si $(a,b,c)$ est une forme primitive, et que $a$, $c$ ne soient pas tous les deux pairs, on voit facilement que $a$, $2b$, $c$ n’auront pas non plus de diviseur commun. Dans ce cas, la forme $(a,b,c)$ sera dite proprement primitive, ou plus simplement forme propre ; mais si $a,$ $c$ sont pairs, les nombres $a,$ $2b,$ $c$ auront $2$ pour commun et même pour plus grand commun diviseur ; alors la forme $(a,b,c)$ sera improprement primitive, ou plus simplement impropre^[1]. Dans ce cas, $b$ sera nécessairement impair, car autrement la forme $(a,b,c)$ ne serait pas primitive ; ainsi l’on aura $b^{2}\equiv 1{\pmod {4}},$ et partant, puisque $ac$ est divisible par $4,$ $b^{2}-ac\equiv 1{\pmod {4}}\,:$ les formes impropres auront donc des déterminans de la forme $4n+1$ ou $-(4n+3),$ suivant qu’ils seront positifs ou négatifs. Mais, par le n^o 161, il est clair que s’il y a dans une classe une forme proprement primitive, toutes les autres le seront, et que de même, une classe qui renferme une forme improprement primitive, n’en renfermera que de cette espèce. Ainsi nous appellerons cette classe, dans le premier cas, proprement primitive ou propre, et dans le second cas, improprement primitive ou impropre. Par exemple, parmi les classes positives de déterminant $-235,$ il y en a six propres, savoir, celles dont les représentantes sont :

$(1,0,235),(4,1,59),(4,-1,59),(5,0,47),(13,5,20),(13,-5,20),$

et autant parmi les classes négatives ; il y en a deux impropres de chaque espèce. Quant aux classes de déterminant $79$, elles sont toutes propres, puisque $79$ est de la forme $4n+3$.

Si la forme $(a,b,c)$ est dérivée de la forme primitive $\left({\frac {a}{m}},{\frac {b}{m}},{\frac {c}{m}}\right)$, cette dernière peut être propre ou impropre. Dans le premier cas $m$ dans le second $2m$, sera le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, ce qui fait entendre la distinction entre une forme dérivée d’une forme proprement primitive, et une forme dérivée d’une forme improprement primitive, et partant (n^o 161) entre une classe dérivée d’une classe proprement primitive, et une classe dérivée d’une classe improprement primitive.

Par cette distinction nous avons trouvé le principe qui nous servira à distribuer par ordres toutes les classes de formes de déterminant donné.

Nous rangerons dans le même ordre les deux formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$, si l’on a à-la-fois le même plus grand diviseur commun pour $a$, $b$, $c$ ; $a'$, $b'$, $c'$, pour $a$, $2b$, $c$ et $a'$, $2b'$, $c'$ ; mais si l’une ou l’autre de ces conditions n’a pas lieu, les classes se rapporteront à des ordres différens. Il suit de là immédiatement, que les classes proprement primitives composent un ordre, et toutes les classes improprement primitives, un autre. Si $m^{2}$ est le quarré qui divise le déterminant $D$, les classes dérivées des classes proprement primitives de déterminant $D$ composeront un ordre particulier, et les classes dérivées des classes improprement primitives de déterminant ${\frac {D}{m^{2}}}$ en composeront un autre. Si par hasard $D$ n’est divisible par aucun quarré (excepté $1$), il n’y aura pas d’ordres de classes dérivées, et partant il n’y aura qu’un ordre, lorsque $D\equiv 2$ ou $3{\pmod {4}}$, celui des classes proprement primitives, ou deux, lorsque $D\equiv 1{\pmod {4}}$, celui des classes proprement primitives, et celui des classes improprement primitives.

On déduit sans peine la règle suivante par le calcul des combinaisons (n^o 17). En supposant $D=D'.2^{2\mu }.a^{2\alpha }.b^{2\beta }.c^{2\gamma }$, etc., desorte que $D'$ ne renferme aucun facteur quarré, le nombre des ordres sera $(\mu +1)(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)...$ si $D'\equiv 2$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$ ; ou $(\mu +2)(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)...$ si $D'\equiv 1{\pmod {4}}$.

Exemple I^er. Si $D=45=5.3^{2}$, on aura six classes dont les représentantes sont :

$(1,0,-45)$,	$(-1,0,45)$,
$(2,1,-22)$,	$(-2,1,22)$,
$(3,0,-15)$,	$(6,3,-6)$,

et elles peuvent se distribuer en quatre ordres,

1^o. $(1,0,-45)$, $(-1,0,45)$, propres ; 2^o. $(2,1,-22)$, $(-2,1,22)$, impropres ; 3^o. la classe $(3,0,-15)$ dérivée d’une classe propre de déterminant $5$ ; 4^o. la classe $(6,3,-6)$ dérivée d’une classe impropre de déterminant $5$.

Exemple II. Les classes positives de déterminant $-99=-11.3^{2}$ peuvent se distribuer en quatre ordres, en désignant les classes par leurs représentantes.

Le premier contient les classes propres suivantes :

$(1,0,99),(4,1,25),(4,-1,25),(5,1,20),(5,-1,20),(9,0,11)\ ;$

Le deuxième, les classes impropres : $(2,1,50),$ $(10,1,10)\,;$

Le troisième, les classes dérivées de classes propres de déterminant $-11\,:$ $(3,0,33),$ $(9,3,12),$ $(9,-3,12)\,;$

Le quatrième, une classe dérivée d’une impropre de déterminant $-11\,:$ $(6,3,18).$

On distribuera par ordre, de la même manière, les classes négatives de même déterminant.

On voit sans peine que les classes opposées se rapportent au même ordre.

227. Parmi tous les ordres, celui des classes proprement primitives mérite la plus grande attention ; car toutes les classes dérivées tirent leur origine de certaines classes primitives de déterminant moindre, de la considération desquelles suit le plus souvent de soi-même ce qui regarde les premières. Or nous ferons voir plus bas qu’une classe improprement primitive quelconque répond toujours à une ou à trois classes proprement primitives, et l’on sait que les classes négatives répondant toujours à certaines classes positives, on pourra ne pas s’en occuper.

Afin d’examiner plus à fond la nature des classes proprement primitives, nous expliquerons avant tout une certaine différence essentielle, d’après laquelle un ordre entier de classes peut se subdiviser en genres, et comme nous n’avons pas encore parlé de cet important sujet, il faudra prendre la chose dès l’origine.

228. Théorème. Il y a une infinité de nombres non divisibles par un nombre premier donné $\mathrm {p}$ quel qu’il soit, qui peuvent être représentés par une forme proprement primitive $\mathrm {F} .$

Soit $F=ax^{2}+2bxy+cy^{2},$ il est évident que $p$ ne divisera pas à-la-fois les nombres $a,$ $2b,$ $c.$ Or, quand $a$ n’est pas divisible par $p,$ il suffira de donner à $x$ une valeur non-divisible par $p,$ et à $y$ une valeur divisible. Quand $c$ n’est pas divisible par $p,$ on pourra donner à $y$ une valeur non-divisible et à $x$ une valeur divisible ; enfin, quand $a$ et $c$ sont divisibles par $p$, et que partant $2b$ ne l’est pas, on pourra donner à $x$ et à $y$ des valeurs non-divisibles. Dans ces trois cas, il est évident que la valeur de la forme $F$ ne sera pas divisible par $p$.

Le théorème a lieu également pour les formes improprement primitives, pourvu qu’on n’ait pas $p=2$.

Comme plusieurs conditions de cette espèce peuvent exister à-la-fois, de manière qu’un nombre soit divisible par de certains nombres premiers, et qu’il ne soit pas divisible par d’autres, on voit facilement que les nombres $x$, $y$ peuvent être déterminés d’une infinité de manières qui rendent $F$ non-divisible par tant de nombres premiers qu’on voudra (excepté $2$ lorsque la forme est improprement primitive). Ainsi le théorème peut être énoncé plus généralement ainsi qu’il suit :

On peut représenter par une forme primitive quelconque, une infinité de nombres premiers à un nombre donné quelconque (impair, quand la forme est improprement primitive).

229. Theorème. Soit $\mathrm {F}$ une forme primitive de déterminant $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {p}$ un nombre premier qui divise $\mathrm {D} \,;$ alors tous les nombres non-divisibles par $\mathrm {p} ,$ qui peuvent être représentés par la forme $\mathrm {F} ,$ seront tous résidus quadratiques de $\mathrm {p} ,$ ou tous non-résidus.

Soit $F=(a,b,c)\,;$ $m,$ $m'$ deux nombres quelconques non-divisibles par $p,$ et qui peuvent être représentés par la forme $F,$ on aura

$m=ag^{2}+2bgh+ch^{2},\quad m'=ag'^{2}+2bg'h'+ch'^{2},$

et partant

$mm'=(agg'+b(gh'+g'h)+chh')^{2}-D(gh'-hg')^{2}\ ;$

donc $mm'$ sera congru à un quarré, suivant le module $D,$ et parconséquent suivant le module $p,$ c’est-à-dire que $mm'$ est résidu quadratique de $p.$ Il suit de là que $m$ et $m'$ seront tous deux résidus ou non-résidus (n^o 98).

On prouve de la même manière, que si $D$ est divisible par $4,$ les nombres impairs qui peuvent être représentés par $F,$ sont tous $\equiv 1$, ou tous $\equiv 3$ ; en effet, le produit de deux d’entre eux sera résidu de $4$, et partant $\equiv 1{\pmod {4}}$ ; parconséquent ils seront tous les deux $\equiv 1$, ou tous les deux $\equiv 3$.

Enfin, quand $D$ est divisible par $8$, le produit de nombres impairs qui peuvent être représentés par $F$, est résidu de $8$, et partant $\equiv 1{\pmod {8}}$ ; ainsi dans ce cas les nombres impairs qui peuvent être représentés par $F$ sont tous $\equiv 1$, ou tous $\equiv 3$, ou tous $\equiv 5$, ou tous $\equiv 7{\pmod {8}}$.

Par exemple, le nombre $10$, qui est non-résidu de $7$, pouvant être représenté par la forme $(10,5,17)$, tous les nombres non-divisibles par $7$ qui pourront être représentés par cette forme seront non-résidus de $7$. Comme $-5$ peut être représenté par la forme $(-5,1,49)$ et qu’il est $\equiv 1{\pmod {4}}$, tous les nombres impairs qui pourront être représentés par cette forme seront aussi $\equiv 1{\pmod {4}}$.

Au reste, s’il était nécessaire pour notre objet, nous pourrions démontrer facilement que les nombres représentables par la forme $F$ n’ont pas ainsi une relation fixe à l’égard d’un nombre premier qui ne divise pas $D$, et que l’on peut représenter par la forme $F$ des résidus ou non-résidus de ce nombre premier indifféremment. Mais quant aux nombres $4$ et $8$, il y a dans les autres cas quelque chose d’analogue que nous ne pouvons pas passer sous silence.

I. Quand le déterminant $\mathrm {D}$ d’une forme primitive $\mathrm {F}$ est $\equiv 3{\pmod {4}}$, les nombres impairs représentables par $\mathrm {F}$ seront tous $\equiv 1$, ou tous $\equiv 3{\pmod {4}}$.

Soient, en effet, $m$, $m'$ deux nombres représentables par $F$, on pourra, comme ci-dessus, ramener leur produit à la forme $p^{2}-Dq^{2}$, et les deux nombres $m$, $m'$ étant impairs, l’un des deux nombres $p$, $q$ sera pair et l’autre impair, et partant l’un des quarrés $p^{2}$, $q^{2}$ sera $\equiv 0$, l’autre $\equiv 1{\pmod {4}}$ ; d’où l’on conclut aisément que $p^{2}-Dq^{2}\equiv 1{\pmod {4}}$, et parconséquent $m$, $m'$ tous deux $\equiv 1$ ou tous deux $\equiv 3{\pmod {4}}$. Ainsi, par exemple, par la forme $(10,3,17)$ on ne peut représenter d’autres nombres impairs que ceux qui sont de la forme $4n+1$.

II. Quand le déterminant $\mathrm {D}$ d’une forme primitive $\mathrm {F}$ est $\equiv 2{\pmod {8}}$, tous les nombres impairs représentables par $\mathrm {F}$ seront ou en partie $\equiv 1$ et en partie $\equiv 7$, ou en partie $\equiv 3$ et en partie $\equiv 5{\pmod {8}}$.

Soient $m$, $m'$ deux nombres représentables par $F$ leur produit peut être ramené à la forme $p^{2}-Dq^{2}$ ; si $m$ et $m'$ sont impairs, $p$ doit l’être puisque $D$ est pair, et parconséquent on a $p^{2}\equiv 1{\pmod {8}}$ ; or si $q$ est pair, $q^{2}$ sera $\equiv 0$, ou $\equiv 4{\pmod {8}}$ ; s’il est impair, $q^{2}$ sera $\equiv 1{\pmod {8}}$ ; ainsi $Dq^{2}$ ne peut être que $\equiv 0$ ou $\equiv 2$. Il suit de là que $p^{2}-Dq^{2}=mm'\equiv 0$ ou $\equiv 7$, et que si $m\equiv 1$ ou $\equiv 7$, on aura aussi $m'\equiv 1$ ou $\equiv 7$ ; si $m\equiv 3$ ou $\equiv 5$, $m'$ sera $\equiv 3$ ou $\equiv 5$. Par exemple, tous les nombres représentables par la forme $(3,1,5)$ sont $\equiv 3$ ou $\equiv 5{\pmod {8}}$, et aucun nombre de la forme $8n+1$ ou $8n+7$ ne peut être représenté par la forme $(3,1,5)$.

III. Quand le déterminant $\mathrm {D}$ d’une forme primitive $\mathrm {F}$ est $\equiv 6{\pmod {8}}$, les nombres impairs qui pourront être représentés par $\mathrm {F}$ seront ou en partie $\equiv 1$ et en partie $\equiv 3$, ${\pmod {8}}$, ou en partie $\equiv 5$ et en partie $\equiv 7{\pmod {8}}$.

Chacun pourra faire la démonstration, qui est absolument semblable à la précédente.

Par exemple, par la forme $(5,1,7)$ on ne pourra représenter que des nombres qui sont $\equiv 5$ ou $\equiv 7{\pmod {8}}$.

230. Ainsi tous les nombres qui peuvent être représentés par une forme primitive donnée de déterminant $D,$ ont une relation déterminée avec les différens diviseurs premiers de $D,$ par lesquels ils ne sont pas divisibles, et les nombres impairs qui peuvent être représentés par $F,$ ont, dans certains cas, une relation avec les nombres $4$ et $8,$ savoir, avec $4$, toutes les fois que $D\equiv 0$ ou $\equiv 3{\pmod {4}},$ et avec $8$, toutes les fois que $D\equiv 0,$ ou ${\pmod {3}}\equiv 4,$ ou $\equiv 6{\pmod {8}}.$ Cependant on pourra négliger la relation qui a lieu avec $4$, lorsque $D$ sera divisible par $8,$ car cette relation est contenue dans celles qui ont lieu avec $8$. Nous appellerons caractère ou caractère particulier cette espèce de relation, et nous l’exprimerons de la manière suivante. Quand il n’y a que les résidus du nombre premier $p$ qui peuvent être représentés par la forme $F,$ nous lui attribuerons le caractère $R.p,$ et dans le cas contraire, le caractère $N.p$ ; de même nous écrirons $1,4$, quand on ne pourra représenter par la forme $F$ d’autres nombres impairs que ceux qui sont $\equiv 1{\pmod {4}}$, d’où l’on voit clairement quels sont les caractères exprimés par les signes

$3,4\,;\quad 1,8\,;\quad 3,8\,;\quad 5,8\,;\quad 7,8.$

Enfin quand on ne pourra représenter que des nombres qui sont $\equiv 1$ ou $\equiv 7{\pmod {8}}$, nous attribuerons à la forme le caractère $1$ et $7,8$, d’où l’on voit ce que signifient les caractères $3$ et $5,8$ ; $1$ et $3,8$ ; $5$ et $7,8$.

Les différens caractères d’une forme primitive donnée $(a,b,c)$ de déterminant $D$ peuvent se connaître au moins par un des nombres $a$, $c$ qui sont évidemment représentables par cette forme. En effet, toutes les fois qu’un nombre premier $p$ est diviseur de $D$, il y aura au moins un des nombres $a$, $c$ qui ne sera pas divisible par $p$, puisqu’on a $b^{2}=D+ac$, et que d’après cela $b^{2}$ et parconséquent $b$ sera divisible par tout diviseur premier de $D$ et de l’un des nombres $a$, $c$ et que si tous les deux l’étaient, il s’ensuivrait que la forme $(a,b,c)$ ne serait pas primitive. De même, dans les cas où la forme $(a,b,c)$ une relation déterminée avec les nombres $4$ et $8$, il y aura aumoins un des nombres $a$, $c$ impair et dont on pourra tirer la relation.

Par exemple, le caractère de la forme $(7,0,23)$ à l’égard du nombre $23$, se conclut du nombre $7$, et il est $N.23$, et à l’égard du nombre $7$, il se conclut du nombre $23$, et il est $R.7$ ; enfin le caractère de cette forme, à l’égard du nombre $4$, peut se déduire du nombre $7$ et du nombre $23$.

Comme tous les nombres qui peuvent être représentés par une forme $F$ contenue dans une classe $K$, peuvent l’être aussi par toute autre forme de la même classe, il est évident que les différens caractères de la forme $F$ appartiennent aussi à toutes les autres formes de cette classe. Ainsi les caractères d’une classe primitive quelconque se connaissent par leur représentante. Les classes opposées ont toujours tous les mêmes caractères.

231. L’ensemble des caractères particuliers d’une forme ou d’une classe donnée constitue le caractère complet de cette forme ou de cette classe. Ainsi, par exemple, le caractère de la forme $(10,3,17)$, ou celui de toute la classe qu’elle représente, est $1,4$ ; $N.7$ ; $N.23$. De la même manière, le caractère complet de la forme $(7,1,-17)$ sera $7,8$ ; $R.3$ ; $N.5$ : car le caractère particulier de la forme $3,4$ est compris dans le caractère $7,8$. De là nous tirons une subdivision de tout l’ordre des classes proprement primitives (positives, quand le déterminant est négatif) d’un déterminant donné en plusieurs genres, en rapportant au même genre toutes les classes qui ont le même caractère complet, et à des genres différens toutes celles qui ont différens caractères complets. Nous attribuerons à ces genres les caractères complets des classes qui y sont contenues.

Par exemple, pour le déterminant $-161$, il y a seize classes positives proprement primitives, qui peuvent se distribuer en quatre genres, de la manière suivante :

Caractère. ——————Formes représentantes des classes.

$1,4\,;\,R.7\,;\,R.23...$	$(1,0,161),$	$(2,1,81),$	$(9,1,18),$	$(9,-1,18)$
$1,4\,;\,N.7\,;\,N.23...$	$(5,2,33),$	$(5,-2,33),$	$(10,3,17),$	$(10,-3,17)$
$3,4\,;\,R.7\,;\,N.23...$	$(7,0,23),$	$(11,2,15),$	$(11,-2,15),$	$(14,7,15)$
$3,4\,;\,N.7\,;\,R.23...$	$(3,1,54),$	$(3,-1,54),$	$(6,1,27),$	$(6,-1,27).$

On peut faire les remarques suivantes sur le nombre des caractères complets différens.

I. Quand le déterminant $D$ est divisible par $8$, à l’égard du nombre $8$ il peut y avoir quatre caractères particuliers différens ; le nombre $4$ ne donne aucun caractère particulier (n^o précéd.). En outre, à l’égard de chacun des diviseurs impairs et premiers de $D$, il peut y avoir deux caractères, ainsi, si leur nombre est $m$, il y a $2^{m+2}$ caractères complets différens, en faisant $m=0$ toutes les fois que $D$ est une puissance de $2$.

II. Quand $D$ n’est pas divisible par $8$, mais par $4$ et en outre par $m$ nombres premiers impairs, il y aura $2^{m+1}$ caractères complets différens.

III. Quand $D$ est pair, mais non divisible par $4$, il sera $\equiv 2$ ou $\equiv 6{\pmod {8}}$ ; dans le premier cas, on aura à l’égard du nombre $8$, savoir, $1$ et $7,8$ ; $5$ et $5,8$, et autant dans le second. Si donc l’on suppose $m$ diviseurs premiers impairs, il y aura $2^{m+1}$ caractères complets.

IV. Quand $D$ est impair, il sera $\equiv 1$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$. Le caractère du premier cas n’entre pas dans le caractère complet. Dans le second cas, il y a à l’égard de $4$ deux caractères. Ainsi $m$ étant le même que ci-dessus, il y aura dans le premier cas $2^{m}$, dans le second $2^{m+1}$ caractères complets.

Mais il faut bien remarquer qu’il ne suit pas de là qu’on ait autant de genres différens que de caractères complets possibles. Dans l’exemple précédent, le nombre des genres est moitié de celui des caractères, et il n’y a pas de classes positives qui aient pour caractère

	$1,4$ ; $R.7$ ; $N.33,$	——ou——	$1,4$ ; $N.7$ ; $N.23,\quad$
ou	$3,4$ ; $R.7$ ; $R.23,$	——ou——	$3,4$ ; $N.7$ ; $R.23.$

Nous traiterons plus bas avec détail ce sujet important.

Comme la forme $(1,0,-D)$ est évidemment la plus simple des formes de déterminant $D$, nous lui donnerons le nom de forme principale, à la classe dans laquelle elle est contenue, celui de classe principale, et enfin au genre auquel cette classe appartient, celui de genre principal. Ainsi il faut bien distinguer la forme principale, de la forme d’une classe principale et de la forme d’un genre principal, ainsi qu’une classe principale et une classe d’un genre principal. Nous nous servirons toujours de ces dénominations, même quand il arriverait que pour un certain déterminant il n’y eût pas d’autre classe que la classe principale, ou pas d’autre genre que le genre principal, comme cela a lieu souvent dans le cas où $D$ est un nombre positif de la forme $4n+1$.

232. Quoique ce qui a été expliqué sur les caractères des formes l’ait été surtout dans le dessein d’en déduire la subdivision en genres de l’ordre entier des classes positives proprement primitives, rien n’empêche qu’on ne l’applique aux formes et aux classes négatives ou improprement primitives, et qu’on ne subdivise en genres, tant l’ordre proprement primitif positif ou négatif, que l’ordre improprement primitif positif ou négatif.

Ainsi, par exemple, lorsqu’on a partagé en deux genres l’ordre proprement primitif des formes de déterminant $145$,

$R.5\,;\,R.29...$	$(1,0,-145),$	$(5,0,-29),$
$N.5\,;\,N.29...$	$(3,1,-48),$	$(3,-1,-48)$ ;

l’ordre Improprement positif peut se subdiviser de même en deux genres,

$R.5\,;\,R.29...$	$(4,1,-36),$	$(4,-1,-36)$
$N.5\,;\,N.29...$	$(2,1,-72),$	$(10,5,-12)$

ou, de même que les classes positives des formes de déterminant $-129$ se distribuent en quatre genres,

$1,4\,;\,R.3\,;\,R.43...$	$(1,0,129),$	$(10,1,13),$	$(10,-1,13)$
$1,4\,;\,N.3\,;\,N.43...$	$(2,1,65),$	$(5,1,26),$	$(5,-1,26)$
$3,4\,;\,R.3\,;\,R.43...$	$(3,0,43),$	$(7,2,19),$	$(7,-2,19)$
$3,4\,;\,N.7\,;\,R.23...$	$(6,3,23),$	$(11,5,14),$	$(11,-5,14),$

les classes négatives se partagent aussi en quatre ordres,

$3,4\,;\,N.3\,;\,N.43...$	$(-1,0,-129),$	$(-10,1,-13),$	$(-10,-1,-13)$
$3,4\,;\,R.3\,;\,R.43...$	$(-2,1,-65),$	$(-5,1,-26),$	$(-5,-1,-26)$
$1,4\,;\,N.3\,;\,R.43...$	$(-3,0,-43),$	$(-7,2,-19),$	$(-7,-1,-19)$
$1,4\,;\,R.3\,;\,N.43...$	$(-6,3,-23),$	$(-11,5,-14),$	$(-11,-5,-14).$

Mais puisque le système des classes négatives se trouve toujours si semblable à celui des classes positives, il semble qu’il est le plus souvent inutile de les considérer séparément. Quant à l’ordre improprement primitif, nous enseignerons plus bas à le réduire à l’ordre proprement primitif.

Pour la subdivision des ordres dérivés, il n’est pas nécessaire de donner de nouvelles règles ; puisque chaque ordre dérivé tirant son origine de quelque ordre primitif de déterminant moindre, la subdivision d’un ordre dérivé suit naturellement de celle de l’ordre primitif dont il provient.

233. Si une forme primitive $F=(a,b,c)$ est telle que l’on puisse trouver deux nombres $g$, $h$ pour lesquels on ait $g^{2}\equiv a$, $gh\equiv b$, $h^{2}\equiv c$, suivant un module donné $m$, on aura $(gx+hy)^{2}\equiv ax^{2}+2bxy+cy^{2}{\pmod {m}}$, et partant on peut dire que la forme $F$ est résidu de $m$, et que $hx+hy$ est la valeur de l’expression ${\sqrt {ax^{2}+2bxy+cy^{2}}}{\pmod {m}}$, ce que nous exprimerons plus simplement en écrivant que $(g,h)$ est une valeur de ${\sqrt {F}}{\pmod {m}}$ ; plus généralement, si un nombre $M$ premier avec $m$ est tel qu’on ait $g^{2}\equiv Ma$, $gh\equiv Mb$, $h^{2}\equiv Mc{\pmod {m}}$, nous dirons que $MF$ est résidu de $m$ et $(g,h)={\sqrt {MF}}{\pmod {m}}$. Ainsi, par exemple, la forme $(3,1,54)$ est résidu quadratique de $23$, et $(7,10)$ est la valeur de ${\sqrt {(3,1,54)}}{\pmod {m}}$. De même $(2,-4)$ est la valeur de l’expression ${\sqrt {5(10,3,17)}}{\pmod {23}}$.

On verra plus bas l’usage de ces expressions ; ici nous ferons les remarques suivantes :

1^o. Si $M(a,b,c)$ est résidu quadratique de $m$, $m$ divisera le déterminant de la forme $(a,b,c)$ ; en effet, puisqu’on a $g^{2}\equiv aM$, $gh\equiv bM$, $h^{2}\equiv cM{\pmod {m}}$, on en tire

$b^{2}M^{2}-acM^{2}=(b^{2}-ac)M^{2}\equiv 0{\pmod {m}}$

Mais comme $M$ est premier avec $m$, il s’ensuit donc que $b^{2}-ac$ est divisible par $m$.

2^o. Si $M(a,b,c)$ est résidu de $m$ et que $m$ soit un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier, $p^{\mu }$, par exemple, le caractère particulier de la forme $(a,b,c)$, à l’égard du nombre $p$, sera $R.p$ ou $N.p$, suivant que $M$ sera résidu ou non-résidu de $p$. En effet, $aM$ et $cM$ sont résidus de $p$, et il y a au moins un des nombres $a$, $c$ qui n’est pas divisible par $p$ (n^o 230) ; donc si $M$ est résidu ou non-résidu, un des deux nombres $a$ et $c$ le sera aussi.

De même, si toutes choses d’ailleurs égales, $m=4$ le caractère particulier de la forme $(a,b,c)$ sera $1,4$ ou $3,4$ suivant que l’on aura $\equiv$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$ ? et si $m=8$ ou une plus haute puissance de $2$, le caractère particulier de la forme $(a,b,c)$ sera $1,8$ ; $3,8$ ; $5,8$ ; $7,8$, suivant que $M\equiv 1$ ; $3$ ; $5$ ; $7{\pmod {8}}$.

3^o. Réciproquement si $m$ est un nombre premier ou une puissance d’un nombre premier $\equiv p^{\mu }$ qui divise $b^{2}-ac$ et que $M$ soit résidu ou non-résidu de $p$, suivant que le caractère particulier de la forme $(a,b,c)$, à l’égard du nombre $p$, est $R.p$ ou $N.p$ respectivement, $M(a,b,c)$ sera résidu de $m$. En effet, quand $a$ n’est pas divisible par $p$, $aM$ sera résidu de $p$, et partant de $m$ lui-même ; si donc $g$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {aM}}{\pmod {m}}$ et que $h$ soit une valeur de ${\frac {bg}{a}}{\pmod {m}}$, on aura $g^{2}\equiv aM$, $ah\equiv bg$, et partant $agh\equiv bg^{2}\equiv abM$ et $gh\equiv bM$ ; enfin $ah^{2}\equiv bgh\equiv b^{2}M\equiv b^{2}M-(b^{2}-ac)M\equiv acM$, d’où $h^{2}\equiv cM$ ; donc $(g,h)$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {(a,b,c)M}}$. Mais quand $a$ est divisible par $p$, comme alors $c$ ne l’est sûrement pas, on voit qu’on arrivera au même résultat, en prenant $h={\sqrt {cM}}{\pmod {m}}$ et $g={\frac {bh}{c}}{\pmod {m}}$.

On démontre de la même manière, que si $m=4$ qu’il divise $b^{2}-ac$, et qu’on prenne le nombre $M\equiv 1$ ou $\equiv 3$, suivant que le caractère particulier de la forme est $1,4$ ou $3,4$, $M(a,b,c)$ sera résidu de $m$, et que $m=8$ ou une plus haute puissance de $2$, par laquelle $b^{2}-ac$ soit divisible, et que l’on prenne $M\equiv 1$ ; $3$ ; $5$ ; $7{\pmod {8}}$, suivant que le caractère particulier de la forme le demande, $M(a,b,c)$ sera résidu de $m$.

4^o. Si le déterminant de la forme $(a,b,c)$ est $=D$, et que $M(a,b,c)$ soit résidu de $D$, tous les caractères particuliers de la forme, tant à l’égard des diviseurs premiers de $D$, qu’à l’égard des nombres $4$ et $8$, s’ils sont diviseurs de $D$, peuvent se connaître sur-le-champ par le nombre $M$. Ainsi, par exemple, comme $3(20,10,27)$ est résidu de $440$, c’est-à-dire que $(150,-9)$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {3(20,10,27)}}$, et qu’on a $3N.5$ et $3R.11$ ; les caractères de la forme $(20,10,27)$ sont $3,8$ ; $N.5$ ; $R.11$. Les caractères, relatifs à $4$ et à $8$, toutes les fois que ces nombres ne divisent pas $D$, sont les seuls qui ne dépendent pas nécessairement du nombre $M$.

5^o. Réciproquement, si le nombre $M$ premier avec $D$ renferme tous les caractères particuliers de la forme $(a,b,c)$ excepté ceux relatifs à $2$ et à $8$, quand ces nombres ne divisent pas $D$, $M(a,b,c)$ sera résidu de $D$. En effet, par ce qui a été dit (3^o.), il est clair qu’en mettant $D$ sous la forme $\pm A^{\alpha }.B^{\beta }.C^{\gamma }$… $A$, $B$, $C$, etc. étant des nombres premiers différens, $M(a,b,c)$ sera résidu de chacun des nombres $A^{\alpha }$, $B^{\beta }$, $C^{\gamma }$, etc. ; si donc la valeur de ${\sqrt {M(a,b,c)}}{\pmod {A^{\alpha }}}$ est $(G,G')$ ; que ${\sqrt {M(a,b,c)}}{\pmod {B^{\beta }}}$ soit $(H,H')$, que ${\sqrt {M(a,b,c)}}{\pmod {C^{\gamma }}}$ soit $(L,L')$, etc. et que les nombres $g$, $h$ soient déterminés de manière qu’on ait $g\equiv G$, $H$, $L$, etc., $h\equiv G'$, $H'$, $L'$, etc., suivant les modules $A^{\alpha }$, $B^{\beta }$, $C^{\gamma }$, etc. respectivement (n^o 32), on verra facilement que l’on aura $g^{2}\equiv aM$, $gh\equiv bM$, $h^{2}\equiv cM$, suivant chacun des modules $A^{\alpha }$, $B^{\beta }$, $C^{\gamma }$, et parconséquent suivant le module $D$, qui est leur produit.

6^o. Pour toutes ces raisons, les nombres tels que $M$, qu’on peut trouver sans peine, par ce que nous avons dit (5^o.), dès qu’on connaît les caractères particuliers de la forme, se nommera nombre caractéristique. On trouve sans peine les plus simples, par tâtonnement, dans un grand nombre de cas. Il est évident que si $M$ est le nombre caractéristique d’une forme primitive donnée de déterminant $D,$ tous les nombres qui lui seront congrus suivant le module $D,$ seront caractéristiques de la même forme ; que les formes d’une même classe, ou même de classes différentes, mais du même genre, ont le même nombre caractéristique, et que parconséquent tout nombre caractéristique de la forme donnée peut être attribué à toute la classe et à tout le genre ; enfin que $1$ est nombre caractéristique des forme, classe et genre principaux, c’est-à-dire, que toute forme principale est résidu de son déterminant.

7^o. Si $(g,h)$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {M(a,b,c)}}{\pmod {m}},$ et qu’on ait $g'\equiv g$, $h'\equiv h{\pmod {m}},$ $(g',h')$ sera aussi valeur de cette expression. De telles valeurs peuvent être regardées comme équivalentes ; au contraire, si $(g,h)$ et $(g',h')$ sont valeurs de l’expression ${\sqrt {M(a,b,c)}},$ et qu’on n’ait pas $g'\equiv g$, $h'\equiv h{\pmod {m}},$ on doit les considérer comme différentes. Il est évident que si $(g,h)$ est une valeur, $(-g,-h)$ en est une aussi, et on démontre facilement qu’elles sont différentes, à moins qu’on n’ait $m=2.$ On démontre aussi facilement que l’expression ${\sqrt {M(a,b,c)}}$ ne peut pas avoir plus de valeurs différentes que ses deux opposées, quand m est un nombre premier impair, ou une puissance d’un nombre premier impair, ou $=4$ ; mais quand $m=8$ ou une plus haute puissance de $2$, il y en a quatre en tout. On conclut facilement de là, au moyen de ce qui a été exposé (6^o.), que si le déterminant $D$ de la forme $(a,b,c)$ est $\pm 2^{\mu }A^{\alpha }B^{\beta }$, etc, $A$, $B$, etc. étant des nombres premiers impairs dont le nombre est $n$, et que $M$ soit le nombre caractéristique de cette forme, il y aura en tout $2^{n}$, $2^{n+1}$ ou $2^{n+2}$ valeurs différentes de l’expression ${\sqrt {M(a,b,c)}}{\pmod {D}}$, suivant que $\mu >2$, $=2$ ou $>2$. Ainsi, par exemple, on a 16 valeurs de l’expression ${\sqrt {7(12,6,-17)}}{\pmod {240}}$, qui sont :

$(\pm 18,\mp 11)$,	$(\pm 18,\pm 29)$,	$(\pm 18,\mp 91)$,	$(\pm 18,\pm 109)$,
$(\pm 78,\pm 19)$,	$(\pm 78,\pm 59)$,	$(\pm 78,\mp 61)$,	$(\pm 78,\mp 101)$.

Nous supprimons la démonstration, qui est assez longue, et qui n’est pas nécessaire ici.

8^o. Observons enfin que si deux formes équivalentes $F$, $F'$ ont $D$ pour déterminant, que le nombre caractéristique soit $M$ et que $F$ se change en $F'$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, d’une valeur $(g,h)$ de ${\sqrt {M.F}}{\pmod {D}}$, on tirera $(\alpha g+\gamma h,\beta g+\delta h)$ pour la valeur de ${\sqrt {M.F'}}{\pmod {D}}$, chacun pourra trouver sans peine la démonstration.

234. Après avoir exposé ces détails sur la distribution des formes en classes, en genres et en ordres, et avoir expliqué les propriétés qui naissent de ces distinctions, nous allons passer à un autre sujet très-important et dont personne ne s’est encore occupé, à la composition des formes ; mais avant de commencer cette recherche, nous placerons le lemme suivant, pour ne pas être obligé d’interrompre l’ordre des démonstrations.

Lemme. Si l’on a quatre suites de nombres entiers : $\mathrm {a,\,a',\,a'',\dots a^{n}\,;}$ $\mathrm {b,\,b',\,b'',\dots b^{n}\,;}$ $\mathrm {c,\,c',\,c'',\dots c^{n}\,;}$ $\mathrm {d,\,d',\,d'',\dots d^{n},}$ composées d’autant de termes, et telles qu’on ait

$\mathrm {cd'-dc'}$	$=$	$\mathrm {k(ab'-ba')} ,$
$\mathrm {cd''-dc''}$	$=$	$\mathrm {k(ab''-ba'')} ,$	etc.
$\mathrm {c'd''-d'c''}$	$=$	$\mathrm {k(a'b''-b'a'')} ,$	etc., etc.

ou généralement $\mathrm {c^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }c^{\mu }=k(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })} ,$ $\mathrm {k}$ étant un nombre entier donné, $\mu$, $\nu$ des entiers différens dont $\mu$ est le plus grand, et compris entre $0$ et $\mathrm {n} \,;$ qu’en outre, toutes les quantités de la forme $\mathrm {a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu }}$ n’aient pas de diviseur commun ; alors on peut trouver quatre nombres entiers $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ tels que l’on ait

$\mathrm {\alpha a+\beta b=c} ,$	——$\mathrm {\alpha a'+\beta b'=c'} ,$	——$\mathrm {\alpha a''+\beta b''=c''} ,$	——etc.
$\mathrm {\gamma a+\delta b=d} ,$	$\mathrm {\gamma a'+\delta b'=d'} ,$	——etc.

ou généralement $\mathrm {\alpha a^{\nu }+\beta b^{\nu }=c^{\nu }} ,$ $\mathrm {\gamma a^{\nu }+\delta b^{\nu }=d^{\nu }} \,;$ auquel cas on aura $\alpha \delta -\beta \gamma =\mathrm {k} .$

Puisque, par hypothèse, les nombres $ab'-a'b$, $ab''-a''b$, etc. $a'b''-a''b'$, etc., dont le nombre est ${\frac {1}{2}}(n+1)n$, n’ont pas de diviseur commun, on peut trouver autant de nombres entiers tels que la somme des produits des premiers par les derniers soit $=1$ (n^o 40). Désignons ces multiplicateurs par $(0,1)$, $(0,2)$, etc. $(1,2)$, etc. ; ou généralement désignons le multiplicateur de $a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu }$ par $(\lambda ,\mu )$, desorte qu’on ait $\sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })=1$, $\sum$ désignant la somme de toutes les valeurs qui peuvent résulter de la quantité qu’il précède, lorsqu’on donne successivement à $\lambda$ et $\mu$ toutes les valeurs comprises entre $0$ et $n$, de manière que $\mu >\lambda$. Cela posé , si l’on fait

$\sum (\lambda ,\mu )(c^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }c^{\mu })$	$=\alpha$,
$\sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }c^{\mu }-c^{\lambda }a^{\mu })$	$=\beta$,
$\sum (\lambda ,\mu )(d^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }d^{\mu })$	$=\gamma$,
$\sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }a^{\mu })$	$=\delta$,

les nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ jouiront des propriétés énoncées ci-dessus.

I. $\nu$ étant un nombre entier quelconque entre $0$ et $n$, on aura

$\alpha a^{\nu }+\beta b^{\nu }$	$=\sum (\lambda ,\mu )(c^{\lambda }b^{\mu }a^{\nu }-b^{\lambda }c^{\mu }a^{\nu }+a^{\lambda }c^{\mu }b^{\nu }-c^{\lambda }a^{\mu }b^{\nu }$
	$={\frac {1}{k}}\sum (\lambda ,\mu )(c^{\lambda }d^{\mu }c^{\nu }-d^{\lambda }c^{\mu }c^{\nu })$
	$={\frac {1}{k}}c^{\nu }\sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }c^{\mu })$
	$=c^{\nu }$ ;

et par un calcul semblable, on prouve que $\gamma a^{\nu }+\delta b^{\nu }=d^{\nu }$.

II. On a parconséquent $c^{\lambda }=\alpha a^{\lambda }b^{\mu }+\beta b^{\lambda }$, $c^{\mu }=\alpha a^{\mu }b^{\mu }+\beta b^{\mu }$, et partant

	$c^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }c^{\mu }$	$=\alpha (a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })$	de même…………
de même………….	$a^{\lambda }c^{\mu }-c^{\lambda }a^{\mu }$	$=\beta (a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })$
	$d^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }d^{\mu }$	$=\gamma (a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })$
	$a^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }a^{\mu }$	$=\delta (a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })$,

d’où l’on tirera plus facilement les valeurs de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, pourvu qu’on prenne $\lambda$ et $\mu$ de manière que $a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu }$ ne soit pas $=0$, ce qui est possible, puisque toutes les quantités de cette forme sont supposées ne pas avoir de diviseur commun, et que parconséquent elles ne peuvent pas être toutes $=0$. On tire aisément de ces équations

$(\alpha \delta -\beta \gamma )(a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })^{2}$	$=(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })(c^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }c^{\mu })$
	$=k(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })^{2}$

d’où nécessairement $\alpha \delta -\beta \gamma =k$.

235. Si la forme $AX^{2}+2BXY+CY^{2}=F$ se change en le produit des deux formes $ax^{2}+2bxy+cy^{2}=f$, $a'x'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}=f'$ par la substitution

$X$	$=pxx'+p'xy'+p''x'y+p'''yy'$,
$Y$	$=qxx'+q'xy'+q''x'y+q'''yy'$,

(ce que nous exprimerons d’une manière abrégée en disant : Si $F$ se change en $ff'$ par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$ ; $q$, $q'$, $q''$, $q'''$) la forme $F$ sera dite transformable en $ff'$, et si de plus cette transformation est telle que les six nombres

$pq'-p'q,\quad$	$\quad pq''-p''q,\quad$	$\quad pq'''-p'''q,$
$p'q''-p''q',\quad$	$\quad p'q'''-p'''q',\quad$	$\quad p''q'''-p'''q'',$

n’aient pas de diviseur commun, la forme $F$ sera dite composée des formes $f$, $f'$.

Nous commencerons par l’hypothèse la plus générale, celle où la forme $F$ se changerait en $ff'$ par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$ ; $q$, $q'$, $q''$, $q'''$, et nous développerons les conséquences qui en résultent.

Cette condition est exprimée par les neuf équations suivantes :

$Ap^{2}+2Bpq+Cq^{2}=aa'$ 

 (1)

$Ap'^{2}+2Bp'q'+Cq'^{2}=ac'$ 

 (2)

$Ap''^{2}+2Bp''q''+Cq''^{2}=a'c$ 

 (3)

$Ap'''^{2}+2Bp'''q'''+Cqq'=ab'$ 

 (4)

$App'+B(pq'+p'q)+Cqq'=ab'$ 

 (5)

$App''+B(pq''+p''q)+Cqq''=a'b$ 

 (6)

$Ap'p'''+B(p'q'''+p'''q')+Cq'q'''=bc'$ 

 (7)

$Ap''p'''+B(p''q'''+p'''q'')+Cq''q'''=cb'$ 

 (8)

$A(pp'''+p'p'')+B(pq'''+p'''q+p'q''+p''q')+C(qq'''+q'q'')=2bb'$ 

 (9)

Soient $D$, $d$, $d'$ les déterminans des formes $F$, $f$, $f'$ respectivement ; $M$, $m$, $m'$ les plus grands communs diviseurs des nombres $A$, $2B$, $C$ ; $a,$ $2b,$ $c$ ; $a',$ $2b',$ $c'$ respectivement, $M$, $m$, $m'$ étant pris positivement. Déterminons les six nombres $A$, $B$, $C$ ; $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ ; $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ de manière qu’on ait

$A_{1}a+B_{1}b+C_{1}c=m,\quad A_{2}a'+B_{2}b'+C_{2}c'=m'.$

Faisons enfin $pq'-p'q=P$, $pq''-p''q=Q$, $pq'''-p'''q=R$, $p'q''-p''q'=S$, $p'q'''-p'''q'=T$, $p''q'''-p'''q''=U$, et supposons que $k$ soit leur plus grand commun diviseur^[2].

Posant maintenant

$App''+B(pq''+p''q)+Cqq''=bb'+\Delta$………(10),

l’équation (9) donne

$App''+B(pq''+p''q)+Cqq''=bb'+\Delta$………(11),

De ces onze équations on tire les suivantes, savoir :

En élevant l’équation (5) au quarré et en retranchant le produit de l’équation (1) par l’équation (2),

$D.P^{2}=d'a^{2}$……(12) ;

en multipliant l’équation (5) par l’équation (9), l’équation (1) par l’équation (7), l’équation (2) par l’équation (6), et retranchant du premier produit la somme des deux derniers,

$DP(R-S)=2d'ab$……(13) ;

en multipliant l’équation (10) par l’équation (11), l’équation (6) par l’équation (7), et retranchant le second produit du premier,

$DPU=d'ac-(\Delta ^{2}-dd')$……(14) ;

en ajoutant le double produit des équations (5) et (8), les quarrés des équations (10) et (11), et retranchant de leur somme les produits des équations (1) et (4), (2) et (3) et deux fois le produit des équations (6) et (7),

$D(R-S)^{2}=4d'b^{2}+2(\Delta ^{2}-dd')$……(15) ;

en retranchant du produit de l’équation (8) par l’équation (9), la somme des produits des équations (5) et (7), (4) et (6),

$D(R-S)U=2d'bc$……(16) ;

en retranchant du quarré de l’équation (8) le produit des équations (3} et (4),

$DU^{2}=d'c^{2}$……(17) ;

en remplaçant dans les mêmes calculs les équations (2), (5), (7), par les équations (3), (6), (8) respectivement, et réciproquement :

$DQ^{2}$	$=da'^{2}$	………(18)
$DQ(R+S)$	$=2da'b'$	………(19)
$DQT$	$=da'c'-(\Delta ^{2}-dd')$	………(20)
$DQ(R+S)^{2}$	$=4db'^{2}+2(\Delta ^{2}-dd')$	………(21)
$D(R+S)T$	$=2db'c'$	………(22)
$DT^{2}$	$=dc'^{2}$	………(23)

De ces équations on tire, 1^o. en retranchant le quarré de l’équation (13), du produit des équations (12) et (15) ; 2^o. en retranchant le produit des équations (12) et (17), du quarré de l’équation (14) :

$0=2d'a^{2}(\Delta ^{2}-dd')$………$0=(\Delta ^{2}-dd')^{2}-2d'ac(\Delta ^{2}-dd')$,

ce qui prouve la relation $\Delta ^{2}-dd'=0$, soit qu’on ait ou non $a=0$. Cette manière de trouver l’équation $\Delta ^{2}=dd'$ suffit pour les recherches présentes ; mais nous aurions pu la trouver directement par une analyse plus élégante mais trop longue pour être placée ici, en déduisant directement des onze premières équations celle-ci

$0=(\Delta -dd')^{2}$. Nous supposerons donc qu’on ait effacé $\Delta ^{2}-dd'$ dans les équations (14), (15), (20), (21).

Or si l’on fait

$A_{1}P+B_{1}(R-S)+C_{1}U=mn',\quad A_{2}P+B_{2}(R+S)+C_{2}T=m'n,$

où $n$, $n'$ peuvent être des fractions, pourvu que $mn'$ et $m'n$ soient entiers, on tire facilement des équations (12)……(17),

$Dm^{2}n'^{2}=d'(A_{1}a+2B_{1}b+C_{1}c)^{2}=d'm^{2},$

et des équations (18)..... .(23) ,

$Dm'^{2}n'^{2}=d'(A_{2}a'+2B_{2}b'+C_{2}c')^{2}=dm^{2},$

On a donc $d=Dn^{2},$ $d='Dn'^{2},$ d’où nous tirons une première condition : les déterminans des formes $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {f} ,$ $\mathrm {f'}$ sont entre eux comme des nombres quarrés ; et une seconde : $\mathrm {D}$ divise toujours $\mathrm {dm'^{2}}$ et $\mathrm {d'm^{2}} .$ Il suit donc de là que $D,$ $d,$ $d'$ sont de même signe, et qu’aucune forme ne peut être transformée en le produit $ff'$ si son déterminant est plus grand que le plus grand diviseur commun des nombres $dm'^{2}$ et $d'm^{2}.$

Si l’on multiplie les équations (12), (13), (14) par $A,$ $B,$ $C,$ respectivement ; les équations (13), (15), (16), les équations (14), (16), (17) par les mêmes nombres et de la même manière ; que l’on ajoute les trois produits en y remplaçant $d'$ par $Dn'^{2},$ on trouve, à l’aide de l’équation $A_{1}P+B_{1}(R-S)+CU_{1}=mn'_{1},$

$P=an',\quad R-S=2bn',\quad U=cn'$

de même, en multipliant, 1^o. les équations (18), (19), (20) ; 2^o. les équations (19), (21), (22) ; 3^o. les équations (20), (22), (23) par $A_{2},$ $B_{2},$ $C_{2}$ respectivement, on a

$Q=a'n\quad R+S=2b'n\quad T=c'n.$

Ce qui donne une troisième condition : les nombres $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {2b} ,$ $\mathrm {c}$ sont proportionnels aux nombres $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {R-S} ,$ $\mathrm {U\,;}$ et en supposant que leur rapport est celui de