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(Il faut rajouter un facteur $\mu$ au second terme du membre de droite de la première égalité. — ElioPrrl (d))

nous aurons

${\begin{alignedat}{2}&{\frac {1}{(2g)^{\mu }}}\Gamma &{}={}&{}\pm (\mu -\alpha )^{\mu }\mp \mu (\mu -1-\alpha )^{\mu }\\&&{}\pm {}&{\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1}{1\,{.}\,2}}(\mu -2-\alpha )^{\mu }\mp {\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}(\mu -3-\alpha )^{\mu }\pm {\text{etc.}},\\&{\frac {1}{(2g)^{\mu }}}\Gamma _{\prime }&{}={}&{}\pm (\mu -\beta )^{\mu }\mp \mu (\mu -1-\beta )^{\mu }\\&&{}\pm {}&{\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1}{1\,{.}\,2}}(\mu -2-\beta )^{\mu }\mp {\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}(\mu -3-\beta )^{\mu }\pm {\text{etc.}},\end{alignedat}}$

où l’on prendra le signe supérieur ou le signe inférieur de chaque terme, selon que la quantité qui s’y trouve élevée à la puissance $\mu$ sera positive ou négative. Cela étant, en représentant dans ces deux formules, par $\mathrm {S}$ et $\mathrm {T}$ les sommes des termes qui devront être pris avec leurs signes supérieurs, et par $\mathrm {S} _{\prime }$ et $\mathrm {T} _{\prime }$ les sommes de ceux qu’on devra prendre avec leurs signes inférieurs, on aura donc

$\Gamma =(2g)^{\mu }(\mathrm {S} -\mathrm {S} _{\prime })$,$\Gamma _{\prime }=(2g)^{\mu }(\mathrm {T} -\mathrm {T} _{\prime })$ ;

mais quelle que soit la quantité $\delta$, on a, d’après une formule connue et facile à vérifier,

${\begin{aligned}(\mu -\delta )^{\mu }&-\mu (\mu -1-\delta )^{\mu }+{\frac {\mu \,{.}\,\mu -1}{1\,{.}\,2}}(\mu -2-\delta )^{\mu }\\&-{\frac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}(\mu -3-\delta )^{\mu }+{\text{etc.}}=2^{\mu -1};\end{aligned}}$

si donc on fait successivement ${\delta =\alpha }$ et ${\delta =\beta }$, on aura aussi

$\mathrm {S} +\mathrm {S} _{\prime }=2^{\mu -1}$,$\mathrm {T} +\mathrm {T} _{\prime }=2^{\mu -1}$ ;

d’où il résultera

$\Gamma =(2g)^{\mu }(2^{\mu -1}-2\mathrm {S} _{\prime })$,$\Gamma _{\prime }=(2g)^{\mu }(2^{\mu -1}-2\mathrm {T} _{\prime })$ ;