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où l’on devra faire

$m+n=\mu$,$p+q=1$.

Or, si $\mu$, $m$, $n$, sont de très grands nombres, il faudra recourir à la formule (3) pour calculer la valeur numérique de cette quantité $\mathrm {U}$. En supposant chacun de ces trois nombres assez grand pour qu’on puisse réduire cette formule à son premier terme, nous aurons

${\begin{alignedat}{4}&1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu &{}={}&\mu ^{\mu }&&e^{-\mu }&&{\sqrt {2\pi \mu }},\\&1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m&{}={}&m^{m}&&e^{-m}&&{\sqrt {2\pi m}},\\&1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n&{}={}&n^{n}&&e^{-n}&&{\sqrt {2\pi n}},\end{alignedat}}$

et par conséquent

$\mathrm {U} =\left({\frac {\mu p}{m}}\right)^{m}\left({\frac {\mu q}{n}}\right)^{n}{\sqrt {\frac {\mu }{2\pi mn}}}$,

(6)

pour la valeur approchée de $\mathrm {U}$.

Il est facile d’en conclure que l’événement composé le plus probable, ou celui pour lequel cette valeur de $\mathrm {U}$ sera la plus grande, répondra au cas où le rapport des nombres $m$ et $n$ approchera le plus possible d’être égal au rapport des deux probabilités $p$ et $q$. En effet, si l’on considère, au contraire, $m$ et $n$ comme des nombres donnés et $p$ et $q$ comme des variables dont la somme est l’unité, mais qui peuvent croître par degrés infiniment petits, depuis zéro jusqu’à l’unité, on trouvera, par la règle ordinaire, que le maximum de $\mathrm {U}$ répond ${p={\tfrac {m}{\mu }}}$ et ${q={\tfrac {n}{\mu }}}$. Mais vu le grand nombre des autres événements composés, moins probables que celui-là, sa probabilité sera néanmoins peu considérable et diminuera à mesure que le nombre $\mu$ des épreuves, que l’on suppose très grand, augmentera encore davantage. Par exemple, si l’on a ${p=q={\tfrac {1}{2}}}$, et que $\mu$ soit un nombre pair, l’événement composé le plus probable répondra à ${m=n={\tfrac {\mu }{2}}}$ ; et d’après la formule (6), sa probabilité $\mathrm {U}$ aura