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analyse de l’hypothèse de laplace
Dans l’hypothèse d’un noyau très condensé de masse
nous pouvons écrire
![{\displaystyle \mathrm {P} =-{\frac {\mathrm {M} }{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038be2b1f03473e7a236d9a391d4f2cd387c57a4)
ce qui donne pour équation des surfaces d’égale pression
![{\displaystyle \varphi +{\frac {\mathrm {M} }{r}}=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e621a646e88ba3c2747db2c80d1935f1edbce3)
Les méridiennes de ces surfaces s’obtiendront en faisant
dans
cette équation, ce qui donne
![{\displaystyle \varphi (y)+{\frac {\mathrm {M} }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/798aa8cae5fdd390f745a0faed223e492947f73e)
Telle est donc l’équation des méridiennes des surfaces de niveau
lorsque la vitesse angulaire
n’est plus constante, mais varie avec la
distance à l’axe de révolution suivant la loi représentée par
![{\displaystyle \omega ^{2}\mathrm {R} =\varphi '(\mathrm {R} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893c47237f515eb0549984e431b0ecb1ccb237f7)
28.La forme de ces méridiennes dépend essentiellement de la
fonction
. Dans le cas adopté par Laplace et par Roche,
est constant ; alors
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {R} )={\frac {\omega ^{2}\mathrm {R} ^{2}}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a2b242fc305d2e3d3c82069749d8c18afd5aa9)
Nous retombons sur l’équation
![{\displaystyle {\frac {\omega ^{2}y^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {M} }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accbec6100c42efb1bae93a62200c619226c6b05)
qui a donné les courbes représentées par la figure 2 (p. 16).
Si nous supposions que la distribution des vitesses angulaires suit
la loi adiabatique, nous aurions,
étant une constante, les équations
![{\displaystyle \omega \mathrm {R} ^{2}=\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e5360112ef5e3e666fd61bbdc29848e978ee823)
et
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {R} )=-{\frac {\Omega ^{2}}{2\mathrm {R} ^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad63c9e55374fd1d1546f5127d7c0dbe8f4e969)
L’équation des méridiennes serait alors
![{\displaystyle -{\frac {\Omega ^{2}}{2y^{2}}}+{\frac {\mathrm {M} }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e3aaa505a6deab5878f9eb1635d51ab77ffbc3)