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analyse de l’hypothèse de laplace

Dans l’hypothèse d’un noyau très condensé de masse $\mathrm {M} ,$ nous pouvons écrire

$\mathrm {P} =-{\frac {\mathrm {M} }{r}},$

ce qui donne pour équation des surfaces d’égale pression

$\varphi +{\frac {\mathrm {M} }{r}}=\mathrm {C} .$

Les méridiennes de ces surfaces s’obtiendront en faisant $z=0$ dans cette équation, ce qui donne

$\varphi (y)+{\frac {\mathrm {M} }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\mathrm {C} .$

Telle est donc l’équation des méridiennes des surfaces de niveau lorsque la vitesse angulaire $\omega$ n’est plus constante, mais varie avec la distance à l’axe de révolution suivant la loi représentée par

$\omega ^{2}\mathrm {R} =\varphi '(\mathrm {R} ).$

28.La forme de ces méridiennes dépend essentiellement de la fonction $\varphi$. Dans le cas adopté par Laplace et par Roche, $\omega$ est constant ; alors

$\varphi (\mathrm {R} )={\frac {\omega ^{2}\mathrm {R} ^{2}}{2}}\cdot$

Nous retombons sur l’équation

${\frac {\omega ^{2}y^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {M} }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\mathrm {C}$

qui a donné les courbes représentées par la figure 2 (p. 16).

Si nous supposions que la distribution des vitesses angulaires suit la loi adiabatique, nous aurions, $\Omega$ étant une constante, les équations

$\omega \mathrm {R} ^{2}=\Omega$

et

$\varphi (\mathrm {R} )=-{\frac {\Omega ^{2}}{2\mathrm {R} ^{2}}}\cdot$

L’équation des méridiennes serait alors

$-{\frac {\Omega ^{2}}{2y^{2}}}+{\frac {\mathrm {M} }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\mathrm {C} .$