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analyse de l’hypothèse de laplace

d’ailleurs

$\Delta {\frac {\omega ^{2}}{2}}\left(y^{2}+z^{2}\right)=2\omega ^{2},$

par suite

$\Delta \mathrm {U} =-\,4\pi \rho +2\omega ^{2}.$

Si nous admettons, pour simplifier, que la densité $\rho$ est uniforme dans tout l’anneau (ou plus généralement, si nous désignons par $\rho$ la densité moyenne de l’anneau), l’inégalité (2) exige que

$-4\pi \rho +2\omega ^{2}<0,$

d’où

$\rho >{\frac {\omega ^{2}}{2\pi }}\,;$

nous avons ainsi une limite inférieure de la densité de l’anneau, et a fortiori de la nébuleuse. Lorsqu’on prend pour $\omega$ la vitesse angulaire de Neptune, on trouve pour $\rho$ un chiffre tellement grand que, d’après ce chiffre, la masse totale de la nébuleuse serait très supérieure à celle du Soleil.

III. — Formation successive des anneaux.

20.Revenons à l’hypothèse de Laplace d’une très forte condensation centrale, hypothèse où nous négligeons l’action mutuelle des molécules de l’atmosphère. L’équation des surfaces de niveau est alors, nous l’avons vu dans la Section I,

${\frac {\mathrm {M} }{r}}+{\frac {\omega ^{2}}{2}}(y^{2}+z^{2})=\mathrm {C} \,;$

ces surfaces ont leurs méridiennes représentées sur la figure 2.

Si, dans cette équation, nous changeons

${\begin{array}{ccccc}x,\,y,\,z&\quad &\mathrm {en} &\quad &\lambda _{x},\,\lambda _{y},\,\lambda _{z},\\\omega &\quad &\mathrm {en} &\quad &\mu \omega ,\\\mathrm {M} &\quad &\mathrm {en} &\quad &\lambda ^{3}\mu ^{2}\mathrm {M} ,\\\mathrm {C} &\quad &\mathrm {en} &\quad &\lambda ^{2}\mu ^{2}\mathrm {C} ,\end{array}}$

cette équation ne change pas, et la figure 2 est simplement remplacée par son homothétique, le rapport d’homothétie étant $\lambda \,:$ c’est un cas de similitude mécanique.