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sur l’origine de la chaleur solaire et de la chaleur terrestre

III. — Équilibre adiabatique d’un gaz parfait^[1].

164.Nous avons posé (n^o 149) la question suivante : une masse chaude qui rayonne tend à se contracter, la contraction tend à l’échauffer ; la masse va-t-elle finalement s’échauffer ou se refroidir en perdant de la chaleur ? Nous allons approfondir cette question en supposant que la masse est formée par un gaz parfait en équilibre adiabatique : nous entendons par là un état tel que l’équilibre des températures ne soit pas altéré par la circulation, sans gain ni perte de chaleur, d’une partie de la matière dans un tube fermé sur lui-même.

La masse gazeuse va prendre évidemment, sous l’action de sa propre gravité, une forme sphérique formée de couches concentriques homogènes. Soient $r$ le rayon d’une couche sphérique d’épaisseur $dr$, $\rho$ sa densité, $\mathrm {M}$ la masse gazeuse intérieure à la sphère de rayon $r.$ Nous aurons

(5)

$d\mathrm {M} =4\pi r^{2}\rho \,dr.$

Appelant $p$ la pression, l’équation de l’Hydrostatique donne

(6)

${\frac {dp}{dr}}=-\rho {\frac {\mathrm {M} }{r^{2}}}.$

D’ailleurs, puisqu’on suit la loi adiabatique, la pression $p$ est proportionnelle à $\rho ^{\gamma }$ ($\gamma ={\frac {\mathrm {C} }{c}}$ désignant le rapport des deux chaleurs spécifiques du gaz à pression constante et à volume constant) :

$p=\mathrm {K} \rho ^{\gamma },$

d’où nous déduisons

(7)

${\frac {dp}{p}}=\gamma {\frac {d\rho }{\rho }}.$

Les trois équations (5), (6) et (7) forment un système de trois équations différentielles du premier ordre, propres à déterminer $\mathrm {M} ,$

1. J. Homer Lane : On the theoretical temperature of the Sun (American Journal of Science, juillet 1870, t. 50, p. 57-74).