Page:Lobatchevski - La Théorie des parallèles, 1980.djvu/29

pour tout triangle sphérique dont la somme des trois angles est $S,$ on peut trouver un quadrilatère de même surface, ayant deux angles droits et les deux côtés perpendiculaires égaux entre eux, et dont chacun des deux autres angles est égal à ${\frac {1}{2}}S.$

Soit maintenant $ABCD$ (fig. 19) le quadrilatère sphérique dont les côtés $AB=CD$ sont perpendiculaires sur $BC,$ et dont les angles en $A$ et en $D$ sont égaux chacun à ${\frac {1}{2}}S.$ Prolongeons les côtés $AD$ et $BC$ jusqu’à leur rencontre en $E,$ et, au delà de ce point $E,$ portons encore sur le prolongement de $AD$ la longueur $EF=DE,$ et abaissons sur le prolongement de $BC$ l’arc perpendiculaire $FG.$
Fig. 19 Partageons l’arc total $BG$ en deux parties égales, et joignons le milieu $H$ par des arcs de grands cercles aux points $A$ et $F.$ Les triangles $EFG,$ $DCE$ sont égaux (prop. 15) ; on a donc $FG=DC=AB.$ Les triangles $ABH,$ $HGF$ sont pareillement égaux, parce qu’ils sont rectangles et ont les côtés de l’angle droit égaux. Donc $AH$ et $HF$ appartiennent à un même cercle ; l’arc $AHF$ est égal à $\pi .$ L’arc $ADEF$ est pareillement égal à $\pi ,$ l’angle

${\begin{aligned}HAD=HFE&={\frac {1}{2}}S-BAH={\frac {1}{2}}S-HFG={\frac {1}{2}}S-HFE-EFG\\&={\frac {1}{2}}S-HAD-\pi +{\frac {1}{2}}S.\end{aligned}}$

Donc l’angle $HFE={\frac {1}{2}}(S-\pi ),$ ou, ce qui revient au même, $=$ la mesure du fuseau $AHFDA,$ laquelle à son tour est égale à celle du quadrilatère $ABCD,$ comme on le voit aisément, lorsqu’on passe de l’un à l’autre, en ajoutant d’abord le triangle $EFG,$ puis le triangle $BAH,$ et retranchant ensuite les

28