son prolongement au delà de la perpendiculaire. Supposons le point
situé, par rapport à la perpendiculaire, du même côté que celle
des directions de
qui est considérée comme parallèle à
Abaissons du point
sur
la perpendiculaire
et menons
ensuite
de manière qu’elle tombe à l’intérieur de l’angle
Joignons les points
et
par une droite, dont le prolongement
devra rencontrer
quelque part en
(prop. 16). Nous obtiendrons
ainsi un triangle
dans l’intérieur duquel pénétrera la
ligne
Cette dernière ligne, ne pouvant rencontrer
par
suite de la construction, et ne pouvant pas non plus rencontrer
ni
pour la seconde fois (prop. 2), coupera nécessairement
quelque part, en
(prop. 3).
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Lobatchevski_-_La_Th%C3%A9orie_des_parall%C3%A8les%2C_1980_-_Fig-1-02.png/400px-Lobatchevski_-_La_Th%C3%A9orie_des_parall%C3%A8les%2C_1980_-_Fig-1-02.png)
Fig. 2
Soit maintenant
un point sur le prolongement de
et
une perpendiculaire abaissée sur le prolongement de
Menons la ligne
faisant avec
un angle
assez
petit pour couper
quelque part en
Tirons du point
la
ligne
faisant avec
un angle égal à
et dont le prolongement
coupera
en
(prop. 16). On formera ainsi un
triangle
dans lequel pénétrera le prolongement de la ligne
Or cette ligne ne peut pas rencontrer une seconde fois
elle ne peut pas non plus couper
puisque l’angle
(prop. 7). Il faudra donc qu’elle rencontre
quelque part en
Donc, quels que soient les points
d’où partent les lignes
et quelque peu qu’elles s’écartent de la ligne
elles
couperont toujours la ligne
à laquelle
est parallèle.
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