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DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE DE L’INTÉGRALE.

Soit une valeur de non contenue dans , alors elle fait partie de l’un des intervalles qui ont été enlevés dans la construction de  ; soit cet intervalle. Aux points et de correspondent les valeurs  ;  ; alors on pose, pour tout l’intervalle  :

,

Dans la courbe se réduit donc à un segment.

Notre courbe est complètement définie ; mais, pour parler de courbe, il faut démontrer que et sont des fonctions continues de dans (0, 1). Il suffit évidemment pour cela de le démontrer seulement pour les fonctions et de définies sur . Et cela résulte du fait que, si (appartenant à ) est assez voisin de (appartenant aussi à ), les premiers chiffres , , …, de , écrits dans le système de base 3, sont les mêmes que pour , c’est-à-dire que les premiers chiffres de et d’une part, de et de d’autre part, sont les mêmes quand on écrit ces coordonnées dans le système de base 2.

Notre courbe remplit bien tout le carré, elle passe même plusieurs fois par certains points. On démontre facilement qu’il n’en peut pas être autrement[1].

Ce qui vient d’être fait dans le cas d’une et de deux dimensions peut évidemment être répété dans le cas d’un nombre quelconque de dimensions.

En particulier, dans le cas de trois dimensions, on définira le volume d’un domaine. Cela exigerait, au préalable, la définition précise d’une surface fermée et, pour la définition des domaines, des études analogues à celles de Jordan sur les courbes fermées.

  1. Ceci résulte de travaux anciens de Lüroth (Sitz. phys. med. Soc. Erlangen, t. 10) ; pour la limitation de l’ordre de multiplicité des points singuliers, voir Lebesgue, Fundamenta Mathematicæ, II, 1921.

    On trouvera, au Chapitre VII (§ V), un exemple de l’emploi qu’on peut faire dans certains raisonnements de la courbe de Peano et des courbes analogues.

    La courbe de Peano est mesurable J et d’étendue non nulle, elle ne peut servir à limiter un domaine. Il existe des courbes sans point multiple et non quarrables ; ces courbes ne sont pas mesurables J, elles peuvent servir à limiter des domaines non quarrables. Voir W.-F. Osgood, A Jordan curve of positive area (Trans. of the Amer. Mat. Soc., 1903) ou H. Lebesgue, Sur le problème des aires (Bull. de la Soc. math. de France, 1903).