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LA DÉFINITION DE L’INTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN.

brable de points est de mesure nulle. Ceci suffit pour montrer la différence qu’il y a entre un ensemble de mesure nulle et un groupe intégrable : le premier peut être partout dense, le second est toujours non dense.

Soit $f(x)$ une fonction intégrable, ses points de discontinuité sont ceux de l’ensemble obtenu par la réunion des groupes intégrables $\mathrm {G} ({\scriptstyle 1})$, $\mathrm {G} \!\left({\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\right)$, $\mathrm {G} \!\left({\scriptstyle {\frac {1}{3}}}\right)$, … ; ils forment donc un ensemble de mesure nulle.

Soit maintenant une fonction bornée $f(x)$ dont les points de discontinuité forment un ensemble de mesure nulle. $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon )$ faisant partie de cet ensemble est de mesure nulle, et il est fermé ; nous démontrerons plus tard que cela suffit pour affirmer que $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon )$ est un groupe intégrable^[1]. Il en résultera que $f$ est intégrable. Donc :

Pour qu’une fonction bornée $f(x)$ soit intégrable, il faut et il suffit que l’ensemble de ses points de discontinuité soit de mesure nulle^[2].

Comme exemple de fonction discontinue intégrable, Riemann cite la fonction

$f(x)={\frac {(x)}{1}}+{\frac {(2x)}{4}}+{\frac {(3x)}{9}}+\ldots$.

Son intégrabilité résulte du fait que les seuls points de discontinuité, étant de la forme ${x={\frac {2p+1}{2n}}}$, forment un ensemble dénombrable, donc de mesure nulle ; ou encore, du fait que, l’oscillation étant ${\frac {\pi ^{2}}{8n^{2}}}$ pour ${x={\frac {2p+1}{2n}}}$, les points en lesquels l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ sont en nombre fini.

Pour avoir une fonction intégrable ayant une infinité non dénombrable de points de discontinuité, reprenons l’ensemble $\mathrm {Z}$ qui a été défini précédemment (p. 27). La fonction $f(x)$ admettant la période 1, qui est nulle entre 0 et 1 pour tous les points,

1. Voir p. 118.
2. Dans ma Thèse, j’avais utilisé cette propriété comme condition suffisante d’intégrabilité ; dans la première édition de ce livre j’ai fait observer qu’elle était aussi une condition nécessaire. M. Vitali avait obtenu de son côté cette réciproque (Rend. del R. Ist. Lomb., série II, XXXVII, 1904).