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SUR LES NOMBRES TRANSFINIS.

connaît sa dérivée en tout point. En effet, soit ${f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)}$ la différence de deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ ayant la même dérivée finie ; $f(x)$ a une dérivée nulle en tout point. Notre procédé des chaînes nous donne

|f(x)-f(a_{0})|\leqq \varepsilon (x-a_{0})

,

quelque petit que soit $\varepsilon >0$ ; donc $f(x)$ est constante.

Le raisonnement par l’absurde est le suivant : Il existe des points ${x>a_{0}}$ pour lesquels on a l’inégalité précédente, soit $x_{0}$ le dernier des points pour lequel cette inégalité est vérifiée. Prenons, ce qui est toujours possible, $h$ assez petit positif pour que dans ${(x_{0},x_{0}+h)}$ on ait

|f(x)-f(x_{0})|\leqq \varepsilon (x-x_{0})

;

alors dans tout cet intervalle, on a

{\begin{aligned}|f(x)-f(a_{0})|&\leqq |f(x_{0})-f(a_{0})|+|f(x)-f(x_{0})|\\&\leqq \varepsilon (x_{0}-a_{0}+x-x_{0}){\text{ ;}}\end{aligned}}

ce qui montre qu’il était absurde de supposer que l’inégalité considérée n’avait pas lieu pour ${x>x_{0}}$ .

Cette forme de la démonstration a été donnée par M. Denjoy^[1].

↑ (Jour. de Math., 1915, p. 176). M. Denjoy n’obtient d’ailleurs pas cette démonstration, comme nous le faisons ici, en transformant un raisonnement déjà donné dans la première édition de ce livre ; tout au contraire, il oppose sa méthode à celles de cette première édition. Mais il ne fait allusion qu’aux démonstrations utilisant le théorème des accroissements finis ; il lui a évidemment échappé que la méthode des chaînes, puisqu’elle permettait la recherche des fonctions primitives d’une dérivée donnée, fournissait par cela même la preuve que ces fonctions étaient déterminées à une constante additive près, et que j’avais utilisé cette méthode de démonstration à la page 79 de la première édition. Seulement je ne m’y étais pas donné la peine de montrer, comme je l’ai fait dans cette édition nouvelle (page 86), que le procédé des chaînes donnait les énoncés antérieurement acquis ; je m’en étais surtout servi pour avoir de nouveaux énoncés.
Je profite de cette occasion pour dire que je ne suis pas d’accord avec M. Denjoy et certains autres auteurs qui opposent comme entièrement différents des raisonnements faits sur les dérivées, dont les uns emploient la notion d’intégrale, tandis que les autres ne l’emploient pas mais utilisent le théorème de la moyenne :

$|f(b)-f(a)|<\mathrm {M} |b-a|$ lorsque ${f'(x)<\mathrm {M} }$ .

Tout théorème basé sur l’intégration peut être exposé en ne faisant appel qu’au théorème de la moyenne. D’ailleurs, désirant donner plus d’unité de forme à cet Ouvrage, j’ai voulu, au Chapitre X, déduire de la totalisation certains théorèmes obtenus par M. Denjoy sans utiliser la totalisation, exactement comme j’avais déduit, au Chapitre IX, certains théorèmes de l’intégration ; cela m’a été très facile et je n’ai pas eu à m’écarter notablement des démonstrations mêmes de M. Denjoy, tant il y a peu opposition entre les idées utilisées dans les raisonnements qui font appel à l’intégration et ceux qui ne l’utilisent pas.

Cela, bien entendu, ne veut pas dire que je méconnais l’intérêt des diverses

[p337-1] (Jour. de Math., 1915, p. 176). M. Denjoy n’obtient d’ailleurs pas cette démonstration, comme nous le faisons ici, en transformant un raisonnement déjà donné dans la première édition de ce livre ; tout au contraire, il oppose sa méthode à celles de cette première édition. Mais il ne fait allusion qu’aux démonstrations utilisant le théorème des accroissements finis ; il lui a évidemment échappé que la méthode des chaînes, puisqu’elle permettait la recherche des fonctions primitives d’une dérivée donnée, fournissait par cela même la preuve que ces fonctions étaient déterminées à une constante additive près, et que j’avais utilisé cette méthode de démonstration à la page 79 de la première édition. Seulement je ne m’y étais pas donné la peine de montrer, comme je l’ai fait dans cette édition nouvelle (page 86), que le procédé des chaînes donnait les énoncés antérieurement acquis ; je m’en étais surtout servi pour avoir de nouveaux énoncés.
Je profite de cette occasion pour dire que je ne suis pas d’accord avec M. Denjoy et certains autres auteurs qui opposent comme entièrement différents des raisonnements faits sur les dérivées, dont les uns emploient la notion d’intégrale, tandis que les autres ne l’emploient pas mais utilisent le théorème de la moyenne :

$|f(b)-f(a)|<\mathrm {M} |b-a|$ lorsque ${f'(x)<\mathrm {M} }$ .

Tout théorème basé sur l’intégration peut être exposé en ne faisant appel qu’au théorème de la moyenne. D’ailleurs, désirant donner plus d’unité de forme à cet Ouvrage, j’ai voulu, au Chapitre X, déduire de la totalisation certains théorèmes obtenus par M. Denjoy sans utiliser la totalisation, exactement comme j’avais déduit, au Chapitre IX, certains théorèmes de l’intégration ; cela m’a été très facile et je n’ai pas eu à m’écarter notablement des démonstrations mêmes de M. Denjoy, tant il y a peu opposition entre les idées utilisées dans les raisonnements qui font appel à l’intégration et ceux qui ne l’utilisent pas.

Cela, bien entendu, ne veut pas dire que je méconnais l’intérêt des diverses

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