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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
nous n’avons considéré que le cas où la théorie des fonctions sommables donnait un sens au second membre et nous n’avons pas fait appel à la théorie de la totalisation. Convenons maintenant d’appeler totale définie de par rapport à , l’expression
,
dans le second membre de laquelle le symbole désigne la totale définie, au sens de M. Denjoy, de la fonction supposée totalisable[1].
Ce nouveau mode de totalisation, définit en même temps la totale indéfinie de par rapport à . Ces deux totales sont obtenues comme précédemment par l’emploi répété par récurrence transfinie d’opérations analogues aux opérations A et B de la page 227 :
A1. On suppose connues des totales indéfinies de dans des intervalles tendant vers
,
La fonction , égale à dans , égale à
dans , et définie d’une manière analogue dans , est prise pour totale indéfinie de dans . On achève la détermination de la totale indéfinie dans en convenant que a, en , un saut à droite égal à
et, en , un saut à gauche égal à
.
- ↑ En évitant d’employer le mot intégrale à la place de totale et le symbole à la place de symbole , je suis l’exemple de M. Denjoy qui a toujours soigneusement distingué l’intégration et la totalisation dans le vocabulaire et dans les formules.
D’autres Auteurs ont, au contraire, utilisé pour tous les cas le mot intégrale et le symbole .
Les deux façons de faire ont des avantages et des inconvénients.