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CHAPITRE XI.

Tout point $\mathrm {P} _{0}$ est alors intérieur à un domaine $\mathrm {D(P_{0})}$ tel que le rapport ${\frac {\varphi }{\psi }}$ diffère de ${f(\mathrm {P} )}$ de moins de $\varepsilon$ pour le domaine $\mathrm {D(P_{0})}$ et pour tous les domaines intérieurs, assujettis aux restrictions qui ont pu être imposées dans la définition de la dérivée. À l’aide d’un nombre fini de ces domaines $\mathrm {D(P_{0})}$ on couvrira, d’après le théorème de M. Borel (p. 112), tout le domaine $\mathrm {D}$ que l’on considère. En restreignant ces domaines $\mathrm {D(P_{0})}$ on pourra les supposer sans points intérieurs communs. Alors on aura partagé $\mathrm {D}$ en domaines partiels $\mathrm {D_{1}}$, $\mathrm {D_{2}}$, …, $\mathrm {D} _{n}$ et pris dans chacun d’eux ou au voisinage de chacun d’eux un point particulier $\mathrm {P} _{i}$, de manière que l’on ait

$\varphi (\mathrm {D} _{i})=\psi (\mathrm {D} _{i})\left[f(\mathrm {P} _{i})+\theta _{i}\varepsilon \right]\quad (-1\leqq \theta _{i}\leq +1)$.

Si ${f(\mathrm {P} )}$ est continue, on modifiera très peu ceci en supposant $\mathrm {P} _{i}$ pris dans $\mathrm {D} _{i}$.

De là résulte

$\textstyle \varphi (\mathrm {D} )=\sum \varphi (\mathrm {D} _{i})=\sum \psi (\mathrm {D} _{i})f(\mathrm {P} _{i})+\theta \varepsilon \sum |\psi (\mathrm {D} _{i})|$.

Si donc, quel que soit le morcellement de $\mathrm {D}$ en les $\mathrm {D} _{i}$ et quel que soit le choix des $\mathrm {P} _{i}$, la première somme tend vers une limite déterminée pour des $\mathrm {D} _{i}$ de plus en plus petits, et la seconde reste bornée — ce dernier fait exprime que $\psi$ est à variation bornée — on sait calculer ${\varphi (\mathrm {D} )}$.

La précision de ces aperçus conduit tout naturellement à l’intégrale de Stieltjès ; il suffit de supposer qu’il s’agit de domaines à une dimension, d’intervalles, que ${f(\mathrm {P} )}$ est ${f(x)}$, que ${\psi (\mathrm {D} )}$ est la fonction d’intervalle que nous avons attachée à une fonction ${\alpha (x)}$ à variation bornée, pour retrouver la définition posée par Stieltjès, pour ${\textstyle \int f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}$.

Mais il est clair que de ces aperçus dériveraient aussi des généralisations de cette intégrale aux fonctions de plusieurs variables. Nous n’insisterons pas puisque, dans ce Livre, nous nous bornons toujours à l’intégration des fonctions d’une variable.

des nombres attachés à des domaines et tels que les grandeurs attachées à des domaines provenant de la subdivision d’un autre domaine aient pour somme la grandeur attachée à ce dernier domaine.