constante dans tout parce que n’a pas de singularité inutile.
La dernière forme que nous avons donnée, (p. 173), à la condition d’absolue continuité se généralise donc littéralement ; de là on tirerait facilement les généralisations des autres formes de cette condition.
IV. — Signification physique de l’intégrale de Stieltjès.
Nous venons de généraliser l’un des modes de définition analytique de l’intégrale ; les autres modes de définition analytique sont susceptibles de généralisations analogues[1]. Mais n’y a-t-il pas, pour l’intégrale de Stieltjès, une définition analogue à la définition géométrique de l’intégrale, c’est-à-dire qui apparaisse comme une simple mise au point d’une définition intuitive. Ce mode de définition existe, il a certainement guidé les premières idées de Stieltjès, mais Stieltjès n’y insiste pas ; son exposé analytique donne toute satisfaction du point de vue logique de sorte que la signification intuitive de l’intégrale de Stieltjès a été un moment oubliée.
Stieltjès dit cependant : supposons qu’il y ait, répandue sur , de la matière pesante. Soit la masse située sur ; calculons le moment de la masse totale par rapport à l’origine. Pour cela, partageons l’intervalle considéré à l’aide de valeurs croissantes , nous aurons une valeur approchée du moment sous la forme
d’où, pour la valeur exacte du moment, une intégrale .
Mais la signification de l’intégrale de Stieltjès est bien plus nettement donnée par Cauchy qui avait, avant Stieltjès, considéré l’intégration par rapport à une fonction ; bien plus amplement que Stieltjès, au point de vue physique, mais sous une forme bien moins précise, au point de vue logique[2].
- ↑ Il a déjà été dit que la définition de M. W. H. Young fut généralisée la première (p. 263, en note).
- ↑ Sur le rapport différentiel de deux grandeurs qui varient simultanément (Ex. d’Analyse, t. II, p. 188-229 ; Œuvres, 2e série, t. XII, p. 214-262). Voir aussi le Traité de Mécanique analytique de l’abbé Moigno.