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CHAPITRE XI.

constante dans tout ${(v_{1},v_{2})}$ parce que ${\alpha (x)}$ n’a pas de singularité inutile.

La dernière forme que nous avons donnée, (p. 173), à la condition d’absolue continuité se généralise donc littéralement ; de là on tirerait facilement les généralisations des autres formes de cette condition.

IV. — Signification physique de l’intégrale de Stieltjès.

Nous venons de généraliser l’un des modes de définition analytique de l’intégrale ; les autres modes de définition analytique sont susceptibles de généralisations analogues^[1]. Mais n’y a-t-il pas, pour l’intégrale de Stieltjès, une définition analogue à la définition géométrique de l’intégrale, c’est-à-dire qui apparaisse comme une simple mise au point d’une définition intuitive. Ce mode de définition existe, il a certainement guidé les premières idées de Stieltjès, mais Stieltjès n’y insiste pas ; son exposé analytique donne toute satisfaction du point de vue logique de sorte que la signification intuitive de l’intégrale de Stieltjès a été un moment oubliée.

Stieltjès dit cependant : supposons qu’il y ait, répandue sur $\mathrm {O} x$, de la matière pesante. Soit ${u(x)}$ la masse située sur ${(0,x)}$ ; calculons le moment de la masse totale par rapport à l’origine. Pour cela, partageons l’intervalle considéré à l’aide de valeurs croissantes $\xi _{i}$, nous aurons une valeur approchée du moment sous la forme

$\textstyle \sum \xi _{i}[u(\xi _{i+1})-u(\xi _{i})]$ ;

d’où, pour la valeur exacte du moment, une intégrale ${\textstyle \int x\,\mathrm {d} [u(x)]}$.

Mais la signification de l’intégrale de Stieltjès est bien plus nettement donnée par Cauchy qui avait, avant Stieltjès, considéré l’intégration par rapport à une fonction ; bien plus amplement que Stieltjès, au point de vue physique, mais sous une forme bien moins précise, au point de vue logique^[2].

1. Il a déjà été dit que la définition de M. W. H. Young fut généralisée la première (p. 263, en note).
2. Sur le rapport différentiel de deux grandeurs qui varient simultanément (Ex. d’Analyse, t. II, p. 188-229 ; Œuvres, 2^e  série, t. XII, p. 214-262). Voir aussi le Traité de Mécanique analytique de l’abbé Moigno.