puisque ces intervalles sont, chacun, tout entiers dans ou [1]. Dans chaque intervalle de l’axe des on a
De la première inégalité nous avons déjà déduit que était mesurable, car elle entraîne , la sommation étant étendue aux intervalles communs à et . La seconde nous donne et nous montre que les sont mesurables par rapport à en convenant que : un ensemble est dit mesurable par rapport à s’il peut être enfermé dans une infinité d’intervalles ouverts et si l’on peut enfermer le complémentaire de dans une infinité d’intervalles ouverts , tels que la somme , étendue aux intervalles communs à et , soit aussi petite que l’on veut.
Ainsi nous avons défini pour des ensembles qui sont à la fois mesurables au sens ordinaire et mesurables par rapport à [2] ; si nous nous arrêtions là, la mesurabilité au sens ordinaire jouerait un rôle à part. Nous ne généraliserons complètement la théorie de la mesure qu’en définissant la mesure par rapport à pour tous les ensembles mesurables par rapport à , sans exiger de plus qu’ils soient mesurables au sens ordinaire. C’est ce que nous allons faire maintenant[3].
Le problème de la mesure que nous avons résolu au Chapitre VII peut être énoncé comme il suit.
Trouver une fonction d’ensemble qui soit :
1o Positive ou nulle ;
2o Complètement additive ;
3o Qui, pour les intervalles ouverts et fermés, se réduise à la mesure connue de ces intervalles.
Lorsqu’il s’agit de la mesure par rapport à une fonction non décroissante, on peut conserver exactement cet énoncé. Alors