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CHAPITRE XI.

puisque ces intervalles sont, chacun, tout entiers dans ${\mathcal {E}}_{t}$ ou ${\mathcal {F}}_{t}$^[1]. Dans chaque intervalle de l’axe des $x$ on a

$\delta x\leqq \delta t$,$\delta \mathrm {V} <\delta t$.

De la première inégalité nous avons déjà déduit que $\mathrm {E} _{x}$ était mesurable, car elle entraîne ${\textstyle \sum \delta x\leqq \varepsilon }$, la sommation étant étendue aux intervalles communs à $e_{x}$ et $f_{x}$. La seconde nous donne ${\textstyle \sum \delta \mathrm {V} <\varepsilon }$ et nous montre que les $\mathrm {E} _{x}$ sont mesurables par rapport à ${\alpha (x)}$ en convenant que : un ensemble $\mathrm {E} _{x}$ est dit mesurable par rapport à ${\alpha (x)}$ s’il peut être enfermé dans une infinité d’intervalles ouverts $e_{x}$ et si l’on peut enfermer le complémentaire $\mathrm {F} _{x}$ de $\mathrm {E} _{x}$ dans une infinité d’intervalles ouverts $f_{x}$, tels que la somme ${\textstyle \sum \delta \mathrm {V} }$, étendue aux intervalles communs à $e_{x}$ et $f_{x}$, soit aussi petite que l’on veut.

Ainsi nous avons défini ${m_{\alpha (x)}(\mathrm {E} )}$ pour des ensembles qui sont à la fois mesurables au sens ordinaire et mesurables par rapport à ${\alpha (x)}$^[2] ; si nous nous arrêtions là, la mesurabilité au sens ordinaire jouerait un rôle à part. Nous ne généraliserons complètement la théorie de la mesure qu’en définissant la mesure par rapport à ${\alpha (x)}$ pour tous les ensembles mesurables par rapport à ${\alpha (x)}$, sans exiger de plus qu’ils soient mesurables au sens ordinaire. C’est ce que nous allons faire maintenant^[3].

Le problème de la mesure que nous avons résolu au Chapitre VII peut être énoncé comme il suit.

Trouver une fonction d’ensemble qui soit :

1^o Positive ou nulle ;

2^o Complètement additive ;

3^o Qui, pour les intervalles ouverts et fermés, se réduise à la mesure connue de ces intervalles.

Lorsqu’il s’agit de la mesure par rapport à une fonction ${\alpha (x)}$ non décroissante, on peut conserver exactement cet énoncé. Alors

1. Comparer, page 169.
2. Nous avons défini ${m_{\alpha (x)}(\mathrm {E} )}$ pour tous les ensembles remplissant ces deux conditions à la fois.
3. On remarquera que le résultat auquel nous allons arriver est celui que fournirait le changement de variable ${v=\mathrm {V} (x)}$ utilisé à la place du changement ${t=x+\mathrm {V} (x)}$.