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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

points de discontinuité ait, par rapport à la fonction déterminante ${\alpha (x)}$, une mesure nulle.

N’étudions pas plus longuement la définition primitive de l’intégrale de Stieltjès et, pour préparer une définition plus large de cette intégrale, définissons la mesure d’un ensemble, prise par rapport à une fonction ${\alpha (x)}$ à variation bornée.

Nous convenons que la mesure de l’intervalle fermé ${(l,m)}$ est

$m_{\alpha (x)}\left[l\leqq x\leqq m\right]=\alpha (m+0)-\alpha (l-0)$,

que la mesure d’un point $x_{0}$ est

$m_{\alpha (x)}(x_{0})=\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0}-0)$ ;

de là on déduit la mesure d’un intervalle ouvert ou à demi ouvert en soustrayant de la mesure d’un intervalle fermé la mesure de l’un ou de l’autre ou de ses deux points extrêmes.

Il est évident que cette fonction d’intervalles est complètement additive ; il lui correspond donc (p. 167), une fonction d’ensemble complètement additive et définie en particulier pour tous les ensembles mesurables B. Nous allons compléter ce résultat.

Rappelons que les ensembles $\mathrm {E} _{x}$ pour lesquels nous avons défini la fonction ${{\mathcal {A}}_{\alpha (x)}(\mathrm {E} _{x})}$, que nous noterons ici ${m_{\alpha (x)}(\mathrm {E} _{x})}$, sont ceux qui sont transformés en ensembles ${\mathcal {E}}_{t}$ mesurables par rapport à $t$ grâce au changement de variable

$t=x+\mathrm {V} (x)$ ;

${\mathrm {V} (x)}$ désignant toujours la variation totale de ${\alpha (x)}$ de $a$ à $x$ ; ce changement de variable étant interprété comme il a été expliqué à la page 168.

Dire que ${\mathcal {E}}_{t}$ est mesurable, c’est dire qu’on peut l’enfermer dans un ensemble $e_{t}$ d’intervalles ouverts, et qu’on peut enfermer son complémentaire ${\mathcal {F}}_{t}$ dans un ensemble $f_{t}$ d’intervalles ouverts tels que la longueur des parties communes à $e_{t}$ et $f_{t}$ soit $\varepsilon$, aussi petit que l’on veut. À $e_{t}$ et $f_{t}$ correspondent des ensembles $e_{x}$ et $f_{x}$ d’intervalles enfermant $\mathrm {E} _{x}$ et son complémentaire $\mathrm {F} _{x}$, si l’on a eu soin de choisir les intervalles constituant $e_{t}$ et $f_{t}$ de façon qu’aucun d’eux n’ait une extrémité à l’intérieur d’un intervalle ${(t_{1},t_{2})}$ correspondant à un point singulier de ${\alpha (x)}$ ; ce qui est possible