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CHAPITRE XI.
(Quelques fluctuations dans les notations, et une erreur de fermeture de valeur absolue ; je corrige tout cela sans utiliser le modèle {{corr}}
. — ElioPrrl (d) 15 janvier 2021 à 17:01 (UTC) ; quelques détails dans la page de discussion.)
Avec ces conventions, on a
.
Pour justifier cet énoncé, partageons en intervalles partiels dans chacun desquels l’oscillation de est inférieure à . Dans chaque intervalle choisissons arbitrairement une valeur et posons
,
.
Alors on a
Le théorème résulte de suite du rapprochement de ces deux inégalités.
La fonction a, dans , une variation totale égale à ; a donc presque partout une dérivée égale à ±1 et par suite on peut supposer partout égale à ±1. Cela rend la formule précédente particulièrement simple ; mais, pour ce qui suit, les formules plus compliquées obtenues auparavant conviendraient aussi fort bien ; c’est surtout pour fixer les idées que nous partirons d’une formule bien déterminée de réduction des intégrales de Stieltjès aux intégrales ordinaires ; nous utiliserons la dernière formule établie. Elle exige que soit connue la théorie des fonctions sommables ; mais, dès que cette théorie est connue, le second membre de notre formule a un sens pour des cas beaucoup