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CHAPITRE XI.

(Quelques fluctuations dans les notations, et une erreur de fermeture de valeur absolue ; je corrige tout cela sans utiliser le modèle {{corr}}. — ElioPrrl (d) 15 janvier 2021 à 17:01 (UTC) ; quelques détails dans la page de discussion.)

Avec ces conventions, on a

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{0}^{\mathrm {V} }f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$.

Pour justifier cet énoncé, partageons ${(a,b)}$ en intervalles partiels $\delta _{i}$ dans chacun desquels l’oscillation de $f(x)$ est inférieure à $\varepsilon$. Dans chaque intervalle ${\delta _{i}=(l_{i},m_{i})}$ choisissons arbitrairement une valeur ${l_{i}\leqq \xi _{i}\leqq m_{i}}$ et posons

${\Delta _{i}=\left[\mathrm {V} (l_{i}),\mathrm {V} (m_{i})\right]}$,${\Delta _{i}\mathrm {V} =\mathrm {V} (m_{i})-\mathrm {V} (l_{i})]}$.

Alors on a

${\begin{aligned}&\quad \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]-\sum _{i}{\big [}f(\xi _{i})\{\alpha (m_{i})-\alpha (l_{i})\}{\big ]}\right\vert \\&\qquad =\left\vert \sum _{i}\int _{\delta _{i}}\left[f(x)-f(\xi _{i})\right]\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\right\vert \\&\qquad \leqq \sum _{i}\left[\varepsilon \int _{\delta _{i}}\mathrm {dV} (x)\right]=\varepsilon \sum _{i}\Delta _{i}\mathrm {V} =\varepsilon \mathrm {V} {\text{ ;}}\\&\left\vert \int _{0}^{\mathrm {V} }f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v-\sum _{i}{\big [}f(\xi _{i})\{\alpha (m_{i})-\alpha (l_{i})\}{\big ]}\right\vert \\&\qquad =\left\vert \sum _{i}\int _{\Delta _{i}}{\big \{}f[x(v)]-f(\xi _{i}){\big \}}.{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v\right\vert \\&\qquad \leqq \sum _{i}\left[\varepsilon \int _{\Delta _{i}}\left\vert {'\!\mathrm {A} (v)}\right\vert \,\mathrm {d} v\right]=\varepsilon \sum _{i}\Delta _{i}\mathrm {V} =\varepsilon \mathrm {V} {\text{.}}\end{aligned}}$

Le théorème résulte de suite du rapprochement de ces deux inégalités.

La fonction ${\mathrm {A} (v)}$ a, dans ${(v_{1},v_{2})}$, une variation totale égale à ${v_{2}-v_{1}}$ ; ${\mathrm {A} (v)}$ a donc presque partout une dérivée égale à ±1 et par suite on peut supposer ${'\!\mathrm {A} (v)}$ partout égale à ±1. Cela rend la formule précédente particulièrement simple ; mais, pour ce qui suit, les formules plus compliquées obtenues auparavant conviendraient aussi fort bien ; c’est surtout pour fixer les idées que nous partirons d’une formule bien déterminée de réduction des intégrales de Stieltjès aux intégrales ordinaires ; nous utiliserons la dernière formule établie. Elle exige que soit connue la théorie des fonctions sommables ; mais, dès que cette théorie est connue, le second membre de notre formule a un sens pour des cas beaucoup