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LA TOTALISATION.

Il est clair que ${\mathrm {F} (x)}$ ne peut avoir en $x_{0}$ deux dérivées approximatives différentes $f(x_{0})$, $g(x_{0})$, car elles seraient les dérivées de ${\mathrm {F} (x)}$ sur deux ensembles ${\mathrm {E} (f)}$, ${\mathrm {E} (g)}$ ayant tous deux la densité 1 en $x_{0}$. Par suite, ${\mathrm {E} (f)}$ et ${\mathrm {E} (g)}$ auraient en commun des points aussi voisins de $x_{0}$ qu’on le veut, et par suite $f(x_{0})$ et $g(x_{0})$ seraient égales.

De là il résulte en particulier que la dérivée approximative coïncide avec la dérivée ordinaire quand celle-ci existe ; d’ailleurs si ${\mathrm {F} '_{a}(x_{0})}$ est la dérivée approximative de ${\mathrm {F} (x)}$ en $x_{0}$, et si $\lambda _{g}$, $\Lambda _{g}$, $\lambda _{d}$, $\Lambda _{d}$ sont les quatre nombres dérivés de ${\mathrm {F} (x)}$ en $x_{0}$, on a

$\lambda _{g}<\mathrm {F} '_{a}(x_{0})<\Lambda _{g}$,$\lambda _{d}<\mathrm {F} '_{a}(x_{0})<\Lambda _{d}$,

car ${\mathrm {F} '_{a}(x_{0})}$ est la limite de rapports ${r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}$ pour lesquels $h$ est positif, et de rapports pour lesquels $h$ est négatif.

Une fonction totalisable est presque partout la dérivée approximative de sa totale indéfinie.

En effet, presque partout aux points de ${\mathrm {H} _{\alpha -1}-\mathrm {H} _{\alpha }}$ la fonction totalisable $f(x)$ est la dérivée, prise sur ${\mathrm {H} _{\alpha -1}-\mathrm {H} _{\alpha }}$, de sa totale ${\mathrm {F} (x)}$. Mais, presque partout sur ${\mathrm {H} _{\alpha -1}-\mathrm {H} _{\alpha }}$, la densité de ${\mathrm {H} _{\alpha -1}-\mathrm {H} _{\alpha }}$ est égale à 1 ; donc, presque partout sur ${\mathrm {H} _{\alpha -1}-\mathrm {H} _{\alpha }}$, $f(x)$ est la dérivée approximative de ${\mathrm {F} (x)}$, et le théorème est démontré.

Ce théorème généralise celui relatif aux fonctions sommables — une fonction sommable est presque partout la dérivée de son intégrale indéfinie —, mais à l’aide d’une généralisation de la notion de dérivée ordinaire. Pour voir ce que donne cette notion elle-même, comparons une fonction totalisée aux nombres dérivés de sa totale, ce que nous permettent de faire les raisonnements des pages 221 et suivantes.

Remarquons tout d’abord que pour démontrer qu’une propriété n’a lieu tout au plus qu’aux points d’un ensemble de mesure non nulle, il suffit de montrer qu’elle n’a jamais lieu en tous les points d’un ensemble fermé de mesure non nulle^[1]. Si, en effet, elle avait lieu en tous les points d’un ensemble ${\mathcal {E}}$ de mesure non

1. Cette remarque est utilisée constamment par M. Denjoy.