Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/249

Cette page a été validée par deux contributeurs.

233

LA TOTALISATION.

Notre énoncé est ainsi légitimé. Nous allons maintenant démontrer un énoncé équivalent, dû à M. Denjoy^[1].

Lorsqu’une fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$ est telle que la série

\textstyle \sum \left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]

,

étendue aux intervalles contigus à un ensemble fermé $\mathrm {E}$ , est convergente, convenons de dire que l’accroissement^[2] de ${\mathrm {F} (x)}$ sur $\mathrm {E}$ est défini et égal à

\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)-{\textstyle \sum }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]

.

Lorsqu’il en est ainsi, l’accroissement de ${\mathrm {F} (x)}$ sur $\mathrm {E}$ est la limite de l’accroissement de ${\mathrm {F} (x)}$ dans une famille $\mathrm {I}$ d’intervalles, formée d’un nombre fini d’intervalles non empiétants, ayant pour origines et extrémités des points de $\mathrm {E}$ , qui enferme $\mathrm {E}$ et dont on fait tendre la mesure ${m(\mathrm {I} )}$ vers celle de $\mathrm {E}$ ; le complémentaire de $\mathrm {I}$ est, en effet, formé d’intervalles contigus à $\mathrm {E}$ et tout intervalle contigu à $\mathrm {E}$ finit par faire partie de ce complémentaire quand ${m(\mathrm {I} )}$ tend vers ${m(\mathrm {E} )}$ ^[3]. En particulier, quand la fonction ${\mathrm {G} (x)}$ relative à $\mathrm {E}$ est absolument continue, l’accroissement ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(\mathrm {E} )}$ de ${\mathrm {F} (x)}$ sur $\mathrm {E}$ est défini et égal au nombre ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(\mathrm {E} )}$ qui résulte des

↑ Le principal intérêt de l’énoncé de M. Denjoy, vient de ce qu’il est l’aboutissement d’une fine analyse de certaines notions, de celle de fonction à variation bornée, par exemple. Le lecteur se reportera aux Mémoires de M. Denjoy.
Il faut dire aussi que la condition suffisante de M. Denjoy exige moins, en apparence nécessairement, que la précédente, et par suite, pourrait être parfois d’une utilisation plus immédiate. Pourtant, dans ce qui suit, nous n’avons pas eu besoin de l’énoncé de M. Denjoy.

Pour mieux montrer la différence entre les deux énoncés, remarquons que le premier est équivalent au suivant : Pour qu’une fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$ soit une totale indéfinie, il faut et il suffit que, quel que soit l’ensemble fermé $\mathrm {E}$ , il existe un intervalle ${(l,m)}$ contenant des points de $\mathrm {E}$ à son intérieur et tels que, si l’on prend un ensemble $\mathrm {I}$ d’intervalles non empiétants dont les extrémités appartiennent à $\mathrm {E}$ et à ${(l,m)}$ , la somme des accroissements de ${\mathrm {F} (x)}$ dans les intervalles $\mathrm {I}$ , tende vers zéro avec la mesure de $\mathrm {I}$ .

Si l’on rapproche cet énoncé de celui qui va être donné dans le texte, on voit que ce dernier exige comme condition suffisante qu’une certaine propriété soit vérifiée par tout ensemble fermé de mesure nulle alors que l’énoncé de cette note exige que cette même propriété ait lieu en quelque sorte uniformément.
↑ M. Denjoy emploie le mot variation à la place d’accroissement.
↑ L’accroissement de ${\mathrm {F} (x)}$ sur $\mathrm {E}$ est donc défini par l’un, déterminé, des procédés que l’on peut adopter quand on tient compte de la nature mesurable B de $\mathrm {E}$ . Voir page 156.

[1] Le principal intérêt de l’énoncé de M. Denjoy, vient de ce qu’il est l’aboutissement d’une fine analyse de certaines notions, de celle de fonction à variation bornée, par exemple. Le lecteur se reportera aux Mémoires de M. Denjoy.
Il faut dire aussi que la condition suffisante de M. Denjoy exige moins, en apparence nécessairement, que la précédente, et par suite, pourrait être parfois d’une utilisation plus immédiate. Pourtant, dans ce qui suit, nous n’avons pas eu besoin de l’énoncé de M. Denjoy.

Pour mieux montrer la différence entre les deux énoncés, remarquons que le premier est équivalent au suivant : Pour qu’une fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$ soit une totale indéfinie, il faut et il suffit que, quel que soit l’ensemble fermé $\mathrm {E}$ , il existe un intervalle ${(l,m)}$ contenant des points de $\mathrm {E}$ à son intérieur et tels que, si l’on prend un ensemble $\mathrm {I}$ d’intervalles non empiétants dont les extrémités appartiennent à $\mathrm {E}$ et à ${(l,m)}$ , la somme des accroissements de ${\mathrm {F} (x)}$ dans les intervalles $\mathrm {I}$ , tende vers zéro avec la mesure de $\mathrm {I}$ .

Si l’on rapproche cet énoncé de celui qui va être donné dans le texte, on voit que ce dernier exige comme condition suffisante qu’une certaine propriété soit vérifiée par tout ensemble fermé de mesure nulle alors que l’énoncé de cette note exige que cette même propriété ait lieu en quelque sorte uniformément.

[2] M. Denjoy emploie le mot variation à la place d’accroissement.

[3] L’accroissement de ${\mathrm {F} (x)}$ sur $\mathrm {E}$ est donc défini par l’un, déterminé, des procédés que l’on peut adopter quand on tient compte de la nature mesurable B de $\mathrm {E}$ . Voir page 156.

[1]

[2]

[3]