Une fonction est une totale indéfinie si, et seulement si :
1o Elle est continue ;
2o étant un ensemble fermé, la fonction continue égale à aux points de et linéaire dans tout intervalle contigu à , est absolument continue dans un intervalle contenant à son intérieur des points de .
Ces conditions sont nécessaires ; les deux propriétés, énoncées page 228, que possède une fonction totalisable , entraînent de suite les propriétés précédentes pour la totale indéfinie de .
Ces conditions sont suffisantes ; car dès qu’elles sont remplies, on peut, par référence transfinie, construire une fonction dont est la totale indéfinie, en opérant comme il suit :
Prenons pour ensemble l’intervalle lui-même, est identique à ; donc l’ensemble des points de non absolue continuité de est partout non dense dans . Soit cet ensemble. En dehors de , on prend pour la dérivée de là où elle existe et, par exemple, zéro là où elle n’existe pas.
Prenons ensuite pour ensemble . La fonction correspondante sera nommée . Les points où n’est pas absolument continue, forment un ensemble fermé partout non dense sur . Aux points de , on prend pour la dérivée de là où elle existe et zéro aux autres points.
D’une façon générale, quand en continuant ainsi, on a défini , sauf aux points d’un ensemble fermé , on prend pour ensemble ; la fonction correspondante, que nous appellerons , est absolument continue, sauf aux points d’un ensemble fermé . Aux points de , on prend pour la dérivée de aux points où elle existe et zéro aux autres points.
Pour compléter la définition de , il suffit de dire que par , étant un nombre transfini de seconde espèce, on entend l’ensemble des points communs à tous les d’indice inférieur à .
