si a été fournie par , on a
![{\displaystyle \mathrm {F} (\beta _{i})-\mathrm {F} (\alpha _{i})=\int _{e^{i}}f\,\mathrm {d} x+\sum _{(\alpha _{i},\beta _{i})}^{e^{i}}\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41f5e3ff11fe1fa2c4728142d3bea597bd97031)
Donc, dans tous les cas,
![{\displaystyle \mathrm {F} (m)-\mathrm {F} (l)=\int _{e^{0}}f\,\mathrm {d} x+\sum _{(l,m)}^{e^{0}}\left[\mathrm {F} (\beta _{i})-\mathrm {F} (\alpha _{i})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111eca338ebebb0ac95d9d90cb6ee718d73dec37)
En d’autres termes, l’opération B s’applique à ; la seconde condition énoncée page 228 est donc remplie par [1].
Nous avons donc caractérisé les fonctions totalisables ; essayons de caractériser les fonctions fournies par la totalisation : les totales indéfinies[2].
- ↑ Le lecteur pourra aussi utiliser ce mode de raisonnement pour prouver que si l’on a réussi à attacher une totale définie à prise dans à l’aide des opérations A et B, mais en assujettissant les ensembles fermés figurant dans l’énoncé de B aux conditions indiquées dans cet énoncé et, en plus, à des conditions supplémentaires (page 226), le nombre obtenu est celui que la totalisation générale aurait attaché à prise dans .
En d’autres termes, qu’il n’y a jamais désaccord entre les nombres ou fonctions fournies par des totalisations spéciales et par la totalisation générale.
Il est inutile de développer ce raisonnement ici, car aux paragraphes II et III de ce Chapitre, nous avons justifié l’emploi de la totalisation générale pour la recherche des fonctions primitives ; seulement, nous avons remarqué de plus que certaines totalisations spéciales suffisaient pour obtenir le résultat.
- ↑ Aux Comptes rendus, en 1912, M. Denjoy a résolu le problème des fonctions primitives pour les dérivées à l’aide d’une totalisation spéciale qu’il a appelée depuis la totalisation complète. Aux Comptes rendus, en 1915, il a introduit implicitement la totalisation générale pour résoudre le problème des fonctions primitives des nombres dérivés. Ce n’est que dans ses Mémoires, publiés à partir de 1916, qu’il a abordé l’étude de l’ensemble des questions se rapportant à la totalisation. Avant la publication de ces Mémoires, divers auteurs, partant des résultats déjà publiés par M. Denjoy, avaient, de leur côté, entrepris l’étude de ces questions.
Il convient surtout de dire ici que M. Lusin a, le premier, caractérisé les totales indéfinies (Comptes rendus, 1912), et qu’il a, le premier, étudié la dérivation des totales indéfinies (Thèse de Moscou, 1915), mais il ne l’a fait que pour les totales indéfinies fournies par la totalisation complète.
M. Khintchine (Comptes rendus, 1916) a introduit, pour étudier la dérivation des totales indéfinies fournies par la totalisation générale, un mode nouveau de dérivation fournissant ce qu’il a appelé la dérivée asymptotique et que nous nommerons, avec M. Denjoy, la dérivée approximative.
