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LA TOTALISATION.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

possibles, $f(x)$ est dite totalisable et la totalisation fait alors correspondre à $f(x)$ une fonction ${\mathrm {F} (x)}$ continue dans tout ${(a,b)}$ qui est la totale indéfinie de $f(x)$ ; ${\mathrm {F} (x)}$ n’est déterminée qu’à une constante additive près. Si ${(l,m)}$ est un intervalle quelconque contenu dans ${(a,b)}$, l’accroissement ${\mathrm {F} (m)-\mathrm {F} (l)}$ de ${\mathrm {F} (x)}$ dans ${(l,m)}$ est la totale définie de $f(x)$ dans ${(l,m)}$. La totalisation est donc susceptible d’être considérée pour deux fins différentes ; l’obtention d’une fonction, c’est la totalisation indéfinie ; l’obtention d’un nombre, c’est la totalisation définie^[1].

Les opérations de la totalisation sont construites à partir des deux suivantes :

A. On suppose connues des totales indéfinies ${\mathrm {F} _{k}(x)}$ dans des intervalles ${(a_{k},b_{k})}$ tels que l’on ait

$l<\ldots <a_{2}<a_{1}<b_{1}<b_{2}<\ldots <m$.

les $a_{k}$ tendant vers $l$ et les $b_{k}$ vers $m$. Alors on forme la fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$, égale à ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ dans ${(a_{k},b_{k})}$, égale à

$\left[\mathrm {F} _{k}(x)-\mathrm {F} _{k}(a_{k-1})\right]+\left[\mathrm {F} _{k-1}(a_{k-1})-\mathrm {F} _{k-1}(a_{k-2})\right]+\ldots +\mathrm {F} _{1}(a_{1})$

dans ${(a_{k},a_{k-1})}$ et égale à

$\left[\mathrm {F} _{k}(x)-\mathrm {F} _{k}(b_{k-1})\right]+\left[\mathrm {F} _{k-1}(b_{k-1})-\mathrm {F} _{k-1}(b_{k-2})\right]+\ldots +\mathrm {F} _{1}(b_{1})$

dans ${(b_{k},b_{k-1})}$, que l’on prend pour totale indéfinie de $f(x)$ dans ${(l,m)}$.

B. On a un ensemble fermé $\mathrm {E}$ contenu dans un intervalle ${(l,m)}$ ; on suppose connues des totales de $f(x)$ dans les divers intervalles ${(\alpha ,\beta )}$ contigus à $\mathrm {E}$, par rapport à ${(l,m)}$, on suppose que la série ${\textstyle \sum \left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$, fournie par ces totales, est

1. Ce langage très cohérent, introduit par M. Denjoy, montre bien le parallélisme complet entre totalisation et intégration. Il faut noter pourtant que, dans le cas de l’intégration, c’est la notion d’intégrale définie qui est primordiale, tandis que, dans le cas de la totalisation, c’est la notion de totale indéfinie qui la plus importante. La totalisation se rattache plus directement à l’intégration des équations différentielles qu’au calcul des quadratures : la totale définie analogue à l’intégrale définie de Duhamel (Chap. VI).