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CHAPITRE X.
Or, M. Denjoy a obtenu, relativement à tout nombre dérivé une proposition qui, pour la recherche de la fonction primitive, remplace exactement la précédente et que l’on peut énoncer :
Lorsque le nombre dérivé supérieur à droite
d’une fonction continue
est partout fini ou du moins jamais égal à
, il est ponctuellement non borné supérieurement sur tout ensemble fermé.
Ou, d’une façon plus précise : Lorsque le nombre dérivé supérieur à droite
d’une fonction continue
n’est égal à
en aucun point d’un ensemble fermé
, il existe un nombre positif
et un intervalle
contenant à son intérieur des points de
et tels que, pour tout intervalle
dont l’origine est point de
et de
, on ait
![{\displaystyle r[\mathrm {F} (x),\alpha ,\beta ]<\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a67b3943c6247b58e48330b29c7bb58b0df9787)
.
Il est clair que le second énoncé entraîne le premier[1] ; il est clair aussi que, lorsque nous les aurons démontrés pour tout ensemble parfait, ils seront prouvés par cela même pour tout ensemble fermé
puisque tout point isolé de
est point en lequel
n’est pas égal à
et par suite peut être enfermé dans un intervalle
satisfaisant aux conditions du second énoncé.
Démontrons le second énoncé[2].
Désignons par
l’ensemble des points
d’un ensemble parfait
pour lesquels on a
![{\displaystyle r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]\leqq \mathrm {n} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c954e18663ed9a88dbe9268eeb1ef4b34f70e3c)
,
dès que l’on a
;
est un ensemble fermé, puisque
est, pour
, une fonction continue de l’ensemble des deux variables
et
dont dépend ce rapport.
L’ensemble
des points communs à tous les
, de même indice
, est donc aussi un ensemble fermé.
est la somme des
puisque
est supposé fini en tout point de
ou du moins non égal à
. Donc, en raisonnant comme à la page 203, on
- ↑ Ce second énoncé précise le premier comme celui de la page 203 précise la condition nécessaire pour qu’une fonction soit de classe un.
- ↑ Les deux énoncés précédents remplacent la proposition que M. Denjoy appelle le premier théorème fondamental (descriptif) relatif aux nombres dérivés.