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LA TOTALISATION.

de l’un ou de l’autre des deux procédés de recherche que nous avons décrits^[1].

À la vérité, certaines de ces opérations sont très simples ; par exemple, pour ${\mathrm {F} _{2}(x)}$ l’opération $\mathrm {O} _{2}$ de la totalisation se réduit à choisir les fonctions primitives dans les intervalles contigus à $\mathrm {E}$ qui sont nulles aux origines de ces intervalles contigus ; il n’y a pas à intégrer sur $\mathrm {E}$, puisque ${\mathrm {F} _{2}'(x)}$ est nulle sur $\mathrm {E}$. Mais il suffirait d’ajouter à chaque fonction ${\mathrm {F} _{\alpha }(x)}$ une fonction ${u_{\alpha }(x)}$ à dérivée continue, pour avoir une fonction ${{\mathcal {F}}_{\alpha }(x)}$ dont la détermination à partir de sa dérivée nécessiterait toutes les opérations $\mathrm {O} _{1}$, $\mathrm {O} _{2}$, jusqu’à $\mathrm {O} _{\alpha }$, ces opérations comportant des intégrations sur des ensembles ; intégrations exactes dans le premier procédé, celui de la totalisation, et intégrations approchées dans le second.

III. — Les fonctions primitives des nombres dérivés partout finis.

Lorsqu’on essaie d’étendre à la détermination de la fonction primitive d’un nombre dérivé donné partout fini les procédés du paragraphe précédent, on est arrêté dès les premiers pas. Ces procédés sont en effet basés sur le fait qu’une dérivée est une fonction de classe un au plus, et par suite est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait ; or, nous savons seulement, page 175, que les nombres dérivés sont de seconde classe au plus et de là nous avons pu déduire seulement qu’ils sont mesurables B.

Si l’on examine d’un peu plus près les deux procédés du paragraphe précédent, on remarque que, tandis que le second utilise bien le fait que la dérivée est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait, le premier s’appuie seulement, en réalité, sur une proposition qu’on pourrait formuler ainsi : Une fonction dérivée partout finie est ponctuellement non bornée sur tout ensemble parfait ou fermé^[2].

1. Il arrive en effet que, sur les ensembles fermés que la suite transfinie d’opérations conduit à considérer, il y a identité entre les points de discontinuité de la dérivée, ses points de non-sommabilité et les points autour desquels la dérivée est non bornée.
2. Il convient de faire à l’occasion de cet énoncé et des suivants une observation analogue à celle formulée en note, page 99 ; on doit donc comprendre que toute dérivée est soit bornée, soit ponctuellement non bornée sur tout ensemble fermé.