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CHAPITRE X.
étant un nombre positif arbitrairement choisi, nous allons construire une fonction
qui ne s’écarte de
que de
au plus, au point de vue différentiel ; c’est-à-dire qui est telle que, dans tout intervalle positif
, on ait
![{\displaystyle \left\vert \left[\Phi (\beta )-\Phi (\alpha )\right]-\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]\right\vert \leqq \eta \,(\beta -\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bc8a909d7746aec92f7e7d46b1b2d0db0feaeb)
.
Il est clair que si l’on sait construire cette fonction
quel que soit
, on en déduira
par un passage à la limite[1]. La construction de la fonction
est basée sur les remarques suivantes :
Si l’on connaît une jonction
pour l’intervalle positif
et une fonction
pour l’intervalle positif
, la fonction
égale à dans
et donnée par
![{\displaystyle \Psi (x)=\Phi _{2}(x)-\Phi _{2}(x_{2})+\Phi _{1}(x_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9832e0d6cbc797df396ad76801dded88ea12099)
dans
, est une fonction
pour
. En effet, si l’on prend un intervalle
situé dans
ou
, il est clair que l’on a
![{\displaystyle \left\vert \left[\Psi (\beta )-\Psi (\alpha )\right]-\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]\right\vert \leqq \eta \,(\beta -\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1c1378c7a4e390a5ef8b8a74cef928449fba36)
;
si l’on a
![{\displaystyle x_{1}\leqq \alpha <x_{2}<\beta \leqq x_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e3add9068a2903bdc4c9fa47cab34e1b3c7341)
,
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left|\left[\Psi (\beta )-\Psi (\alpha )\right]-\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]\right|\\&\;\;<\left\vert \left[\Psi (\beta )-\Psi (x_{2})\right]-\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (x_{2})\right]\right\vert \\&\;\;\quad +\left\vert \left[\Psi (x_{2})-\Psi (\alpha )\right]-\left[\mathrm {F} (x_{2})-\mathrm {F} (\alpha )\right]\right\vert \leqq \eta \,(\beta -x_{2})+\eta \,(x_{2}-\alpha ){\text{.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5963057ef23142dece80b9b62ecb478811603eab)
Il suffit évidemment de prouver que la fonction
résultant de la construction de l’énoncé est continue au point
. Or on a, en supposant, par exemple, la suite croissante et
![{\displaystyle \left\vert \left[\Psi (x)-\Psi (x_{n})\right]-\left[\mathrm {F} (x)-\mathrm {F} (x_{n})\right]\right\vert \leqq \eta \,(x-x_{n})\leqq \eta \,(\mathrm {X} -x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1223e5c5c052fdec31f9beecd4c9875a7fedc694)
;
- ↑ Le nombre dérivé supérieur à droite
, par exemple, tend vers
quand
tend vers zéro ; on comparera les constructions de
et de la fonction
définie page 206.