Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/230

214

CHAPITRE X.

$\eta$ étant un nombre positif arbitrairement choisi, nous allons construire une fonction ${\Phi (x)}$ qui ne s’écarte de ${\mathrm {F} (x)}$ que de $\eta$ au plus, au point de vue différentiel ; c’est-à-dire qui est telle que, dans tout intervalle positif ${(\alpha ,\beta )}$, on ait

$\left\vert \left[\Phi (\beta )-\Phi (\alpha )\right]-\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]\right\vert \leqq \eta \,(\beta -\alpha )$.

Il est clair que si l’on sait construire cette fonction ${\Phi (x)}$ quel que soit $\eta$, on en déduira ${\mathrm {F} (x)}$ par un passage à la limite^[1]. La construction de la fonction ${\Phi (x)}$ est basée sur les remarques suivantes :

Si l’on connaît une jonction ${\Phi _{1}(x)}$ pour l’intervalle positif ${(x_{1},x_{2})}$ et une fonction ${\Phi _{2}(x)}$ pour l’intervalle positif ${(x_{2},x_{3})}$, la fonction ${\Psi (x)}$ égale à dans ${(x_{1},x_{2})}$ et donnée par

$\Psi (x)=\Phi _{2}(x)-\Phi _{2}(x_{2})+\Phi _{1}(x_{2})$

dans ${(x_{2},x_{3})}$, est une fonction ${\Phi (x)}$ pour ${(x_{1},x_{3})}$. En effet, si l’on prend un intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ situé dans ${(x_{1},x_{2})}$ ou ${(x_{2},x_{3})}$, il est clair que l’on a

$\left\vert \left[\Psi (\beta )-\Psi (\alpha )\right]-\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]\right\vert \leqq \eta \,(\beta -\alpha )$ ;

si l’on a

$x_{1}\leqq \alpha <x_{2}<\beta \leqq x_{3}$,

on a

${\begin{aligned}&\left|\left[\Psi (\beta )-\Psi (\alpha )\right]-\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]\right|\\&\;\;<\left\vert \left[\Psi (\beta )-\Psi (x_{2})\right]-\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (x_{2})\right]\right\vert \\&\;\;\quad +\left\vert \left[\Psi (x_{2})-\Psi (\alpha )\right]-\left[\mathrm {F} (x_{2})-\mathrm {F} (\alpha )\right]\right\vert \leqq \eta \,(\beta -x_{2})+\eta \,(x_{2}-\alpha ){\text{.}}\end{aligned}}$

Si l’on a une suite croissante (ou décroissante) de nombres $x_{i}$ tendant vers une limite $\mathrm {X}$, l’application répétée du procédé précédent fournit pour tout ${(x,\mathrm {X} )}$ une fonction $\Phi$ à partir de fonctions ${\Phi _{i}(x)}$ relatives aux intervalles ${(x_{i},x_{i+1})}$.

Il suffit évidemment de prouver que la fonction $\Psi$ résultant de la construction de l’énoncé est continue au point $\mathrm {X}$. Or on a, en supposant, par exemple, la suite croissante et ${x_{n}<x<\mathrm {X} }$

$\left\vert \left[\Psi (x)-\Psi (x_{n})\right]-\left[\mathrm {F} (x)-\mathrm {F} (x_{n})\right]\right\vert \leqq \eta \,(x-x_{n})\leqq \eta \,(\mathrm {X} -x_{n})$ ;

1. Le nombre dérivé supérieur à droite ${\Lambda _{d}\Phi (x)}$, par exemple, tend vers $f(x)$ quand $\eta$ tend vers zéro ; on comparera les constructions de ${\Lambda _{d}\Phi (x)}$ et de la fonction ${\varphi (x)}$ définie page 206.