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CHAPITRE IX.

égaux à ceux de ${\Psi (x)}$ , donc presque partout dans $\mathrm {E}$ la variation totale $\mathrm {VS}$ , et a fortiori $\mathrm {S}$ , a une dérivée à droite et qui est égale à zéro. Mais la mesure de $\mathrm {CE}$ est au plus la somme ${\textstyle \sum h}$ que nous pouvons rendre arbitrairement petite. Donc ${\mathrm {S} (x)}$ admet presque partout zéro comme dérivée à droite. Une conclusion analogue s’applique évidemment aux dérivées à gauche ; le théorème est démontré.

Nous sommes maintenant en mesure de répondre à des questions antérieurement posées et de justifier certaines affirmations. Nous avons déjà, page 143, fait allusion à la propriété suivante : pour qu’une fonction d’une variable ${\mathrm {F} (x)}$ soit l’intégrale indéfinie d’une fonction inconnue ${f(x)}$ , il faut et il suffit que ${\mathrm {F} (x)}$ soit absolument continue^[1]. La légitimation de cet énoncé est maintenant immédiate ; nous avons vu, en effet, que toute intégrale indéfinie est absolument continue, page 158, puis, page 183, que toute fonction absolument continue est une intégrale indéfinie.

De là résulte de suite que : pour qu’une fonction d’ensemble ou d’intervalle soit l’intégrale indéfinie d’une fonction inconnue ${f(x)}$ , il faut et il suffit qu’elle soit complètement additive et absolument continue ; d’après ce que nous savons sur le passage d’une telle fonction à une fonction absolument continue d’une variable et sur le passage inverse.

Page 160, nous avons formulé ce problème : trouver une fonction connaissant son intégrale indéfinie. Prenons cette intégrale indéfinie sous la forme d’une fonction d’une variable $\mathrm {F(X)}$ ; $\mathrm {F(X)}$ est absolument continue, donc a une dérivée presque partout et est l’intégrale indéfinie de cette dérivée ; mais deux fonctions qui ont même intégrale indéfinie sont égales presque partout, donc la fonction dont l’intégration a donné $\mathrm {F(X)}$ est presque partout égale à $\mathrm {F'(X)}$ . En d’autres termes : une intégrale indé-

↑ Dans la première édition de ce livre, j’avais signalé cet énoncé, en note de la page 128, de façon tout à fait incidente et sans démonstration. M. Vitali a retrouvé ce théorème et en a publié la première démonstration (Acc. Reale delle Sc. di Torino, 1904-1905). C’est à l’occasion de ce théorème que M. Vitali a introduit, pour les fonctions d’une variable, la dénomination de fonction absolument continue et qu’il a montré la simplicité et la clarté que prend toute la théorie quand on met cette notion à sa base.

[1] Dans la première édition de ce livre, j’avais signalé cet énoncé, en note de la page 128, de façon tout à fait incidente et sans démonstration. M. Vitali a retrouvé ce théorème et en a publié la première démonstration (Acc. Reale delle Sc. di Torino, 1904-1905). C’est à l’occasion de ce théorème que M. Vitali a introduit, pour les fonctions d’une variable, la dénomination de fonction absolument continue et qu’il a montré la simplicité et la clarté que prend toute la théorie quand on met cette notion à sa base.

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