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CHAPITRE IX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

donné par la formule

$\mathrm {AC} (x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(x)\,\mathrm {d} x$.

Appliquons ce résultat à ${\mathrm {AC} (x)}$ qui est son propre noyau :

$\mathrm {AC} (x)=\mathrm {AC} (a)+\int _{a}^{x}\mathrm {AC} '(x)\,\mathrm {d} x$ ;

${f'(x)}$ et ${\mathrm {AC} '(x)}$ sont donc égales presque partout comme ayant la même intégrale indéfinie, et par suite la dérivée de ${f(x)-\mathrm {AC} (x)}$ est presque partout nulle. En d’autres termes : la dérivée de la fonction des singularités $f_{s}(x)$ d’une fonction continue^[1] à variation bornée $f(x)$ est presque partout nulle. La réciproque est vraie ; d’une façon plus précise : une fonction continue^[1] à variation bornée et dont la dérivée est presque partout nulle, est sa propre fonction des singularités. En effet, d’après la formule qui précède, son noyau est identiquement nul.

Les trois théorèmes précédents peuvent, comme il a été indiqué en note, être étendus à toutes les fonctions à variation bornée continues ou discontinues^[2]. Pour cela, il suffira d’utiliser la formule de la page 163,

$\mathrm {F=S+C} =\mathrm {F} _{s}+\mathrm {AC} =\mathrm {S} +\mathrm {C} _{s}+\mathrm {AC}$,

et de démontrer qu’une fonction des sauts a une dérivée nulle presque partout.

À chaque point de discontinuité $x_{0}$ de la fonction $\mathrm {S}$ considérée, attachons deux fonctions ${\varphi (x)}$ ; la première égale à

$\mathrm {S} (x_{0})-\mathrm {S} (x_{0}-0)$pour$x\leqq x_{0}$

et nulle ailleurs ; la seconde égale à

$\mathrm {S} (x_{0}+0)-\mathrm {S} (x_{0})$pour$x>x_{0}$

et nulle ailleurs. $\mathrm {S}$ est la somme de la série ${\textstyle \sum \varphi (x)}$. La variation totale ${\mathrm {VS} (x)}$ de $\mathrm {S}$ est, pour l’intervalle ${(a,x)}$, la somme de la série ${\textstyle \sum |\varphi (x)|}$ ; série qui est majorée par la série de constantes ${\textstyle \sum |\varphi (b)|}$.

Modifions chaque fonction ${|\varphi (x)|}$ à gauche de son point de

1. On va voir dans un instant que le mot « continue » peut être supprimé.
2. La dérivation des fonctions discontinues a été étudiée pour la première fois par M. et M^me W. H. Young (Quaterly Journal, 1910 et Proceedings of the London math. Soc., 1910).