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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.


II. — La dérivation des fonctions à variation bornée.

Nous allons tenir compte maintenant de ce que chacun de nos résultats a quatre interprétations suivant que, par , on a désigné le nombre dérivé supérieur à droite de , ou le nombre dérivé inférieur à droite, etc.

Nous avons d’abord vu que jouait un rôle tout spécial que nous venons de préciser en montrant que est l’ensemble des singularités de quand n’est pas absolument continue. Il y a quatre ensembles , soit leur partie commune ; est l’ensemble des points en lesquels a une dérivée égale à , or la partie commune à plusieurs ensembles des singularités, s’ils sont mesurables B, est aussi un ensemble des singularités (p. 169), donc est l’ensemble des singularités de .

Ainsi, dans tout ce qui précède, on peut remplacer , , respectivement par les ensembles , , , formés par les points en lesquels a une dérivée déterminée en grandeur et signe égale respectivement à , à , à ou à . Ces trois ensembles , , sont les ensembles des singularités respectivement de , , , lorsque ces fonctions ne sont pas absolument continues.

En particulier, signalons qu’une fonction continue à variation bornée, qui n’a en aucun point une dérivée bien déterminée en grandeur et signe qui soit égale à ou à , est absolument continue.

Nous avons vu ensuite que le noyau de était donné par la formule

,

donc l’intégrale du second membre est la même pour chacun des quatre nombres dérivés ; ainsi (p. 160) ces quatre nombres dérivés sont égaux, exception faite tout au plus des points d’un ensemble de mesure nulle. Une fonction continue[1] à variation bornée , a une dérivée presque partout et le noyau de est

  1. On va voir dans un instant que le mot « continue » peut être supprimé.