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CHAPITRE IX.

mais $\mathrm {P} (e^{ip})$ est au plus égale à $\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{ip})$ et l’intégrale du second membre tend vers zéro avec $m(\mathrm {J} )$. Donc, quand $m(\mathrm {J} )$ tend vers zéro, la plus grande des limites de $\mathrm {P(J)}$ est $\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{ip})$ et cette plus grande limite est atteinte quand on prend $\mathrm {J}$ enfermant $\mathrm {E} ^{ip}$. En d’autres termes : $\mathrm {E} ^{ip}$ est l’ensemble des singularités de la fonction $\mathrm {P} (x)$ représentant la variation totale positive de $a$ à $x$. La fonction des singularités ${\mathrm {P} _{s}(x)}$ de la fonction $\mathrm {P} (x)$ est

$\mathrm {P} _{s}(x)=\mathrm {P} (x)-\int _{a}^{x}{\frac {1}{2}}[\Lambda f+|\Lambda f|]\,\mathrm {d} x$.

On a de même, avec des notations dont le sens est clair,

$\mathrm {N} _{s}(x)=\mathrm {N} (x)-\int _{a}^{x}{\frac {1}{2}}[|\Lambda f|-\Lambda f]\,\mathrm {d} x$ ;

d’où

${\begin{aligned}\mathrm {V} _{s}(x)&=\mathrm {V} (x)-\int _{a}^{x}|\Lambda f|\,\mathrm {d} x{\text{,}}\\f_{s}(x)&=f(x)-f(a)-\int _{a}^{x}\Lambda f\,\mathrm {d} x{\text{ ;}}\end{aligned}}$

formules qui font connaître les fonctions des singularités de ${\mathrm {P} (x)}$, ${\mathrm {N} (x)}$, ${\mathrm {V} (x)}$, ${\mathrm {A} (x)}$. Quant à l’ensemble des singularités, c’est $\mathrm {E} ^{ip}$ pour ${\mathrm {P} (x)}$, $\mathrm {E} ^{in}$ pour ${\mathrm {N} (x)}$, c’est $\mathrm {E} ^{i}$ pour ${\mathrm {P} (x)}$, ${\mathrm {N} (x)}$, ${\mathrm {V} (x)}$, $f(x)$.

On a en particulier

$\mathrm {P} _{s}(b)=\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{i})$,$\mathrm {N} _{s}(b)=\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{i})$,
$\mathrm {V} _{s}(b)=\mathrm {V} (\mathrm {E} ^{i})$,$f_{s}(b)=\mathrm {A} (\mathrm {E} ^{i})$,

ces nombres ne sont donc tous nuls que dans le cas, déjà examiné, où $f$ est absolument continue^[1].

Nous avons décomposé précédemment (p. 163) une fonction continue à variation bornée en sa fonction des singularités et un noyau absolument continu, soit $\mathrm {AC}$ le noyau de $f(x)$ ; nous venons de prouver que l’on a

$\mathrm {AC} (x)=f(a)+\int _{a}^{x}\Lambda f\,\mathrm {d} x$.

et des formules analogues pour les noyaux de ${\mathrm {P} (x)}$, ${\mathrm {N} (x)}$, ${\mathrm {V} (x)}$.

1. Pour $f$ non absolument continue, un des nombres ${\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{i})}$, ${\mathrm {A} (\mathrm {E} ^{i})}$ peut être nul, mais un seulement.