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CHAPITRE IX.
mais est au plus égale à et l’intégrale du second membre tend vers zéro avec . Donc, quand tend vers zéro, la plus grande des limites de est et cette plus grande limite est atteinte quand on prend enfermant . En d’autres termes : est l’ensemble des singularités de la fonction représentant la variation totale positive de à . La fonction des singularités de la fonction est
.
On a de même, avec des notations dont le sens est clair,
;
d’où
formules qui font connaître les fonctions des singularités de , , , . Quant à l’ensemble des singularités, c’est pour , pour , c’est pour , , , .
On a en particulier
,
,
,
,
ces nombres ne sont donc tous nuls que dans le cas, déjà examiné, où est absolument continue[1].
Nous avons décomposé précédemment (p. 163) une fonction continue à variation bornée en sa fonction des singularités et un noyau absolument continu, soit le noyau de ; nous venons de prouver que l’on a
.
et des formules analogues pour les noyaux de , , .
- ↑ Pour non absolument continue, un des nombres , , peut être nul, mais un seulement.