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CHAPITRE VIII.
On a en effet
;
;
.
D’où
,
;
le théorème est démontré.
Étudions la fonction d’ensemble 
qui vient d’être définie ; pour cela remarquons que si, au début de cette théorie des fonctions d’ensemble, nous avons été naturellement conduits à nous occuper des fonctions définies sur tous les ensembles mesurables, cette condition n’était nullement essentielle à nos raisonnements ; les conclusions de ces raisonnements subsistent pour les fonctions d’ensembles définies seulement, ou connues seulement, pour les ensembles mesurables B. Il nous sera commode de parler des fonctions connues pour tous les ensembles mesurables B, parce que les ensembles 
, 
de la page 148, ainsi que l’ensemble 
de la page 164, sont mesurables B.
La fonction , ou simplement 
, est définie pour tous les ensembles mesurables B et complètement additive dans la famille de ces ensembles. Elle est donc à variation bornée et a des variations 
, 
, 
qui sont aussi complètement additives ; comment pourrait-on calculer ces fonctions connaissant 
?
On n’a pas toujours
;
l’exemple de partout nulle dans (0, 1) sauf pour 
le montre de suite. est alors identique à zéro, donc aussi et pour 
réduit au point , on a
.
Pour écarter de telles singularités, modifions 
en ses points de discontinuité intérieurs à 
de façon que la nouvelle fonction 
n’ait en aucun point deux sauts de signes contraires.
Pour fixer les idées, prenons continue à droite à l’inté-
