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CHAPITRE VIII.

valeur absolue de $f$ et $\varphi _{\mathrm {N,N} }$ étant la fonction qui se déduit de $\varphi$ comme il a été indiqué (p. 126). Soit alors $\mathrm {E}$ un ensemble de mesure au plus égale à ${\frac {\varepsilon }{2\mathrm {N} }}$ ; divisons $\mathrm {E}$ en l’ensemble $e_{1}$ de ceux de ses points où $\varphi _{\mathrm {N,N} }$ est nul et l’ensemble $e_{2}$ de ceux de ses points où $\varphi _{\mathrm {N,N} }$ est positif.

On a

${\begin{aligned}\left\vert \int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x\right\vert &=\left\vert \int _{e_{1}}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{e_{2}}f(x)\,\mathrm {d} x\right\vert \\&\leqq \int _{e_{1}}\varphi \,\mathrm {d} x+\left\vert \int _{e_{2}}f(x)\,\mathrm {d} x\right\vert \\&\leqq {\frac {\varepsilon }{2}}+\mathrm {N} \,m(e_{2})\leqq {\frac {\varepsilon }{2}}+\mathrm {N} {\frac {\varepsilon }{2\mathrm {N} }}=\varepsilon {\text{.}}\end{aligned}}$

Une intégrale indéfinie $\Psi (\mathrm {E} )$ est donc une fonction absolument continue.

D’une fonction complètement additive et absolument continue $\Psi (\mathrm {E} )$ nous déduirons une fonction d’intervalle $\Phi (\delta )$ complètement additive et absolument continue ; cette dernière dénomination exprimant que, quels que soient les intervalles, $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, sans point commun deux à deux, la somme ${\textstyle \sum \Phi (\delta _{i})}$ tend vers zéro avec ${\textstyle \sum m(\delta _{i})}$. On pourrait dire aussi que la somme ${\textstyle \sum |\Phi (\delta _{i})|}$ tend vers zéro, car dans ${\textstyle \sum \Phi (\delta _{i})}$ nous pourrions ne conserver que les termes positifs, fournissant $\Sigma '$, ou que les termes négatifs, fournissant ${-\Sigma ''}$, et comme $\Sigma '$ et $\Sigma ''$ doivent tendre vers zéro, ${\textstyle \sum |\Phi (\delta _{i})|=\Sigma '+\Sigma ''}$ doit aussi tendre vers zéro. Par intervalles, sans point commun, on peut maintenant entendre intervalles sans point intérieur commun, car l’absolue continuité de $\Psi (\mathrm {E} )$ ou de $\Phi (\delta )$ entraîne évidemment que ces fonctions soient nulles pour tout intervalle réduit à un seul point, c’est-à-dire soient continues en tout point.

Si l’on passe ensuite d’une fonction $\Phi (\delta )$ ayant les deux propriétés considérées à une fonction $\mathrm {F(X)}$, $\mathrm {F(X)}$ est à variation bornée et absolument continue, c’est-à-dire que, pour tout système d’intervalles $(\alpha _{i},\beta _{i})$, sans point intérieur commun deux à deux, la somme ${\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta _{i})-\mathrm {F} (\alpha _{i})]}$ tend vers zéro avec la somme des mesures des $(\alpha _{i},\beta _{i})$. Ici encore, on peut à volonté mettre ou non un signe ${|\;\;|}$ sous le signe $\textstyle \sum$ ; remarquons aussi que l’absolue continuité de $\mathrm {F(X)}$ entraîne pour $\mathrm {F} (x)$ la continuité au sens ordinaire et que $\mathrm {F} (x)$ soit à variation bornée.