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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

rables pratiquement utiles à considérer. Et, de plus, la méthode même de M. Young fournit chemin faisant une classification de ces fonctions mesurables B qui est en rapport avec la classification de M. Baire (p. 120) et qui est fort intéressante.

Si nous étions partis : a. de l’intégrale des fonctions continues et b. du cas d’intégration des suites uniformément bornées (p. 125), c’est la classification de M. Baire qui se serait présentée à nous.

M. W.-H. Young a aussi fait connaître^[1] la propriété suivante qui peut être prise pour définition de l’intégrale :

Une fonction mesurable bornée $f(x)$ étant donnée dans un intervalle fini et positif ${(a,b)}$, divisons ${(a,b)}$ en un nombre fini ou en une infinité dénombrable d’ensembles $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, … mesurables et sans points communs deux à deux. Soit $\delta _{i}$ la mesure de $\mathrm {E} _{i}$, soient $l_{i}$ et $\mathrm {L} _{i}$ les limites inférieure et supérieure de $f(x)$ dans $\mathrm {E} _{i}$, formons les sommes ou séries

${\underline {\mathrm {S} }}={\textstyle \sum }l_{i}\delta _{i}$,${\overline {\mathrm {S} }}={\textstyle \sum }\mathrm {L} _{i}\delta _{i}$ ;

et, faisant varier le choix des $\mathrm {E} _{i}$, déterminons la borne supérieure $m$ des ${\underline {\mathrm {S} }}$ et la borne inférieure $\mathrm {M}$ des ${\overline {\mathrm {S} }}$. Ces deux bornes sont égales entre elles et à ${\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

En effet, calculons la contribution des points de

$e_{n}=\mathrm {E} [n\varepsilon \leqq f<(n+1)\varepsilon ]$

dans ${\underline {\mathrm {S} }}$ et ${\overline {\mathrm {S} }}$. Les points de $e_{n}$ sont répartis dans certains des $\mathrm {E} _{i}$ ; ils forment l’ensemble $e_{n}^{i_{1}}$ contenu dans $\mathrm {E} _{i_{1}}$, l’ensemble $e_{n}^{i_{2}}$ contenu dans $\mathrm {E} _{i_{2}}$, etc. Pour toutes les valeurs de $i_{1}$, $i_{2}$, … de $i$ le nombre $l_{i}$ est au plus égal à ${(n+1)\varepsilon }$, donc la contribution de $e_{n}^{i_{1}}$ est au plus ${(n+1)\varepsilon \times \mathrm {mes} (e_{n}^{i_{1}})}$ et celle de $e_{n}$ est au plus ${(n+1)\varepsilon \times \mathrm {mes} (e_{n})}$. Donc, on a

${\underline {\mathrm {S} }}\leqq \textstyle \sum (n+1)\varepsilon \times \mathrm {mes} (e_{n})$,

et en faisant tendre $\varepsilon$ vers zéro,

${\underline {\mathrm {S} }}\leqq \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$.

1. Proc. Lond. Math. Soc., 1905, et Ph. Trans. London, 1905.