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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
rables pratiquement utiles à considérer. Et, de plus, la méthode même de M. Young fournit chemin faisant une classification de ces fonctions mesurables B qui est en rapport avec la classification de M. Baire (p. 120) et qui est fort intéressante.
Si nous étions partis : a. de l’intégrale des fonctions continues et b. du cas d’intégration des suites uniformément bornées (p. 125), c’est la classification de M. Baire qui se serait présentée à nous.
M. W.-H. Young a aussi fait connaître[1] la propriété suivante qui peut être prise pour définition de l’intégrale :
Une fonction mesurable bornée étant donnée dans un intervalle fini et positif , divisons en un nombre fini ou en une infinité dénombrable d’ensembles , , … mesurables et sans points communs deux à deux. Soit la mesure de , soient et les limites inférieure et supérieure de dans , formons les sommes ou séries
,
;
et, faisant varier le choix des , déterminons la borne supérieure des et la borne inférieure des . Ces deux bornes sont égales entre elles et à .
En effet, calculons la contribution des points de
dans et . Les points de sont répartis dans certains des ; ils forment l’ensemble contenu dans , l’ensemble contenu dans , etc. Pour toutes les valeurs de , , … de le nombre est au plus égal à , donc la contribution de est au plus et celle de est au plus . Donc, on a
,
et en faisant tendre vers zéro,
.
- ↑ Proc. Lond. Math. Soc., 1905, et Ph. Trans. London, 1905.