Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/148

132

CHAPITRE VII.

la série divergerait. Donc, pour $p$ assez grand, on a

$\left\vert \int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x-\int _{\mathrm {E} }f_{p}(x)\,\mathrm {d} x\right\vert <\varepsilon +\varepsilon \,m(\mathrm {E} )+\varepsilon _{1}$

Le théorème est donc démontré.

Remarquons que, dans l’énoncé de ce théorème, nous n’avons pas eu à supposer que la limite $f(x)$ était sommable alors que nous avions eu à formuler cette hypothèse dans l’énoncé de la page 128. On peut, avec M. B. Levi^[1], transformer ce dernier énoncé de façon à n’avoir plus rien à supposer sur la limite $f(x)$. Pour donner à la proposition toute sa portée, définissons ce qu’on entend par une fonction mesurable non toujours finie. C’est une fonction qui prend, en tout point de l’intervalle ou de l’ensemble $\mathrm {E}$ considéré, une valeur déterminée en grandeur et en signe, mais non toujours finie. Pour une telle fonction $f$, il y a donc en général un ensemble ${\mathrm {E} (f=+\infty )}$ et un ensemble ${\mathrm {E} (f=-\infty )}$. En disant que $f$ est mesurable on exprime que ces deux ensembles sont mesurables et que $f$ est mesurable dans l’ensemble des points où elle est finie. On peut encore dire si l’on veut que l’ensemble ${\mathrm {E} [\alpha \leqq f(x)<\beta ]}$, ou l’ensemble ${\mathrm {E} [\alpha <f(x)]}$, ou l’ensemble ${\mathrm {E} [f(x)\leqq \beta ]}$, est mesurable quels que soient les nombres finis ou infinis $\alpha$ et $\beta$.

L’énoncé annoncé est relatif aux suites croissantes de fonctions mesurables, une telle suite a une limite nécessairement mesurable mais qui n’est pas nécessairement partout finie.

Soit $f(x)$ la limite d’une suite croissante de fonctions $f_{n}(x)$ finies et sommables.

Si la suite des intégrales des fonctions $f_{n}(x)$ converge, $f$ n’est infinie qu’aux points d’un ensemble de mesure nulle, $f$ est sommable dans l’ensemble des points où elle est finie et l’intégrale de $f$ est la limite des intégrales des $f_{n}$.

Si la suite des intégrales des $f_{n}$ tend vers l’infini, $f$ est infinie aux points d’un ensemble de mesure non nulle, ou est non sommable dans l’ensemble des points où elle est finie.

$f$ ne prend nulle part la valeur $-\infty$ ; au reste nous pouvons

1. Reale Ist. Lombardo ; Rendiconti, t. 39, 1906.