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CHAPITRE VII.

Si $f$ est parfois négative, on arrivera au même résultat en appliquant la formule ci-dessus à ${|f|+f}$, puis à ${|f|-f}$ et en ajoutant.

En rapprochant ce résultat des précédents, on peut dire : l’intégrale ${\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x}$, étendue à un ensemble mesurable $\mathrm {E}$, d’une fonction $f(x)$ sommable dans $\mathrm {E}$, est un nombre vérifiant les propriétés suivantes :

1^o  Si $\mathrm {E} _{h}$ est l’ensemble des valeurs de $x$ telles que ${x-h}$ appartienne à $\mathrm {E}$, on a

$\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\mathrm {E} _{h}}f(x-h)\,\mathrm {d} x$ ;

2^o  Si $\mathrm {E}$ est la somme des ensembles mesurables $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, …, en nombre fini ou en infinité dénombrable et sans point commun deux à deux, on a

$\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\mathrm {E} _{1}}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\mathrm {E} _{2}}f(x)\,\mathrm {d} x+\ldots$ ;

3o

$\int _{\mathrm {E} }{\big [}f(x)+\varphi (x){\big ]}\,\mathrm {d} x=\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\mathrm {E} }\varphi (x)\,\mathrm {d} x,$

$\varphi (x)$ étant supposée, comme $f(x)$, sommable dans $\mathrm {E}$ ;

4^o  Si l’on a ${f\geqq 0}$, on a

$\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x\leqq 0$ ;

5o

$\int _{0}^{1}1\times \mathrm {d} x=1$.

Le lecteur vérifiera facilement que ces propriétés sont caractéristiques de l’intégrale, nous avons donc ici une définition descriptive de l’intégrale d’une fonction sommable dans un ensemble mesurable. Le nouvel énoncé du problème d’intégration ne contient plus que cinq conditions, mais cela ne révèle aucune différence essentielle entre le nouveau problème et l’ancien.

En réalité, on aurait pu réunir les anciennes conditions 3 et 6 en un seul énoncé relatif à un cas d’intégration des sommes ou séries ; remarquons d’ailleurs que nous avons déjà effectué (p. 110), à l’occasion de la mesure des ensembles, la transformation de la condition 6, relative à une série de fonctions, en notre nouvelle condition 2, relative à une série d’ensembles.