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CHAPITRE VII.

de leurs intégrales diffèrent de moins de  ; car, dire que et diffèrent de moins de , c’est dire que est comprise entre et  ; donc que est comprise entre

et.

Ceci posé, soient et deux fonctions mesurables et bornées dans l’intervalle positif  ; nous avons appris (p. 108) à leur associer des fonctions et ne prenant qu’un nombre fini de valeurs et différant respectivement de et de de moins de .

diffère alors de de moins de . On a donc

,,
.

L’égalité à démontrer,

,

résultera donc de celle-ci :

,

Or, supposons que ne prenne que les valeurs , , … et respectivement aux points des ensembles , , … ; que ne prenne que les valeurs , , … et aux points de , , …. Et soit l’ensemble des points communs à et à , on a

La condition 3 est donc bien remplie.