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CHAPITRE VII.

La mesure intérieure n’est jamais supérieure à la mesure extérieure.

Les ensembles dont les deux mesures extérieure et intérieure sont égales sont dits mesurables et leur mesure est la valeur commune des $m_{e}$ et $m_{i}$^[1]. Il reste à rechercher si cette mesure satisfait bien aux conditions 1′, 2′, 3′. Cela est évident pour 1′ et 3′, reste à étudier la condition 2′^[2]. Au cours de notre vérification nous utiliserons ce fait évident que la partie $\mathrm {(E,I)}$ d’un ensemble $\mathrm {E}$, qui est contenue dans un intervalle $\mathrm {I}$, est certainement mesurable toutes les fois que $\mathrm {E}$ est mesurable.

Soient $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, … des ensembles mesurables, en nombre fini ou dénombrable, n’ayant deux à deux aucun point commun, et soit $\mathrm {E}$ l’ensemble somme.

1. C’est seulement pour ces ensembles que nous étudierons le problème de la mesure. Je ne sais pas si l’on peut définir, ni même s’il existe d’autres ensembles que les ensembles mesurables ; s’il en existe, ce qui est dit dans le texte ne suffit pas pour affirmer ni que le problème de la mesure est possible, ni qu’il est impossible pour ces ensembles. Au sujet de la possibilité et de la détermination du problème de la mesure pour tous les ensembles, voir le travail de M. Banach, cité page 106. Quant à la question de l’existence d’ensembles non mesurables, elle n’a guère fait de progrès depuis la première édition de ce livre. Toutefois cette existence est certaine pour ceux qui admettent un certain mode de raisonnement basé sur ce que l’on a appelé l’axiome de Zermelo. Par ce raisonnement, on arrive en effet à cette conclusion : il existe des ensembles non mesurables ; mais cette affirmation ne devrait pas être considérée comme contredite si l’on arrivait à montrer que jamais aucun homme ne pourra nommer un ensemble non mesurable !

   Sur ces questions, on pourra consulter la seconde édition des Leçons sur la théorie des fonctions de M. Émile Borel.

2. La définition géométrique de la mesure permet non seulement de comparer deux ensembles égaux, mais aussi deux ensembles semblables. Le rapport des mesures de deux ensembles semblables de rapport $k$ est $|k|$. C’est une condition qu’on aurait pu s’imposer a priori ; il lui correspond pour le problème d’intégration la condition S₁

   (S1)

   $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=k\int _{\frac {a}{k}}^{\frac {b}{k}}f(kx)\,\mathrm {d} x$.

   Les conditions S (p. 108) et S₁ constituent ce qu’on peut appeler la condition de similitude, elles font connaître ce que devient une intégrale par les transformations

   $x_{1}=kx$,$f_{1}(x)=kf(x)$.

   Peut-être pourrait-on remplacer la condition 6 par des conditions de cette nature.