Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/119

Cette page a été validée par deux contributeurs.

103

L’INTÉGRATION DÉFINIE À L’AIDE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

nulle. En tout point où $f$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , … sont toutes continues, ${\mathcal {F}}$ , $\mathrm {U} _{1}$ , $\mathrm {U} _{2}$ , … ont des dérivées et le raisonnement de la page 94 montre qu’en ces points $\mathrm {F}$ a même dérivée que ${\mathcal {F}}$ . Mais les points où $f$ n’est pas continue forment un ensemble de mesure nulle $\mathrm {E} (f)$ , les points de discontinuité de $u_{i}$ forment l’ensemble de mesure nulle $\mathrm {E} (u_{i})$ ; la réunion de tous ces ensembles donne un ensemble de mesure nulle $\mathrm {E}$ . Et l’on a ${\mathrm {F} '={\mathcal {F}}'}$ , sauf peut-être aux points de $\mathrm {E}$ .

De là se déduit le théorème :

Lorsque des fonctions intégrables $f_{n}$ tendent en croissant vers une fonction intégrable $f$ , l’intégrale de $f_{n}$ tend vers celle de $f$ ^[1].

Nous devons nous demander maintenant quels services peuvent rendre les intégrales au sens de Duhamel et Serret.

Ces intégrales ne peuvent rendre aucun service dans la recherche des fonctions primitives, puisqu’elles supposent cette recherche effectuée, mais les intégrales au sens de Riemann servent surtout à calculer les limites de somme.

Le raisonnement de la page 84 montre qu’une intégrale D est une limite de somme ; on peut donc espérer se servir de ces intégrales pour le calcul des limites de somme. Nous avons vu (p. 66) que cela était effectivement possible, puisqu’il a été démontré que la longueur d’une courbe était l’intégrale D de ${\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}$ , toutes les fois que cette intégrale existe^[2].

De nouvelles études sur l’intégrale sont cependant nécessaires, car nous n’avons pas encore résolu le problème de la recherche des fonctions primitives ; d’ailleurs, pour le calcul de la longueur

↑ On peut remarquer que cette propriété reste vraie s’il s’agit des fonctions dites sommables, qui sont intégrables d’après la généralisation indiquée page 101.
↑ Je ne puis que signaler une autre application des intégrales D : lorsqu’une fonction dérivée bornée admet un développement trigonométrique, les coefficients de ce développement sont donnés par les formules connues d’Euler et Fourier, les intégrales qui figurent dans ces formules étant des intégrales D.
Il existe effectivement des fonctions dérivées bornées, non intégrables au sens de Riemann, qui admettent un développement trigonométrique. Pour la démonstration de ces propriétés, ou pourra se reporter à un Mémoire Sur les séries trigonométriques que j’ai publié dans les Annales de l’École Normale (novembre 1903).

[1] On peut remarquer que cette propriété reste vraie s’il s’agit des fonctions dites sommables, qui sont intégrables d’après la généralisation indiquée page 101.

[2] Je ne puis que signaler une autre application des intégrales D : lorsqu’une fonction dérivée bornée admet un développement trigonométrique, les coefficients de ce développement sont donnés par les formules connues d’Euler et Fourier, les intégrales qui figurent dans ces formules étant des intégrales D.
Il existe effectivement des fonctions dérivées bornées, non intégrables au sens de Riemann, qui admettent un développement trigonométrique. Pour la démonstration de ces propriétés, ou pourra se reporter à un Mémoire Sur les séries trigonométriques que j’ai publié dans les Annales de l’École Normale (novembre 1903).

[1]

[2]