Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/118

Cette page a été validée par deux contributeurs.
102
CHAPITRE VI.

nulle. L’intégrale dans est alors, par définition, [1].

Adoptons sans généralisation la définition de Duhamel et Serret. L’intégrale de Duhamel (intégrale D) jouit de certaines des propriétés de l’intégrale de Riemann.

On a

.

La somme de deux fonctions intégrables D est intégrable D et a pour intégrale la somme des intégrales ; mais le produit de deux fonctions intégrables D n’est pas nécessairement intégrable D[2].

Une série uniformément convergente de fonctions intégrables D est une fonction intégrable D et l’intégration peut être effectuée terme à terme ; c’est la proposition de la page 92. De celle de la page 93 on déduit que si des fonctions intégrables D, , tendent en croissant vers une fonction intégrable D, , l’intégrale de tend vers celle de , en croissant s’il s’agit d’un intervalle d’intégration positif.

La proposition analogue pour les intégrales de Riemann est vraie. Nous en calquerons la démonstration sur celle de la page 93.

Conservons les notations de cette page 93. , , , …, sont maintenant des fonctions intégrables positives. , , , … sont celles de leurs intégrales indéfinies qui s’annulent pour l’origine de l’intervalle considéré.

On a évidemment , d’où , et puisque les croissent la série des est convergente. L’accroissement de , dans un intervalle positif quelconque, est au moins égal à celui de , donc à celui de  ; est à nombres dérivés bornés. Pour montrer que , il suffit de montrer que ces deux fonctions ont même dérivée partout, sauf pour un ensemble de valeurs de de mesure

  1. Comparez avec la page 90, où, dès que est donnée, on sait en quels points on n’a pas nécessairement  ; ici, au contraire, on ne le sait pas.

    Les différentes fonctions correspondant à une même fonction ne diffèrent que par une constante additive.

    Nous retrouverons ces fonctions sommables bornées aux Chapitres suivants.

  2. Par exemple le produit n’est pas intégrable D.