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CHAPITRE VI.

et si

$f_{2}(x)=-\sin {\frac {1}{x}}$pour$x\neq 0$et$f_{2}(0)=1$,

les deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ ne peuvent passer d’une valeur à une autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires et il n’en est pas de même de ${f_{1}+f_{2}}$, puisque

$f_{1}+f_{2}=0$pour$x\neq 0$et$f_{1}(0)+f_{2}(0)=2$.

La somme de deux fonctions dérivées étant une fonction dérivée, il y a lieu, d’après la remarque précédente, d’énoncer comme une propriété nouvelle ce fait que la somme de deux fonctions dérivées ne peut passer d’une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. On peut dire aussi que la différence de deux fonctions dérivées ne peut changer de signe sans s’annuler, ce qui, si l’on songe à la représentation géométrique, peut s’énoncer ainsi : Deux fonctions dérivées ne peuvent se traverser sans se rencontrer.

Voici un exemple de l’application de cette propriété. Soit $\psi (x)$ une fonction égale à la fonction $\varphi (x)$ (p. 97) quand $\varphi (x)$ n’est pas égale à $x$, et égale à 0 quand ${\varphi (x)=x}$. $\psi (x)$, comme $\phi (x)$, ne peut passer d’une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires, le premier théorème ne permet donc pas d’affirmer que $\psi (x)$ n’est pas une fonction dérivée ; mais, puisque $\psi (x)$ traverse la fonction continue $x$ dans tout intervalle et ne la rencontre cependant que pour ${x=0}$, la deuxième propriété montre que $\psi (x)$ n’est pas une dérivée.

Avant de rechercher si la fonction $\varphi (x)$ est une dérivée, je vais montrer comment un cas particulier important du théorème de Scheeffer se déduit immédiatement du théorème de Darboux.

Supposons que la dérivée d’une fonction $f(x)$ soit toujours bien déterminée en grandeur et signe (on ne suppose pas qu’elle soit finie), alors si elle n’est pas toujours égale à un nombre donné $\mathrm {A}$, l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est différent de $\mathrm {A}$ a la puissance du continu. En effet, ou bien $f'(x)$ est constante et la propriété est démontrée, ou bien $f'(x)$ prend deux valeurs $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$, et alors elle prend aussi toutes les valeurs comprises entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ qui sont toutes, sauf une peut-être, différentes de $\mathrm {A}$. L’ensemble de ces valeurs de $f'(x)$ différentes de $\mathrm {A}$ ayant la puissance