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DIFFRACTION DES ONDES CONVERGENTES
d’où :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{2n}(\rho )&=(-1)^{n}\mathrm {J} _{0}\\\mathrm {J} _{2n+1}(\rho )&=(-1)^{n}\mathrm {J} _{1}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b17e355b4108ecaf0e30648fe35ae22e62db76c)
Pour calculer
nous ferons usage de la relation
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {J} _{1}}{d\rho }}=\mathrm {J} _{0}(\rho ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4d44cfd73aaffffb5b3fb999f933aa7b5a386b)
d’où nous tirerons :
![{\displaystyle \mathrm {J} _{1}={\sqrt {\frac {2}{\pi \rho }}}\,\sin \left(\rho -{\frac {\pi }{4}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41baa4a355900b0f978ebcc36664b726754a34ae)
En effet différencions :
.
Le second terme contenant
en dénominateur est négligeable,
et il reste
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {J} _{1}}{d\rho }}={\sqrt {\frac {2}{\pi \rho }}}\,\cos \left(\rho -{\frac {\pi }{4}}\right)=\mathrm {J} _{0}(\rho ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7769c68c0d1c3046ce7d1b368d3647923e87f59)
D’une manière générale, nous aurons quel que soit
![{\displaystyle \mathrm {J} _{n}(\rho )={\sqrt {\frac {2}{\pi \rho }}}\,\cos \left(\rho -{\frac {\pi }{4}}-n\,{\frac {\pi }{2}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27a62d7ef3bf5a9e894a362eac24ebf929b7b7f)
Posons pour abréger :
![{\displaystyle \mathrm {H} ={\sqrt {\frac {2}{\pi \alpha \rho }}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc3e7e3c21738a1db2c06342a985479e3860e73)
et
![{\displaystyle \quad \alpha \rho -{\frac {\pi }{4}}=\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94d813833bc084d6dc2048205a84f83c96d977d)
![{\displaystyle \mathrm {J} _{n}(\alpha \rho )=\mathrm {H} \cos \left(\psi -n\,{\frac {\pi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f280030488e5772b6fa0a409ebd5ee5a52b1c69a)