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DIFFRACTION DES ONDES CONVERGENTES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

d’où :

${\begin{aligned}\mathrm {J} _{2n}(\rho )&=(-1)^{n}\mathrm {J} _{0}\\\mathrm {J} _{2n+1}(\rho )&=(-1)^{n}\mathrm {J} _{1}.\\\end{aligned}}$

Pour calculer $\mathrm {J} _{1},$ nous ferons usage de la relation

${\frac {d\mathrm {J} _{1}}{d\rho }}=\mathrm {J} _{0}(\rho ),$

d’où nous tirerons :

$\mathrm {J} _{1}={\sqrt {\frac {2}{\pi \rho }}}\,\sin \left(\rho -{\frac {\pi }{4}}\right)\cdot$

En effet différencions :

${\frac {d\mathrm {J} _{1}}{d\rho }}={\sqrt {\frac {2}{\pi \rho }}}\,\cos \left(\rho -{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{\rho }}{\sqrt {\frac {1}{2\pi \rho }}}\,\sin \left(\rho -{\frac {\pi }{4}}\right)$.

Le second terme contenant $\rho$ en dénominateur est négligeable, et il reste

${\frac {d\mathrm {J} _{1}}{d\rho }}={\sqrt {\frac {2}{\pi \rho }}}\,\cos \left(\rho -{\frac {\pi }{4}}\right)=\mathrm {J} _{0}(\rho ).$

D’une manière générale, nous aurons quel que soit $n\,:$

$\mathrm {J} _{n}(\rho )={\sqrt {\frac {2}{\pi \rho }}}\,\cos \left(\rho -{\frac {\pi }{4}}-n\,{\frac {\pi }{2}}\right)\cdot$

Posons pour abréger :

$\mathrm {H} ={\sqrt {\frac {2}{\pi \alpha \rho }}}\quad$ et $\quad \alpha \rho -{\frac {\pi }{4}}=\psi$

$\mathrm {J} _{n}(\alpha \rho )=\mathrm {H} \cos \left(\psi -n\,{\frac {\pi }{2}}\right)$