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PASSAGE DES ONDES PAR UNE LIGNE FOCALE

de l’intégrale. (Dans le cas où du point $\mathrm {P}$ on peut mener plusieurs normales à la surface $\mathrm {S} ,$ il faudrait prendre les éléments $d\omega '$ voisins du pied de chacune de ces normales.) Par conséquent la valeur de l’intégrale ne changera pas si on étend la sommation à une portion quelconque de la surface $\mathrm {S}$ entourant le point $\mathrm {Q} ,$ et elle sera encore la même si la sommation est étendue à la surface $\mathrm {S}$ tout entière. Nous avons vu d’ailleurs que l’intégrale $\textstyle \int \sigma 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}dr$ est en général négligeable.

Pour traiter d’abord un cas particulier simple, supposons que, au voisinage du point $\mathrm {Q} ,$ la surface $\mathrm {S}$ soit une portion de sphère concave du côté de $\mathrm {P}$ et que nous étendions l’intégrale à cette calotte sphérique. Soit $\mathrm {C}$ le centre de la sphère.

Deux cas peuvent se présenter :

1^o Le point $\mathrm {P}$ se trouve entre $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {C} ,$ alors de tous les points de la calotte sphérique, $\mathrm {Q}$ est le plus rapproché de $\mathrm {P} \,;$ les limites d’intégration sont $r_{0}=\mathrm {PQ}$ et $r_{1}\,;$

2^o Le point $\mathrm {P}$ est au-delà de $\mathrm {C} ,$ alors $\mathrm {Q}$ est le point de la calotte le plus éloigné de $\mathrm {P} \,;$ les limites d’intégration sont $r_{1}$ et $r_{0}=\mathrm {PQ} ,$ $r_{1}$ étant la plus courte distance de $\mathrm {P}$ à la courbe $\mathrm {L}$ qui limite la calotte.

Dans les deux cas, nous savons que (§ 102) :

$\sigma =2\pi \,{\frac {\mathrm {R} }{a}}\,\mathrm {X} _{0}$

$\mathrm {R}$ étant le rayon de la sphère et $a$ la distance $\mathrm {PC} .$ $\mathrm {X} _{0}$ la valeur de $\mathrm {X}$ au point $\mathrm {Q} .$ Or, en ce point $\mathrm {Q} ,$ l’angle que nous avons appelé $\psi$ est nul et $\cos \psi =1,$ donc :

$\mathrm {X} _{0}=\xi '_{0}(1+\cos \psi )=2\xi '_{0}$