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PRINCIPE DE HUYGHENS
Comme, dès qu’on s’écarte tant soit peu de
les portions
situées au-delà n’ont pour ainsi dire plus d’influence, il reviendra
au même de conserver les limites précédentes ou bien,
ce qui sera plus commode, de prendre comme limites
et
ou
et
Nous aurons ainsi à calculer
![{\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7e36057683696fcaab0e8bfa8f92b71982fc85)
Soit
![{\displaystyle r={\sqrt {r_{0}^{2}+x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bba26753d20b953d4a759a7495716b9b2f35431)
Comme
est très petit, nous pouvons développer le second
membre, en nous bornant aux deux premiers termes :
![{\displaystyle r=r_{0}+{\frac {x^{2}}{2r_{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d63c4e43a6f72424be47a7546dfba6777019b20)
d’ailleurs :
![{\displaystyle d\varphi ={\frac {\delta \,dx}{x^{2}+\delta ^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577bf00275db0091e414e100d8912275c91ba6d8)
En substituant dans notre intégrale, elle prend la forme
![{\displaystyle e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2r_{0}}}\,x^{2}}\,{\frac {\delta \,dx}{x^{2}+\delta ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409ec6190aac19102c77c8e89eabe0975001f285)
c’est l’intégrale de Fresnel. On a vu (1er volume, no 93) comment
on peut lui donner sa forme habituelle ; mais ce n’est
pas celle-là que je veux lui donner ici.
Par une transformation convenable, on retrouve la formule
donnée par M. Gilbert.
Remarquons en effet que la fonction sous le signe
étant