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PRINCIPE DE HUYGHENS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Comme, dès qu’on s’écarte tant soit peu de $\mathrm {Q} ,$ les portions situées au-delà n’ont pour ainsi dire plus d’influence, il reviendra au même de conserver les limites précédentes ou bien, ce qui sera plus commode, de prendre comme limites $x=-\infty$ et $x=+\infty ,$ ou $\varphi =-{\frac {\pi }{2}}$ et $\varphi =+{\frac {\pi }{2}}\cdot$ Nous aurons ainsi à calculer

$\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,d\varphi .$

Soit $r_{0}=\mathrm {PH}$

$r={\sqrt {r_{0}^{2}+x^{2}}}.$

Comme $x$ est très petit, nous pouvons développer le second membre, en nous bornant aux deux premiers termes :

$r=r_{0}+{\frac {x^{2}}{2r_{0}}},$

d’ailleurs :

$d\varphi ={\frac {\delta \,dx}{x^{2}+\delta ^{2}}}\cdot$

En substituant dans notre intégrale, elle prend la forme

$e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2r_{0}}}\,x^{2}}\,{\frac {\delta \,dx}{x^{2}+\delta ^{2}}},$

c’est l’intégrale de Fresnel. On a vu (1^er volume, n^o 93) comment on peut lui donner sa forme habituelle ; mais ce n’est pas celle-là que je veux lui donner ici.

Par une transformation convenable, on retrouve la formule donnée par M. Gilbert.

Remarquons en effet que la fonction sous le signe $\textstyle \int$ étant