Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 2, 1892.djvu/142

130

PRINCIPE DE HUYGHENS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

volume attirant, $\varphi$ reste fini et nous aurons :

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\int {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,d\tau ',$

puisque nous pourrons différencier sous le signe $\textstyle \int .$ De même :

$\Delta \xi =\int \Delta \varphi \,d\tau '$

et par conséquent :

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi .$

Donc $\xi$ satisfait à l’équation fondamentale en dehors du volume attirant, tout comme le potentiel newtonien satisfait à l’équation de Laplace.

93. À l’intérieur du volume attirant le potentiel ne vérifie plus l’équation de Laplace, mais celle de Poisson.

Pour savoir ce que devient ${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\cdots ,$ etc., à l’intérieur du volume attirant, nous ne pouvons plus différencier sous le signe $\textstyle \int ,$ parce que $\varphi$ devient infini pour $r=0.$

Posons :

$\varphi _{1}={\frac {f(x',\,y',\,z',\,t)}{r}}\cdot$

La différence $\varphi -\varphi _{1}$ ne deviendra plus infinie pour $r=0,$ puisque le numérateur s’annule en même temps que le dénominateur.

$\xi _{1}=\int \varphi _{1}\,d\tau '=\int {\frac {f(x',\,y',\,z',\,t)}{r}}\,d\tau '$